带线性项Carrier型问题的无穷多解

Infinitely Many Solutions of Carrier Type Problems with Linear Term

摘要: 运用特殊函数法和相关的分析技巧，考虑了带线性项的Carrier型问题，获得无论退化情形还是非退化情形都存在无穷多解，并对结论给出了适当的举例。

Abstract: Carrier-type problem with linear term was considered by using the methods of special function and analysis techniques. We get that there exist infinitely many solutions whether degenerate case or non-degenerate case, and the examples are given at last.

1. 引言

1945年，Carrier [1] 在机械问题的研究中，构造了如下模型：

${\left[1+\frac{{\alpha }^{-2}}{2\pi }{\displaystyle {\int }_0^{\pi }{\phi }^2\left(\xi ,\eta \right)\text{d}\xi }\right]}^2\frac{{\partial }^2\phi }{\partial {\xi }^2}=\frac{{\partial }^2\phi }{\partial {\eta }^2}$

其中 ${\alpha }^2=\frac{T_0}{EA}$， $\xi =\frac{\pi x}{l}$， $\eta =\frac{\pi }{l}{\left(\frac{T_0}{\rho A}\right)}^{\frac{1}{2}}t$ 为无量纲量， $T_0$ 是静止位置的张力，E是弦材料的恒定特性，A是弦在静止位置的截面积，l是弦材料的长度， $\rho$ 表示单位体积的质量， $\phi$ 为一函数。由于此时该问题中的 $\xi$， $\eta$ 利用了变量变换模式，而更一般的情形也随后得到了广泛的研究。同时在后面的研究者们将形如 $-M\left(t,x,{\displaystyle {\int }_{\Omega }{u}^2}\text{d}x\right)\Delta u=f\left(t,x,u\right)$ 的问题称为Carrier型问题。文献 [2] 中提出用Faedo-Galerkin方法和Tartar方法等方法解决Carrier型的非线性混合问题解的全局存在性；文献 [3] 考虑了Kirchhof-Carrier型非线性波动方程的Robin-Dirichlet问题，运用Faedo-Galerkin方法和非线性项线性化的方法，证明了弱解的存在性和唯一性；文献 [4] 利用不动点指标理论得到Carrier型问题的多个正解；文献 [5] 立足于Banach空间，利用Ascoli-Arzelà定理和Lyapunov约化泛函得到Cauchy型Carrier问题解的存在性和渐进性质；文献 [6] 考虑了一类非局部边值问题的正解的存在性，文献 [7] 考虑了一类退化非局部项的问题，利用不动点定理证明了正解的存在性；文献 [8] 考虑了一类非局部和非变分奇异摄动问题

$\{\begin{array}{l}-{\epsilon }^{2}A\left({\epsilon }^{-n}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^q}\text{d}x\right)\Delta u+V\left(x\right)u={\left|u\right|}^{p-1}u,x\in R^N,\\ 0<u\in H^1\left(R^N\right),\underset{\left|x\right|\to \infty }{lim}u\left(x\right)=0\end{array}$

解的存在性，其中 $1<p<2^{\ast }-1$， $2\le q<2^{\ast }$， $A:\left(0,+\infty \right)\to \left[a,+\infty \right),V\left(x\right):R^N\to R$ 是两个连续函数， $a>0$，而 $\epsilon >0$ 是一个小的参数；文献 [9] 在有界矩体上考虑纯指数型右端项的一类新Kirchhoff型问题

$-\left(a-b{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^2}\text{d}x\right)\Delta u=u^q,x\in \Omega$

古典解的存在性，其中常数a，b不同时为零， $q\ne -1$， $\Omega \subset R^N$。文献 [10] 在光滑有界域 $\Omega \subset R^N$ 上，考虑了一类退化的非局部问题的正解的存在、不存在和多重性；这类问题是近几年的研究热点之一，同时关于其解的存在性也已经有很多学者研究，如文献 [11] 在无界域上研究了具有临界项的广义问题，利用函数构造方式获得无穷多解。文献 [12] 考虑一类非局部椭圆问题

$\{\begin{array}{l}-a\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^q\text{d}x}\right)\Delta u=h_1\left(x,u\right)f\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^p\text{d}x}\right)+h_2\left(x,u\right)g\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|u\right|}^p\text{d}x}\right),x\in \Omega ,\\ u\left(x\right)=0,x\in \partial \Omega .\end{array}$

的解的存在性，其中 $q,p,r\in \left[1,+\infty \right)$， $h_i:\bar{\Omega }\times R^{+}\to R$， $i=1,2$， $a,f,g:\left[0,+\infty \right)\to \left(0,+\infty \right)$ 是连续函数， $\Omega$ 是 $R^N$ 中的光滑有界域， $N\ge 1$。更多关于正负模量的Kirchhoff型问题以及Carrier型问题解的存在性研究，参见文献 [13] - [18] 以及他们的引用文献，在文献 [14] [15] 中给出了Carrier型问题的进展，通过系统建模和分析方法，说明了为何描述Carrier型问题并描述其确定性非线性现象，文献 [16] 给出的是正模量Kirchhoff型问题的研究进展，文献 [17] [18] 则阐述负模量Kirchhoff型问题研究。更多耦合型问题可参见他们的引用和被引状况。

诸如文献 [12] - [18] 等，由于Carrier型和Kirchhoff型独立或耦合问题的研究越来越多，于是，受上述文献特别是文献 [9] [11] 方法的启发，本文考虑下述带线性项的负模量Carrier型问题

$\{\begin{array}{l}-\left(a-b{\displaystyle {\int }_{\Omega }{u}^2}\text{d}x\right)\Delta u=\lambda u,x\in \Omega ,\\ u=0,x\in \partial \Omega .\end{array}$ (1)

其中 $\Omega \subset R^N\left(N\ge 1\right)$ 为光滑有界域； $a,b,\lambda$ 为任意实数，但至少有两个不同时为零。

2. 理论基础

设 $\Omega \subset R^N\left(N\ge 1\right)$ 是光滑有界域，在文献 [19] [20] 中提到关于下述方程

$\{\begin{array}{l}-\Delta u=\mu u,x\in \Omega ,\\ u=0,x\in \partial \Omega .\end{array}$ (2)

存在特征值序列 ${\left\{{\mu }_i\right\}}_{i=1}^{\infty }\subset R$，满足

$0<{\mu }_1<{\mu }_2\le \cdots \le {\mu }_i\le \cdots ,\underset{i\to \infty }{\lim }{\mu }_i=+\infty ,0<{\mu }_1=\underset{\phi \in C_0^{2,2}\left(\Omega \right),\phi \ne 0}{\inf }\frac{{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla \phi \right|}^2}\text{d}x}{{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\phi }^2}\text{d}x}$

及其对应的特征函数序列 ${\left\{{\phi }_i\right\}}_{i=1}^{\infty }\subset C_0^2\left(\Omega \right)$，同时有 ${\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla {\phi }_i\right|}^2\text{d}x}={\mu }_i{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\phi }_i^2\text{d}x}$，当 $\mu \in {\left\{{\mu }_i\right\}}_{i=1}^{\infty }$ 时问题(2)有解 ${\phi }_i$，即 $t{\phi }_i$ 是问题(2)的解，而当 $\mu \notin {\left\{{\mu }_i\right\}}_{i=1}^{\infty }$ 时问题(2)无解。

立足于上述事实，我们将对 $a,b,\lambda$ 满足不同情形时问题(1)解的存在性及解的形式作讨论。由于问题(1)中出现的实数 $a,b,\lambda$ 在符号上具有对称性，因此我们只给出 $a\ge 0$ 时 $b,\lambda$ 在不同符号下问题(1)的解及状态，而当 $a<0$ 时问题(1)解的存在性问题类似可得，不再赘述。下面的理论都立足于实数范围。

3. 主要结论

定理1 如果 $a>0,\lambda \ge 0$，则当 $b>0$ 时问题(1)有无穷多解 ${\left\{u_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ ；当 $b<0$ 时存在正数列 ${\left\{{\lambda }_i\right\}}_{i=0}^{\infty }$，使得 ${\lambda }_i<\lambda \le {\lambda }_{i+1}$ 时问题(1)至少有i个线性无关解 ${\left\{u_n\right\}}_{n=1}^i$，而 $\lambda \le {\lambda }_1$ 时，只有零解。

证明 当 $i>1$ 时，我们考虑关于t的代数方程

$a-b{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left(t{\phi }_i\right)}^2\text{d}x}=\frac{\lambda }{{\mu }_i}$ (3)

当 $b\ne 0$ 时，方程(3)具有实数或复数型的解

$t_{\pm }=\pm {\left[\frac{a{\mu }_i-\lambda }{b{\mu }_i}{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\phi }_i^2}\text{d}x\right)}^{-1}\right]}^{\frac{1}{2}}$ (4)

且当 $\frac{a{\mu }_i-\lambda }{b}\ge 0$ 时其解总为实数。需要注意的是，此时直接可以验证 $-\Delta \left(t_{\pm }{\phi }_i\right)={\mu }_i\left(t_{\pm }{\phi }_i\right)$，现让它与式(3)左右两边分别相乘，再联系到式(4)，则可得到

$\{\begin{array}{l}-\left(a-b{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left(t_{\pm }{\phi }_i\right)}^2}\text{d}x\right)\Delta \left(t_{\pm }{\phi }_i\right)=\lambda \left(t_{\pm }{\phi }_i\right),x\in \Omega ,\\ t_{\pm }{\phi }_i=0,x\in \partial \Omega .\end{array}$ (5)

也就是说，当 $\frac{a{\mu }_i-\lambda }{b}=0$ 时有 $t_{\pm }\equiv 0$，而当 $\frac{a{\mu }_i-\lambda }{b}>0$ 时式(5)总成立，从而 $u_i=t_{\pm }{\phi }_i$ 是问题(1)的解。

(i) $a>0,b>0,\lambda \ge 0$ 时，对于任意的 $\lambda >0$，必存在 $k\in N^{\ast }$， $k\ge 1$，使得 $\lambda <a{\mu }_{k+1}$ ；若 $\lambda \le a{\mu }_2$，则 $a{\mu }_{i+1}-\lambda >0$ 总成立。因此再根据式(4)和式(5)可得到问题(1)有解

$u_i=t_{\pm }{\phi }_i=\pm {\left[\frac{a{\mu }_{i\text{+}1}-\lambda }{b{\mu }_{i\text{+}1}}{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\phi }_{i+1}^2}\text{d}x\right)}^{-1}\right]}^{\frac{1}{2}}{\phi }_{i\text{+1}}=\pm {\left(\frac{a{\mu }_{i\text{+}1}-\lambda }{b}\right)}^{\frac{1}{2}}{\left({{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left|\nabla {\phi }_{i+1}\right|}}^2\text{d}x\right)}^{-\frac{1}{2}}{\phi }_{i\text{+1}}$ (6)

由于 $i=1,2,\cdots$，取 $n=1$ 对应k， $n=2$ 对应 $k+1$， $\cdots$，则它们可以构成解序列 ${\left\{u_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$。另一方面，若 $a>0,b>0,\lambda =0$，此时原问题的解必然在 $a-b{\displaystyle {\int }_{\Omega }{u}^2}\text{d}x=0$ 或者 $\Delta u\equiv 0$ 的函数集中取得。而满足 $\Delta u$ 有界且 ${\displaystyle {\int }_{\Omega }{u}^2}\text{d}x=\frac{a}{b}$ 的函数u有无穷多，事实上对任意的 $v\in C_0^2\left(\Omega \right)\cap H_0^1\left(\Omega \right)$，可得所有的

$u:={\left(\frac{a}{b}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{v}^2}\text{d}x\right)}^{-\frac{1}{2}}v$

都是问题(1)的解。

(ii) $a>0,b<0$， $0<{\lambda }_1\le {\lambda }_i<\lambda \le {\lambda }_{i+1}$ 时，因为有 ${\lambda }_i=a{\mu }_{i+1}$， $n=1,\cdots ,i$，则 $\frac{{\lambda }_n-\lambda }{b{\mu }_{n+1}}=\frac{a{\mu }_{n+1}-\lambda }{b{\mu }_{n+1}}>0$ 恒成立，故方程(3)总有非零解可以表述为(4)，从而问题(1)至少有i对非平凡解

$u_n=\pm {\left(\frac{a{\mu }_n-\lambda }{b}\right)}^{\frac{1}{2}}{\left({{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left|\nabla {\phi }_n\right|}}^2\text{d}x\right)}^{-\frac{1}{2}}{\phi }_n,n=1,\cdots ,i$

显然这些解至少有i个线性无关。当 $0<\lambda \le {\lambda }_1=a{\mu }_1$ 时，只有平凡解 $u\equiv 0$。事实上，如果此时 $u\ne 0$，则根据 $a>0,b<0$， $\lambda \le a{\mu }_1$，利用格林公式得出

$a{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^2}\text{d}x<\left(a+\left|b\right|{\displaystyle {\int }_{\Omega }{u}^2}\text{d}x\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^2}\text{d}x=\lambda {\displaystyle {\int }_{\Omega }{u}^2}\text{d}x\le a{\mu }_1{\displaystyle {\int }_{\Omega }{u}^2}\text{d}x\le a{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^2}\text{d}x$

这显然构成矛盾。综上所述，不仅证明了定理1解的存在性，而且还给出了一类解的抽象形式。

定理2 如果 $a=0$，则当 $b\lambda <0$ 时，问题(1)有无穷多解 ${\left\{u_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$，而 $b\lambda \ge 0$ 时只有平凡解。

证明 若 $a=0,b\lambda <0$，则对 $i\ge 1$ 时的特征值 ${\mu }_i$ 和它对应的特征函数 ${\phi }_i$，方程(3)变为

$-\left|b\right|{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left(t{\phi }_i\right)}^2}\text{d}x=\frac{\left|\lambda \right|}{{\mu }_i}$

关于t的方程总有实数解

$t_{\pm }=\pm {\left[\frac{\left|\lambda \right|}{\left|b\right|{\mu }_i}{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\phi }_i^2}\text{d}x\right)}^{-1}\right]}^{\frac{1}{2}}=\pm {\left(\left|\frac{\lambda }{b}\right|{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla {\phi }_i\right|}^2}\text{d}x\right)}^{-1}\right)}^{\frac{1}{2}}$

则易知问题(1)有无穷多解，可以表示为

$u_n=\pm {\left(\left|\frac{\lambda }{b}\right|{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla {\phi }_i\right|}^2}\text{d}x\right)}^{-\frac{1}{2}}{\phi }_n,i=1,2,\cdots$

此外，若 $a=0,b\lambda \ge 0$ 时u是问题(1)的解，则根据格林公式有

$\left|b\right|\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{u}^2}\text{d}x\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }\Delta uv\text{d}x}=\left|\lambda \right|{\displaystyle {\int }_{\Omega }uv\text{d}x}=-\left|b\right|\left({\displaystyle {\int }_{\Omega }{u}^2}\text{d}x\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }\nabla v\nabla u\text{d}x}$

特别取 $v=u$ 时便得出 $u=0$，因此 $a=0$ 且 $b\lambda \ge 0$ 时问题(1)只有平凡解。

注记1 当 $b=0$ 时，如果 $\frac{\lambda }{a}\in {\left\{{\lambda }_i\right\}}_{i=0}^{\infty }$，则问题(1)存在无穷多解。

4. 应用

例1 设 $\Omega =\left(1,2\right)$，此时问题(1)为

$\{\begin{array}{l}-\left(a-b{\displaystyle {\int }_{\Omega }{u}^2\left(x\right)\text{d}x}\right)u^{″}\left(x\right)=\lambda u\left(x\right),x\in \Omega ,\\ u=0,x\in \partial \Omega .\end{array}$ (7)

下面我们推导注记1和定理1的结论，即在 $a>0$， $\lambda >0$ 的条件假设下有如下的结论：如果 $b>0$，则问题(7)有无穷多解 ${\left\{u_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ ；如果 $b<0$，则存在正数列 ${\left\{{\lambda }_i\right\}}_{i=0}^{\infty }$，使得 ${\lambda }_i<\lambda \le {\lambda }_{i+1}$ 时问题(7)至少有i个线性无关解 ${\left\{u_n\right\}}_{n=1}^i$ ；而 $\lambda \le {\lambda }_1$ 时，问题(7)只有零解。根据文献 [19] [20] 中关于谱理论的阐述，对任意的非零整数i， $-\Delta u=\mu u$ 的特征值 ${\mu }_i=i^2{\pi }^2$。因此通过直接验证，我们能够找到一个特征函数的无穷序列 ${\phi }_i=\sin \left[i\pi \left(x-1\right)\right]$，其中 $i=1,2,\cdots ,\infty$，而此时有

${\displaystyle {\int }_1^2{\left|\nabla {\phi }_i\right|}^2\text{d}x}=\frac{i^2{\pi }^2}{2}.$

当 $a>0,b=0,\lambda >0$ 时，只要取 ${\lambda }_i=a{\mu }_i=a{i}^2{\pi }^2$，由于i的任意性，当 $\frac{\lambda }{a}\in {\left\{{\lambda }_i\right\}}_{i=0}^{\infty }$，即存在某个k使得 $\lambda =a{\lambda }_k=a{k}^2{\pi }^2$ 时直接验证可知问题(7)有无穷多解 $u_{k,t}=t\sin \left[k\pi \left(x-1\right)\right]$，其中的无穷性由t的任意性决定；当 $a>0,b>0$ 时，对于任意的 $\lambda >0$，必存在 $k\in N^{\ast }$， $k\ge 1$，使得 $\lambda <a{\mu }_{k+1}$，则对任意的正整数 $n\ge k+1$， $a{\mu }_n-\lambda >0$ 总成立，因此我们直接可验证对任意的正整数 $n\ge k+1$，函数

$u_n\left(x\right)=\pm \frac{\sqrt{2}}{n\pi }{\left[\frac{a{n}^2{\pi }^2-\lambda }{b}\right]}^{\frac{1}{2}}\sin \left[n\pi \left(x-1\right)\right]$ (8)

都满足方程(7)，也就是说，对任意的正整数 $n\ge k+1$，(8)都是问题(7)的解。易知问题(7)有无穷解。

如果 $b<0$，则对正数列 ${\left\{{\lambda }_i\right\}}_{i=0}^{\infty }={\left\{a{i}^2{\pi }^2\right\}}_{i=0}^{\infty }$，如果 ${\lambda }_i=a{i}^2{\pi }^2<\lambda \le {\lambda }_{i+1}=a{i}_{i+1}^2{\pi }^2$，则对于 $n=0,\cdots ,i$，总有 $\frac{a{n}^2{\pi }^2-\lambda }{b}>0$，因此问题(7)至少有i个线性无关解 ${\left\{u_n\right\}}_{n=1}^i$，其表达式为(8)；而果 $b<0$ 且 $\lambda \le {\lambda }_1$ 时，很显然 $\frac{a{n}^2{\pi }^2-\lambda }{b}<0$，它的二次方根并不是一个实数，但零是其解并且能够利用格林公式得出问题(7)只有零解。

例2 设 $\Omega =\left(1,2\right)$，对任意非零整数 $i,m$，当 $a>0,b>0$， $\lambda =0$，取

$u_{i,m}\left(x\right)=\pm \frac{1}{i\pi }{\left[\frac{2a}{b}\right]}^{\frac{1}{2}}\sin \left[i\pi \left(x-1\right)+2m\pi \right],$

这里的 $i,m$ 为任意整数，那么

$\{\begin{array}{l}{u^{\prime }}_{i,m}\left(x\right)=\pm \frac{1}{i\pi }{\left[\frac{2a}{b}\right]}^{\frac{1}{2}}\cos \left[i\pi \left(x-1\right)+2m\pi \right],\\ -{u^{″}}_{i,m}\left(x\right)=\pm {\left[\frac{2a}{b}\right]}^{\frac{1}{2}}\sin \left[i\pi \left(x-1\right)+2m\pi \right],\end{array}$

显然 ${u^{″}}_{i,m}\left(x\right)$ 是有界函数；另外，注意到此时 $u_{i,m}^2\left(x\right)=\pm \frac{2a}{b{\left(i\pi \right)}^2}{\sin }^2\left[i\pi \left(x-1\right)+2m\pi \right]$，于是

$a-b{\displaystyle {\int }_1^2{u}_{i,m}^2}\left(x\right)\text{d}x=a-\frac{2a}{b{\left(i\pi \right)}^2}{\displaystyle {\int }_1^2{\sin }^2}\left[i\pi \left(x-1\right)+2m\pi \right]\text{d}x=a-a=0,$

也就是说 $u_{i,m}\left(x\right)$ 都是问题(7)的解。由于 $i,m$ 的任意性，则可以得出问题(7)有无穷解。注意，当 $a>0,b>0,\lambda =0$ 时，除了 $u_{i,m}\left(x\right)$ 外，问题(7)的解还有很多，这里不再列举。

基金项目

贵州省研究生科研基金立项项目(黔教合YJSCXJH[2020]083)，贵州民族大学科研项目(GZMUZK[2021]YB19)。

NOTES

^*通讯作者。