1. 引言
均值–方差投资组合模型是由马科维茨在1952年提出的风险度量模型。该模型将收益率的方差作为风险的度量，并以极小化风险为目标，使收益与风险的多目标优化达到最佳的平衡效果，其所蕴含的风险分散化思想是现代投资理论的基础 [1] 。
自经典的均值–方差投资组合模型被提出以来，国内外学者对其进行了深入的研究。这些研究主要集中在两个方向：1) 对均值–方差模型计算方法的研究；2) 对均值–方差模型进行改进。对方向(1)的研究主要集中在数值迭代方法的研究上。由于经典的均值–方差模型是一个二次规划，并且目标函数的Hessian矩阵是半正定的，因此属于凸优化的范畴。一些经典求解二次规划的优化方法，比如零空间方法、拉格朗日方法、有效集方法等，可以用来求解均值–方差模型；同时也有很多的优化求解器，比如CVX、AMPL等，可以有效求解大规模的均值–方差模型。除此之外，学者们还将一些智能优化算法应用到该问题的求解中，比如基于粒子群优化算法，卢小丽等 [2] 提出了一种求解自融资投资组合模型的量子行为的粒子群优化算法；郑继明等 [3] 给出了一种基于遗传算法的均值-CVaR投资组合模型的求解方法，该方法针对遗传算法全局搜索能力较弱、收敛精度不高等问题，对遗传算法的交叉操作引入正态分布交叉算子，并用于以CVaR度量风险，含有交易费率的均值-CVaR投资组合模型的求解，给出了预期收益下的最优投资策略。
通过引入一些新的测度来度量风险与收益，学者们提出了经典的均值–方差模型的变形。比如，针对分散高阶矩风险及涨跌不对称性对投资组合的影响，欧攀等 [4] 利用偏度刻画高阶矩风险，利用负半熵和下半方差刻画涨跌不对称性，进而构建了负半熵下半方差近似偏度投资组合模型。该文献的实证分析表明，与均值–方差模型、半方差模型比较，新模型的组合资产的超额收益更大、风险更低。通过引入非凹非凸的典型交易成本函数，王晓琴等 [5] 提出了一种带有交易成本的均值–方差–下半方差投资组合模型，同时给出了投资组合的有效边界。
马科维茨建立的资产优化配置的均值–方差模型属于静态规划，该模型中目标函数的系数与约束的系数，即协方差与期望收益，都是与时间变量t无关的常数。由于现代市场是一个高度信息化的，其产生的数据往往只能在很短的时间段内有效。比如某类资产的期望收益受众多因素的影响，其中的一个因素发生改变，就有可能发生改变。另外，在数据收集阶段，收集到的数据可能带有噪声，同时在实际计算阶段，经常存在截断误差与舍入误差等。因此，本文将均值–方差模型中的常系数用时变系数来代替，并考虑噪声、计算误差等因素的干扰，提出了一类不允许卖空且含时间参数的二次规划。对于该模型，本文设计了一个在线求解算法，从理论上分析了该在线算法生成的误差是有界的，同时证明了该上界随时间的增长而快速趋于零。这说明在线算法的状态变量可以快速逼近含参数均值–方差模型的最优解。
2. 问题描述及动态方程
设有n种资产可供选择，其收益率记为(随机变量)，均值为，其中
表示时间参数，协方差矩阵为，其中。如果每种资产占总资
产的比例为，则投资组合的收益率，其均值
方差为，其中，。给定预期收益率，则可以建立含参数的均值–方差投资组合模型 [1] [6] ：
(1)
其中表示投资组合结束时刻。
注1.1：含参数均值–方差投资组合模型(1)比 [1] [6] 研究的模型更符合实际情况。实际上， [1] 研究的均值-方差投资组合模型是静态的； [6] 研究的均值–方差投资组合模型虽然是含参数的，但是其没有考虑决策变量x的非负约束。比如第i种资源不允许卖空，则不应该去掉的约束。
问题(1)的KKT条件是
(2)
其中是(1)式两个等式约束的拉格朗日乘子表示元素全是1的列向量。显然系统(2)有个变量，有个式子。
考虑Fischer价值函数，该价值函数有下面的性质 [7] 。
定理1.1 (1) 对于任意的，有。
(2) 当时，存在次微分；当时，是光滑的。
注意(2)式的前三个式子构成了一个含参数线性互补问题。类似于 [7] ，通过Fisher价值函数可将其转化成非光滑的非线性方程组
其中是的第i个分量。于是(2)式可以等价地转换成
(3)
这样处理后方程的个数也变成了，等于变量的个数。由于在处不是可微的，因此方程(2)也是非光滑的。但是由 [7] 知，在内是光滑的，特别地，。令
令，于是可以将(2)等价地转换成
(4)
则在内是光滑的，且关于的导数是
(5)
其中分别是向量值函数关于的导数。
在设计求解含参数系统的在线算法过程中，动态方程是最关键的环节之一。为了求解含参数系统，Zhang等 [6] 提出了如下的动态方程
(6)
其中是增益参数。由于(3)的增益是常数，这使得由(3)导出的算法对噪声等因素的影响特别敏感。为了得到更稳健的算法，Zhang等 [6] 将(6)中的常增益推广到变增益，提出了幂函数型变增益动态方程
(7)
本文，为了得到抗干扰性更强的快速算法，考虑如下指数型动态方程 [6] [8]
(8)
其中是待定的误差函数，其表达式取决于要解决的问题。对于较大的t，有，因此(8)生成的比(6)、(7)生成的收敛于零的速度快多了。从下面的分析可以看出，正是这个速度优势使得(8)导出的在线算法有更强的稳健性。为了进一步提升(8)的数值效果，考虑带激活函数的形式
(9)
其中的每个分量都是单调递增奇函数，是跳跃函数，每个分量定义如下
表示向量或矩阵的哈达玛(Hadamard)积，即对应分量的相乘。
3. 噪声环境下含参数均值–方差投资组合模型及在线算法
本节利用动态方程(9)，给出求解含参数均值–方差投资组合模型(1)的在线算法。
考虑时间参数t，将(4)定义的记为，并将其代入动态方程(9)，得求解含参数均值–方差投资组合模型(1)的在线算法
(10)
其中是(5)式定义的。
下面称是在线算法(10)的状态变量，其前n个分量是含参数均值–方差投资组合模型(1)的解，最后两个分量是其对偶变量。类似于 [8] 的定理3.1，在线算法(10)有如下的渐进收敛结果。
定理2.1假设满足在线算法(10)，则有如下结论：
如果存在，有，则对于任意的，有；
如果任意，有，则的每个分量都渐进收敛到零。
证明 (1) 由及jum的定义，有。于是对于任意的，在线算法(10)的第i个方程可以简写成
其中表示关于X的导数，也是矩阵的第i行。由上面的式子及链式法则得，于是。
(2) 由于任意，有，于是在线算法(10)可改写成
结合链式法则得。定义Lyapunov函数 [8]
显然关于是正定的。对求导得
因为的分量都是单调递增的奇函数，于是(i)对于任意的，有；(ii)当且仅当，有。结合Lyapunov稳定性理论有的每个分量都渐进收敛到零。证毕。
下面考虑噪声环境下的含参数均值–方差投资组合模型，将噪声、误差等因素的干扰统一成一个含参数的加性噪声。为此，考虑如下动态方程
(11)
令，代入(11)得抗噪声在线算法
(12)
假设加性噪声考虑噪声水平满足，则抗噪声在线算法(12)有下面的收敛结果。
定理2.2假设满足抗噪声在线算法(12)，则有如下结论：
(1) 如果存在，有，则对于任意的，有；
(2) 如果任意，有，则对于任意的，有上界，其上界是，其中表示的反函数。显然该上界随着时间而快速趋于零。
证明 (1)的证明与定理2.1的(1)的证明是一样的。
(2) 此时抗噪声在线算法(12)可改写成
整理得，其分量形式是
其中是激活函数的第i个分量。定义分量形式的Lyapunov函数
对每个，对关于参数t求导得
(13)
令。按的符号讨论如下。
(i) 如果，则，因此是一个局部极值。如果其是极大值，则将逐渐减小；如果其是极小值，则将逐渐增大，这说明存在，使得当时，有。结合(13)可得，，这说明将逐渐减小，与将逐渐增大矛盾。因此，此时是是一个局部极大值。
(ii) 如果，则，则由的连续性，将逐渐减小，一直到某个时刻，有。接下来的讨论与情况(i)类似。
(iii) 如果，则，则由的连续性，将逐渐增大，一直到某个时刻，有。接下来的讨论与情况(i)类似。
综上可得，对于任意的，有，即有上界。证毕。
4. 数值实验
本节给出三组实验，分别说明本文设计的两种在线算法，分别记为OLM(10)与OLM(12)，可以有效求解无参数均值–方差投资组合模型、含参数均值–方差投资组合模型以及噪声环境下均值–方差投资组合模型，并与经典的求解含参数问题的在线算法，即Zhang神经网络(ZNN)，进行数值对比。两种在线算法中的参数，并取激活函数为单位函数，即。
问题4.1 [1] ：某投资者对三种风险资产感兴趣，这三种资产收益率的均值分别是0.06、0.12、0.09，协方差矩阵
试为之构造风险最小的资产组合，使预期收益率。考虑，初始点。仿真结果见图1中。
Figure 1. Simulation results of ZNN and OLM(10) solving Problem 4.1
图1. ZNN与OLM(10)求解问题4.1的仿真结果
由图1可以看出，两种方法都比较快的求出了问题4.1的较高精度近似解，ZNN在10秒时的精度达到了10−2，而OLM(10)在2秒左右时达到了这一精度；在最终时刻，即10秒时，OLM(10)的精度分别达到了10−8。由图1可以看出，在整个计算过程中，OLM(10)的数值表现几乎一直优于ZNN。这说明了我们推导的均值–方差投资组合模型的等价形式，即(3)式，是合理的。同时说明我们设计的OLM(10)是有效的。
问题4.2 [6] ：考虑三种资产的含参数均值-方差投资组合问题，其资产收益率的均值关于时间有小的周期波动，假设
同时假设协方差矩阵为
预期收益率。因为r各分量的最大周期是，因此我们考虑，且取初始点。仿真结果见图2中。
Figure 2. Simulation results of ZNN and OLM(10) solving Problem 4.2
图2. ZNN与OLM(10)求解问题4.2的仿真结果
由图2的仿真结果可以看出，OLM(10)的表现明显优于ZNN。以作为收敛准则，ZNN直到10秒时还没有达到这个收敛标准，而OLM(10)在2.5秒后就达到了。ZNN与OLM(10)的在时的精度分别是10−2与10−5。
问题43：考虑问题4.2中三种资产的收益率均值与协方差矩阵，并假设周期噪声。考虑，取初始点，使用ZNN与OLM(12)求解这个问题。仿真结果见图3。
Figure 3. Simulation results of ZNN and OLM(12) solving Problem 4.3
图3. ZNN与OLM(12)求解问题4.3的仿真结果
由图3可看出，OLM(12)有一定的抗干扰能力，其最终的精度达到了10−2，而ZNN最终的精度是10−1。
5. 总结
本文针对不允许卖空的投资组合问题，提出了一类含参数均值–方差投资组合模型，该模型可以更细致地描述动态投资组合问题，同时考虑了噪声对模型的影响。设计了一类抗噪声在线求解算法。理论与实验结果都表明了在线算法的有效性。
基于本文提出的在线算法，我们将继续研究含参数均值–方差投资组合模型的求解方法，包括：设计具有有限时间终止的在线算法；设计抗噪声迭代算法；高精度迭代算法等。
致谢
感谢审稿人提出的宝贵意见。
基金项目
国家级大学生创新创业训练计划项目(S202110904009)、枣庄学院教学改革重点项目(XJG21019)。
参考文献