模糊Riesz空间中模糊不相交补和模糊投影带性质的研究

A Study on the Properties of Fuzzy Disjoint Complement and Fuzzy Projection Band in Fuzzy Riesz Spaces

摘要: 本文首先研究模糊Riesz空间中模糊不相交补的性质，给出非零且两两不交的一列元素是线性无关的结论，然后在模糊Riesz空间中讨论了模糊投影带，并给出模糊序基的定义，最后讨论模糊序稠的一些性质及模糊理想与模糊带之间的关系。

Abstract: In this paper, we first study the properties of fuzzy disjoint complements in fuzzy Riesz spaces, and give the conclusion that a list of elements that are nonzero and disjoint are linearly independent. Then we discuss the fuzzy projective bands in fuzzy Riesz spaces, and give the definition of fuzzy order bases. Finally, we discuss some properties of fuzzy order dense and the relationship between fuzzy ideals and fuzzy bands.

1. 引言

1965年，Zadeh [1] 首先提出模糊集概念之后，1971年 [2] 引入了模糊序关系。1992年，P. Venugopalan [3] 开始对模糊序集进行系统研究。Ismat Beg [4] [5] 提出模糊Riesz空间的概念并研究模糊Riesz空间上的基本理论，得到模糊Riesz分解性质；然后引入了模糊序线性空间的概念，并讨论了模糊序收敛。1997年，Ismat Beg [6] [7] 先提出模糊Archimedean空间的概念，同年提出σ-完备的模糊Riesz空间，并讨论了模糊Archimedean空间和σ-完备的模糊Riesz空间之间的关系。2015年，L. Hong [8] 定义了模糊理想、模糊带、模糊Riesz子空间、模糊投影带等概念。M. Iqbal [9] 研究了模糊Riesz空间中的无界模糊序收敛。2021年，N. Cheng [10] 研究了模糊Riesz空间中的模糊Riesz同态，给出模糊Riesz同态与模糊商空间之间的关系。 N. Cheng [11] 给出当值域空间为模糊Dedekind完备的Riesz空间时Hahn-Banach定理的推广。

模糊Riesz空间理论在动力系统、工程和流体力学等领域具有重要的应用意义，比如在l_p空间中研究模糊序是一个具有现实意义的事情。本文研究了模糊不相交补和模糊投影带的基本性质，证明了许多相关的结果，给出模糊序基的定义，并讨论了模糊序稠，这对模糊Riesz空间的理论做出了重要的贡献，有助于我们解决模糊Riesz空间上的问题，并可以用于未来探索模糊Riesz空间上的序的相关问题。

本文提到的一些概念可以查阅参考文献 [1] - [11]。

2. 预备知识

纸型

定义2.1 [3] 设X是论域， $\mu :X\times X\to \left[0,1\right]$ 是模糊子集 $X\times X$ 上的特征函数。当特征函数 $\mu$ 满足如下条件时，称 $\mu$ 是X上的模糊序，

(1) (自反性)假设 $x\in X$，则 $\mu \left(x,x\right)=1$ ；

(2) (反对称性)假设 $x,y\in X$，当 $\mu \left(x,y\right)+\mu \left(y,x\right)>1$，则 $x=y$ ；

(3) (传递性)假设 $x,z\in X$，则 $\mu \left(x,z\right)\ge \vee \left(\mu \left(x,y\right)\wedge \mu \left(y,z\right)\right)$。

符号2.2 [2] 假设X是模糊集， $x\in X$。如果任意 $y\in X$，有 $\left(\downarrow x\right)\left(y\right)=\mu \left(y,x\right)$，则称 $\downarrow x$ 为X上的模糊集。同理，如果任意 $y\in X$，有 $\left(\uparrow x\right)\left(y\right)=\mu \left(x,y\right)$，称 $\uparrow x$ 为X上的模糊集。如果A是X的子集，则 $\uparrow A={\vee }_{x\in A}\left(\uparrow x\right)$， $\downarrow A={\vee }_{x\in A}\left(\downarrow x\right)$。

定义2.3 [2] 设A是模糊集X的子集，A的上界 $U\left(A\right)$ 定义如下：

$U\left(A\right)\left(y\right)=\{\begin{array}{l}\begin{array}{cc}0\text{,}& \mu \left(x,y\right)\le \frac{1}{2}\end{array}\\ \left({\cap }_{x\in A}\uparrow x\right)\left(y\right)\text{,}其他\end{array}$，

同理，A的下界 $L\left(A\right)$ 定义如下：

$L\left(A\right)\left(y\right)=\{\begin{array}{l}0,\mu \left(y,x\right)\le \frac{1}{2}\\ \left({\cap }_{x\in A}\downarrow x\right)\left(y\right),其他\end{array}$。

对于任意 $x\in X$，若 $U\left(A\right)\left(x\right)>0$ 时，则称 $x\in U\left(A\right)$，A有上界，且x是A的一个上界；同理，对于任意 $x\in X$，若 $L\left(A\right)\left(x\right)>0$ 时，则称 $x\in L\left(A\right)$，A有下界，且x是A的一个下界。如果A既有上界又有下界，则称A有界。

如果元素 $z\in X$ 满足(1) $z\in U\left(A\right)$，(2)当 $y\in U\left(A\right)$ 时有 $y\in U\left(z\right)$，则称A有上确界 $z\in X$ ；如果元素 $z\in X$ 满足(1) $z\in L\left(A\right)$，(2)当 $y\in L\left(A\right)$ 时有 $y\in L\left(z\right)$。则称A有下确界 $z\in X$。

性质2.4 [2] 设A是模糊集X的子集：(1) $\sup A$ 若存在则唯一，(2) $\inf A$ 若存在则唯一。

注解2.5 [2] $x\vee y=\sup \left\{x,y\right\}$， $x\wedge y=\inf \left\{x,y\right\}$。

定义2.6 [4] 设X是模糊集，如果X满足下述条件，则称X为模糊序线性空间：

(1) 如果任意 $x\in X$，当 $x_1,x_2\in X$， $\mu \left(x_1,x_2\right)>\frac{1}{2}$ 时，有 $\mu \left(x_1,x_2\right)\le \mu \left(x_1+x,x_2+x\right)$ ；

(2) 如果任意 $\alpha \in R$，当 $x_1,x_2\in X$， $\mu \left(x_1,x_2\right)>\frac{1}{2}$ 时，有 $\mu \left(x_1,x_2\right)\le \mu \left(\alpha x_1,\alpha x_2\right)$。

性质2.7 [4] 设X是模糊序线性空间， ${\left\{x_j\right\}}_{j\in J}$ 是X上的元素。当 $\underset{j\in J}{\vee }{x}_j$ 和 $\underset{j\in J}{\vee }\left(-x_j\right)$ 存在时，则有下式成立

$\underset{j\in J}{\vee }{x}_j=-\underset{j\in J}{\wedge }\left(-x_j\right)$。

性质2.8 [4] 设X是模糊序线性空间， ${\left\{x_j\right\}}_{j\in J},{\left\{y_k\right\}}_{k\in K}$ 是X上的元素，如果 $\underset{j\in J}{\vee }{x}_j,\underset{k\in K}{\vee }{y}_k$ 存在时， $\underset{j\in J,k\in K}{\vee }\left(x_j+y_k\right)$ 也存在，则 $\underset{j\in J,k\in K}{\vee }\left(x_j+y_k\right)=\underset{j\in J}{\vee }{x}_j+\underset{k\in K}{\vee }{y}_k$。

性质2.9 [4] 设X是模糊序线性空间， ${\left\{x_j\right\}}_{j\in J}$ 是X上的元素，如果 ${\vee }_{j\in J}{x}_j$ 存在，则当 $0<\alpha \in R$ 时，有 $\underset{j\in J}{\vee }\left(\alpha x_j\right)=\alpha \left(\underset{j\in J}{\vee }{x}_j\right)$。

定义2.10 [3] 设X是模糊序线性空间，如果 $\mu \left(0,x\right)>\frac{1}{2}$，则称元素x是正元素；如果 $\mu \left(x,0\right)>\frac{1}{2}$，则称元素x是负元素。

性质2.11 [3] 设X是模糊Riesz空间，则对任意 $x_1,x_2\in X$，有 $x_1+x_2=x_1\vee x_2+x_1\wedge x_2$。

性质2.12 [3] 设X是模糊Riesz空间，则以下性质成立：

(1) $\mu \left(\left|x+y\right|,\left|x\right|+\left|y\right|\right)>\frac{1}{2}$ ；

(2) $\left|\alpha x\right|=\left|\alpha \right|\left|x\right|,\forall \alpha \in R$ ；

(3) $\mu \left(\left|\left|x\right|-\left|y\right|\right|,\left|x-y\right|\right)>\frac{1}{2}$ ；

(4) $\left|x-y\right|=x\vee y-x\wedge y$。

定义2.13 [3] 设X是模糊Riesz空间，则下述命题成立：

(1) 任意元素 $f,g\in X$，如果 $\left|f\right|\wedge \left|g\right|=0$，则称他们不交，记作 $f\perp g$。

(2) 设A是X的子集，如果任意 $g\in A$ 有 $f\perp g$，则称f与A不交，记作 $f\perp A$。

(3) 设 $A_1,A_2$ 是X的子集，若任意 $f_1\in A_1,f_2\in A_2$ 有 $f_1\perp f_2$，则称两个子集不交，记作 $A_1\perp A_2$。

定义2.14 [5] 设X是模糊序线性空间，如果对于任何非负元素x，集合 $\left\{\alpha x:0<\alpha \in R\right\}$ 无上界，称X是模糊Archimedean空间。

定义2.15 [8] 设X是模糊集， $\left\{x_{\alpha }\right\}$ 是X上的网，若对任意 $\alpha$， $\beta$ 满足 $\alpha \le \beta$ 时有 $\mu \left(x_{\alpha },x_{\beta }\right)>\frac{1}{2}$，

则称 $\left\{x_{\alpha }\right\}$ 是递增的，记作 $x_{\alpha }\uparrow$。如果 $x=\sup \left\{x_{\alpha }\right\}$ 存在，记作 $x_{\alpha }\uparrow x$。同理，X中存在递减的网，可表示为 $x_{\alpha }\downarrow$ 和 $x_{\alpha }\downarrow x$。

定义2.16 [8] 设X是模糊Riesz空间，A是X的子集。如果任意 $y\in A$，当 $\mu \left(\left|x\right|,\left|y\right|\right)>\frac{1}{2}$ 时有 $x\in A$，则称A是模糊solid的。X的模糊solid向量子空间I叫做模糊理想。

定义2.17 [8] 设X是模糊Riesz空间，D是X的子集，若X中存在D的最小模糊理想即为由D生成的模糊理想，则可记作 $A_D$。

定义2.18 [8] 设X是模糊Riesz空间，A是X的子集，称 $A^d=\left\{x\in X|x\perp y,y\in A\right\}$ 是A的模糊不交补， $A^{dd}$ 是 $A^d$ 的模糊不交补，且 $A^{dd}={\left(A^d\right)}^d$。如果 $A_1\subseteq A_2$，则 $A_2^d\subseteq A_1^d$。

定义2.19 [8] 设X是模糊Riesz空间，A是X的子集，则下式成立：

(1) $A\subseteq A^{dd}$ ；

(2) $A^d=A^{ddd}$ ；

(3) $A^d\cap A^{dd}=\left\{0\right\}$ ；

(4) 如果 $A^d=\left\{0\right\}$，则 $A^{dd}=X$ ；

(5) $A^d$ 是X的模糊理想；

(6) 如果A是X的模糊理想，则对任意非零 $x\in A^{dd}$ 存在非零元素 $y\in A$ 使得 $\mu \left(\left|y\right|,\left|x\right|\right)>\frac{1}{2}$。

定义2.20 [8] 设X是模糊Riesz空间，如果模糊带P满足 $X=P+P^d$，则称P是X的模糊投影带。

定义2.21 [8] 设X是模糊Riesz空间，D是X的子集，则由D生成且包含D的最小带是X上的模糊带，记为 $\left[D\right]$。

定义2.22 [8] 设X是模糊Riesz空间，Y是X的模糊Riesz子空间，若对任意正元素 $x\in X$，存在非零元素 $y\in Y$ 使得 $\mu \left(y,x\right)>\frac{1}{2}$，则称Y在X中模糊序稠。

3. 模糊Riesz空间的模糊不交补

本节研究了模糊Riesz空间中模糊不相交补的性质，给出非零且两两不交的一列元素是线性无关的结论，以及研究模糊理想和模糊带的关系。

定理3.1假设X是模糊Riesz空间，A是X的模糊理想。则由A生成的模糊带的元素 $f\in X$ 满足

$\left|f\right|=\sup D$ 非空集合 $D\in A^{+}$ (1)

等价的， $\left[A\right]$ 包含所有的元素 $f\in X$ 满足

$\left|f\right|=\sup \left(u:u\in A^{+},\mu \left(u,\left|f\right|\right)>\frac{1}{2}\right)$ (2)

证明：显然f满足(2)式，则f满足(1)式。反之，假设f满足(1)式，则(1)中的集合D是集合

$P=\sup \left(u:u\in A^{+},\mu \left(u,\left|f\right|\right)>\frac{1}{2}\right)$ 的子集。因为D的所有上界都不小于 $\left|f\right|$，且 $D\subseteq P$，所以P的所有上界都不小于 $\left|f\right|$。显然 $\left|f\right|$ 是P的一个上界，所以 $\left|f\right|=\sup P$ 且f满足(2)。从而(1)和(2)等价。记满足(1)式和

(2)式的元素f构成的集合为B。下面证明B是模糊带 $\left[A\right]$。由模糊带定义，先证明B是线性子空间。任

取 $f_1,f_2\in B$， $D_1,D_2\in A^{+}$ 满足 $\left|f_1\right|=\sup D_1$， $\left|f_2\right|=\sup D_2$，则 $D_1+D_2$ 是 $A^{+}$ 的子集且 $\left|f_1\right|+\left|f_2\right|$ 是它的上界，所以 $\sup \left\{\left|f_1+f_2\right|\wedge \left(d_1+d_2\right):d_1\in D_1,d_2\in D_2\right\}=\left|f_1+f_2\right|\wedge \left(\left|f_1\right|+\left|f_2\right|\right)=\left|f_1+f_2\right|$，任意 $\alpha \in R$， $\sup \left(\left|\alpha \right|d_1:d_1\in D_1\right)=\left|\alpha f_1\right|$，所以B是线性子空间。下面证明B是模糊理想。假设 $\left|g\right|\le \left|f_1\right|$，因为任意 $d_1\in D_1$ 有 $\left\{\left|g\right|\wedge d_1:d_1\in A^{+}\right\}$，所以 $\sup \left(\left|g\right|\wedge d_1:d\in D_1\right)=\left|g\right|\wedge \left|f_1\right|=\left|g\right|$。所以 $g\in B$，B是模糊理想。最后证明B是模糊带。令D是 $B^{+}$ 的非空子集， $u_0$ 是它的上确界，则 $u_0\in B$。任取 $u\in D$， $u=\sup \left(v:v\in A^{+},\mu \left(v,u\right)>\frac{1}{2}\right)$， $u_0=\underset{u\in D}{\sup }\left\{\sup \left(v:v\in A^{+},\mu \left(v,u\right)>\frac{1}{2}\right)\right\}=\sup \left(v:v\in A^{+},\mu \left(v,u\right)>\frac{1}{2}\right)$。由(1)可知， $u_0\in B$，所以B是模糊带。

梁在文献 [8] 中研究介绍了由子集D生成的模糊带的基本性质，下面我们将证明它存在另一有趣的性质。

定理3.2 假设X是模糊Riesz空间，有下式成立：

(1) 如果D是X的非空子集，则 ${\left(D\cup D^d\right)}^{dd}=E$ ；

(2) 如果 $A_1,\cdots ,A_n$ 是X的模糊理想，则 ${\left(\underset{k=1}{\overset{n}{\cap }}{A}_k\right)}^{dd}=\underset{k=1}{\overset{n}{\cap }}{A}_k^{dd}$ ；

(3) 如果 $A_1,\cdots ,A_n$ 是X的模糊理想， $\left[A_1\right],\cdots ,\left[A_n\right]$ 是由 $A_1,\cdots ,A_n$ 生成的模糊带，则 $\left[\underset{k=1}{\overset{n}{\cap }}{A}_k\right]=\underset{k=1}{\overset{n}{\cap }}\left[A_k\right]$。

证明：(1) 由模糊不交补定义可得 $D\cap D^d=\left\{0\right\}$。下面证明 ${\left(D\cup D^d\right)}^{dd}=X$，等价证明 ${\left(D\cup D^d\right)}^d=\left\{0\right\}$。任取 $f\in {\left(D\cup D^d\right)}^d$，则存在 $g\in D\cup D^d$，使得 $f\perp g$。又因为 $g\in D\cup D^d$，所以存在 $g_1,g_2\in D^{+}$ 使得 $\mu \left(g_1,g\right)>\frac{1}{2}$， $\mu \left(g_2,g\right)>\frac{1}{2}$，且 $g=g_1+g_2$。所以 $f\perp g_1,f\perp g_2$， $f\in D^d\cap D^{dd}=\left\{0\right\}$，所以 $f=0$。由f的任意性可得 ${\left(D\cup D^d\right)}^d=\left\{0\right\}$，所以 $D\cup D^d=X$。

(2) 因为 $A_1\cap A_2\subseteq A_1$， $A_1\cap A_2\subseteq A_2$，所以 $A_1^d\subseteq {\left(A_1\cap A_2\right)}^d$， $A_2^d\subseteq {\left(A_1\cap A_2\right)}^d$，进一步有 ${\left(A_1\cap A_2\right)}^{dd}\subseteq A_1^{dd}$， ${\left(A_1\cap A_2\right)}^{dd}\subseteq A_2^{dd}$ 成立，所以 ${\left(A_1\cap A_2\right)}^{dd}\subseteq A_1^{dd}\cap A_2^{dd}$。反过来，假设 $f\in A_1^{dd}\cap A_2^{dd}$，由定理2.19 [8] 可知存在非零元素 $h\in A_1$ 满足 $\mu \left(\left|h\right|,\left|f\right|\right)>\frac{1}{2}$。又 $0\ne h\in A_1\cap A_2^{dd}$，所以存在非零元素 $g\in A_2$ 使得 $\mu \left(\left|g\right|,\left|f\right|\right)>\frac{1}{2}$。再次由定理2.19 [8] 可得 $A_1^{dd}\cap A_2^{dd}$ 是 ${\left(A_1\cap A_2\right)}^{dd}$ 的子集。所以 $A_1^{dd}\cap A_2^{dd}={\left(A_1\cap A_2\right)}^{dd}$。

(3) 因为 $A_1\cap A_2\subseteq A_1$， $A_1\cap A_2\subseteq A_2$，所以 $\left[A_1\cap A_2\right]\subseteq \left[A_1\right]$， $\left[A_1\cap A_2\right]\subseteq \left[A_2\right]$，所以 $\left[A_1\cap A_2\right]\subseteq \left[A_1\right]\cap \left[A_2\right]$。反之，假设存在非零元素 $u\in \left[A_1\right]\cap \left[A_2\right]$，由定理3.1可得，存在 $D_1\subseteq A_1^{+}$， $D_2\subseteq A_2^{+}$ 满足 $u=\sup \left(v:v\in D_1\right)=\sup \left(w:w\in D_2\right)$。令 $D_3=\left(v\wedge w:v\in D_1,w\in D_2\right)$，则 $u=\sup D_1$。又由 $D_3\subseteq {\left(A_1+A_2\right)}^{+}$，这表明 $u\in \left[A_1\cap A_2\right]$，所以 $\left[A_1\right]+\left[A_2\right]\subseteq \left[A_1\cap A_2\right]$。

定理3.3 设X是模糊Riesz空间， $f,g,h$ 是X中的元素，则下列各式成立：

(1) 若 $f\perp g$， $\left|h\right|\le \left|f\right|$，则 $h\perp g$ ；

(2) 若 $f\perp g$，则 $f^{+}\perp g$， $f^{-}\perp g$ ；

(3) 若 $f_1,\cdots ,f_n$ 是一列非零且两两不交的元素，则称它们是线性无关的。

证明：(1)假设 $f\perp g$ 且 $\mu \left(\left|h\right|,\left|f\right|\right)>\frac{1}{2}$，所以 $\mu \left(0,\left|h\right|\wedge \left|g\right|\right)>\frac{1}{2}$， $\mu \left(\left|h\right|\wedge \left|g\right|,\left|f\right|\wedge \left|g\right|\right)>\frac{1}{2}$。又因为 $\left|f\right|\wedge \left|g\right|=0$，所以 $\left|h\right|\wedge \left|g\right|=0$，即 $h\perp g$。

(2) 假设 $f\perp g$， $f^{+}$ 和 $f^{-}$ 都是正元素，因为 $\mu \left(f^{+},\left|f\right|\right)>\frac{1}{2}$， $\mu \left(f^{-},\left|f\right|\right)>\frac{1}{2}$，所以 $f^{+}\perp g$， $f^{-}\perp g$。

(3) 假设 $f_1,\cdots ,f_n$ 是一列非零元素且两两不交。设这列元素不是线性无关的，所以存在其中一个元素 $f_1$ 可由其它剩余元素线性表示，不妨设为 $f_1={\alpha }_2{f}_2+\cdots +{\alpha }_n{f}_n$。由定理4.18 [4] 可得 $f_1\perp \left({\alpha }_2{f}_2+\cdots +{\alpha }_n{f}_n\right)$，所以 $f_1\perp f_1$。这表明 $f_1=0$。与假设矛盾。所以 $f_1,\cdots ,f_n$ 是线性无关的。

定理3.4 设X是模糊Riesz空间，则X是模糊Archimedean空间的充要条件是由X的任意非空子集D生成的模糊带是 $D^{dd}$。

证明：假设X是模糊Riesz空间， $\left[D\right]$ 由子集D生成。定理5.8 [8] 表明 ${\left[D\right]}^d\subseteq D^d$。反之，假设 $x\in D^d$，下需证明 $x\in {\left[D\right]}^d$，即对任意 $h\in \left[D\right]$，有 $\left|x\right|\perp \left|h\right|$ 成立。由定理5.3 [8] 可知，存在 ${\left\{h_{\alpha }\right\}}_{\alpha \in A}\in A_D^{+}$ 使得 $h_{\alpha }\uparrow \left|h\right|$。再由定理3.3可知 $\left|x\right|\perp \left|h\right|$。这表明 $x\in {\left[D\right]}^d$。所以 $D^d\subseteq {\left[D\right]}^d$。所以 $D^d={\left[D\right]}^d$， $D^{dd}={\left[D\right]}^{dd}$， $D^{dd}=\left[D\right]$。

另一方面， $D^{dd}$ 由D生成，记作 $\left[D\right]$。引理5.7 [8] 表明 $\left[D\right]={\left[D\right]}^{dd}=D^{dd}$。定理5.8 [8] 表明X是模糊Archimedean空间。

在文献 [4] 中，I. Beg已证明若在模糊Riesz空间中结合律成立，则无限分配率也成立。接下来，定理3.5将在没有结合律成立的情况下证明无限分配率成立。

定理3.5 设X是模糊Riesz空间， ${\left\{y_j\right\}}_{j\in J}$ 是X中的一列数且 $y_j\in X$。任意 $x\in X$，当 $\vee y_j$ 存在时，有 $\vee \left(x\wedge y_j\right)$ 存在，此时下式成立：

$x\wedge \left(\vee y_j\right)=\underset{j\in J}{\vee }\left(x\wedge y_j\right)$。

证明：设 ${\left\{y_j\right\}}_{j\in J}$ 是X中的一列数且 $\vee y_j$ 存在，假设 $\vee y_j=a$，下面证明 $x\wedge a=\underset{j\in J}{\vee }\left(x\wedge y_j\right)$。因为 $\mu \left(y_j,a\right)>\frac{1}{2}$，所以对任意 $j\in J$，我们有 $\mu \left(x\wedge y_j,x\wedge a\right)>\frac{1}{2}$。这表明 $x\wedge a$ 是 $\left\{x\wedge y_j\right\}$ 的一个上界。假设h是它的任意一个上界。由性质2.12 [3] 可得 $\mu \left(x\wedge y_j,h\right)>\frac{1}{2}$，这表明 $\mu \left(y_j+x-y_j\vee x,h\right)>\frac{1}{2},\forall j\in J$。进一步可得 $\mu \left(y_j,h-x+a\vee x\right)>\frac{1}{2},\forall j\in J$。由 $y_j$ 的任意性，所以 $\mu \left(a,h-x+a\vee x\right)>\frac{1}{2}$ 成立，且 $\mu \left(a+x-a\vee x,h\right)>\frac{1}{2}$。因此 $x\wedge a=\underset{j\in J}{\vee }\left(x\wedge y_j\right)$。即证 $x\wedge \left(\vee y_j\right)=\underset{j\in J}{\vee }\left(x\wedge y_j\right)$。

4. 模糊投影带

本节先在模糊Riesz空间中讨论了模糊投影带，然后给出模糊序基的定义，最后讨论模糊序稠的一些性质及模糊理想与模糊带之间的关系。

定理4.1 设X是模糊Riesz空间，P是模糊带，则P是模糊投影带当且仅当任意 $u\in X^{+}$ 有 $u_1=\sup \left(v:v\in P^{+},\mu \left(v,u\right)>\frac{1}{2}\right)$，其中 $u_1$ 是u在P上的部分， $u_2=\sup \left(w:w\in P^{d^{+}},\mu \left(w,u\right)>\frac{1}{2}\right)$， $u_2$ 是u在 $P^d$ 上的部分。并且 $u=u_1+u_2$，其中 $u_1\in P$， $u_2\in P^d$。

证明：假设P是模糊投影带，则 $X=P+P^d$。任取 $u\in P$，则存在 $u_1\in P$， $u_2\in P^d$ 使得 $u=u_1+u_2$。令 $V=\sup \left(v:v\in P^{+},\mu \left(v,u\right)>\frac{1}{2}\right)$。任意 $v\in V$ 有 $\mu \left(0,u-v\right)>\frac{1}{2}$，所以 $u-v=\left(u_1-v\right)+u_2$， $\mu \left(0,u_1-v\right)>\frac{1}{2}$，进一步可得 $\mu \left(v,u_1\right)>\frac{1}{2}$。这表明 $u_1\in U\left(V\right)$，所以 $u_1$ 是V的上界， $u_1=\sup \left(v:v\in P^{+},\mu \left(v,u\right)>\frac{1}{2}\right)\in P$。同理可得 $u_2=\sup \left(w:w\in P^{d^{+}},\mu \left(w,u\right)>\frac{1}{2}\right)\in P^d$。反之，假设P是模糊带，所以 $u_1\in P$ 时有 $u_1=\sup \left(v:v\in P^{+},\mu \left(v,u\right)>\frac{1}{2}\right)$。因为 $u_2=u-u_1$， $X=P+P^d$，由模糊投影带的定义可知P是模糊投影带。假设 $u_2\notin P^d$。令 $p=u_2\wedge z$，则 $p\in P^{+}$ 且 $\mu \left(p,u_2\right)>\frac{1}{2}$，所以 $u_1+p\in P$， $\mu \left(u_1+p,u\right)>\frac{1}{2}$，这表明 $u_1+p\in \left(v:v\in P,\mu \left(v,u\right)>\frac{1}{2}\right)$。又 $\mu \left(\left(u_1+p\right),\sup \left(v:v\in P,\mu \left(v,u\right)>\frac{1}{2}\right)\right)>\frac{1}{2}$， $\mu \left(p,0\right)>\frac{1}{2}$，与假设矛盾，所以 $u_2=u-u_1\in P^d$，即P是模糊投影带。

定理4.2 设X是模糊Riesz空间，P是由 $v\in X^{+}$ 生成的模糊正则带，则下列各式成立：

(1) P是模糊投影带当且仅当任意 $u\in X^{+}$ 有 $u_1=\sup \left(u\wedge nv:n=1,2,\cdots \right)$ 存在，其中 $u_1$ 是u在P上的部分。此时， $u_1=Pu$。

(2) 若u是P的正元素，则 $u=\sup \left(u\wedge nv:n=1,2,\cdots \right)$ 存在。

证明：(1)设P是由 $v\in X^{+}$ 生成的模糊正则带。任取 $u\in X^{+}$，定义 $W=\left(w\in P^{+}:\mu \left(w,u\right)>\frac{1}{2}\right)$， $W_1=\left(u\wedge nv:n=1,2,\cdots \right)$。显然有 $W_1\subseteq W$，即W的上界都是 $W_1$ 的上界。下面证明 $W_1$ 的上界都是W的上界。设 $w\in W$，所以存在向上集 $\left(w_{\tau }:\tau \in \left\{\tau \right\}\right)\uparrow w$，且该向上集是由 $v\in X^{+}$ 生成的模糊正则理想的子集，所以 $\mu \left(w_{\tau },n_{\tau }v\right)>\frac{1}{2}$， $n_{\tau }\in N$。已知 $\mu \left(w_{\tau },w\right)>\frac{1}{2}$， $\mu \left(w,u\right)>\frac{1}{2}$，还需证明 $\mu \left(w_{\tau },\left(u\wedge n_{\tau }v\right)\right)>\frac{1}{2}$。这表明 $W_1$ 的上界都是W的上界，且W和 $W_1$ 有相同上界。所以 $\sup W_1$ 存在等价于 $\sup W$ 存在，且 $\sup W_1=\sup W$。由定理4.1可知P是模糊正则带当且仅当 $u_1=\sup W$ 存在当且仅当 $u_1=\sup W_1=\sup \left(u\wedge nv:n=1,2,\cdots \right)$ 存在，其中 $u_1$ 是u在P上的部分。

(2) 假设P是由它自己生成的模糊Riesz空间，则P也是由v生成的模糊正则带，由(1)可知，任意 $u\in P^{+}$， $u=\sup \left(u\wedge nv:n=1,2,\cdots \right)$ 存在。

性质4.3 设X是模糊Riesz空间，任意 $f,g,h\in X$，有

(1) $\left|f\vee h-g\vee h\right|+\left|f\wedge h-g\wedge h\right|=\left|f-g\right|$ ；

(2) $\mu \left(\left|f\vee h-g\vee h\right|,\left|f-g\right|\right)>\frac{1}{2},\mu \left(\left|f\wedge h-g\wedge h\right|,\left|f-g\right|\right)>\frac{1}{2}$。

证明：(1)由性质2.12 [3] 可得(1)。(2)由(1)可得。

性质4.4 设X是模糊Riesz空间，任意正数 $u,v,w\in X$，有

$u\wedge w+v\wedge w-w\le \left(u+v\right)\wedge w\le u\wedge w+v\wedge w\le u\wedge v+w$ (3)

和

$u\vee v\le u\vee w+v\vee w-w\le \left(u+v\right)\vee w\le u\vee w+v\vee w$ (4)

如果 $v\wedge w=0$，则 $\left(u+v\right)\wedge w=u\wedge w$。

如果 $u\wedge v=0$，则 $\left(u+v\right)\wedge w=u\wedge w+v\wedge w$。

证明： $\mu \left(u\wedge v+v\wedge w,u\wedge v+w\right)>\frac{1}{2}$ 显然成立。令 $l=u\wedge w+v\wedge w$，所以 $\mu \left(l,u+w\right)>\frac{1}{2}$， $\mu \left(l,v+w\right)>\frac{1}{2}$，因为 $\left(u+w\right)\wedge \left(v+w\right)=u\wedge v+w$，所以 $\mu \left(l,u\wedge v+w\right)>\frac{1}{2}$，从而(3)中的最后一个不等式成立。同理可证 $\mu \left(u\wedge w+v\wedge w-w,\left(u+v\right)\wedge w\right)>\frac{1}{2}$。因为 $\mu \left(u\wedge w,u\right)>\frac{1}{2}$， $\mu \left(u\wedge w,w\right)>\frac{1}{2}$， $\mu \left(v\wedge w,v\right)>\frac{1}{2}$， $\mu \left(v\wedge w,w\right)>\frac{1}{2}$，所以 $\mu \left(u\wedge w+v\wedge w,u+v\right)>\frac{1}{2}$， $\mu \left(u\wedge w+v\wedge w,w+w\right)>\frac{1}{2}$，所以 $\mu \left(u\wedge w+v\wedge w-w,\left(u+v\right)\wedge w\right)>\frac{1}{2}$。最后证明(3)中的第二个不等式，记作(4)式。由性质4.3可知 $\left(u+v\right)\wedge w-u\wedge w=\left|\left(u+v\right)\wedge w-u\wedge w\right|$， $\mu \left(\left|\left(u+v\right)\wedge w-u\wedge w\right|,\left|\left(u+v\right)-u\right|=v\right)>\frac{1}{2}$，因为 $\mu \left(\left(u+v\right)\wedge w-u\wedge w,\left(u+v\right)\wedge w\right)>\frac{1}{2}$， $\mu \left(\left(u+v\right)\wedge w,w\right)>\frac{1}{2}$，所以 $\mu \left(\left(u+v\right)\wedge w-u\wedge w,v\wedge w\right)>\frac{1}{2}$。由 $\mu \left(\left(u+v\right)\vee w,u\vee w+v\vee w\right)>\frac{1}{2}$， $\mu \left(u,u\vee w\right)>\frac{1}{2}$， $\mu \left(w,u\vee w\right)>\frac{1}{2}$， $\mu \left(v,v\vee w\right)>\frac{1}{2}$， $\mu \left(w,v\vee w\right)>\frac{1}{2}$，所以 $\mu \left(\left(u+v\right)\vee w,u\vee w+v\vee w\right)>\frac{1}{2}$。同理可证， $\mu \left(u\vee v,u\vee w+v\vee w-w\right)>\frac{1}{2}$ 成立。由于 $\mu \left(\left(u+v\right)\wedge w,u\wedge w+v\wedge w\right)>\frac{1}{2}$， $u+v+w=\left(u+w\right)+\left(v+w\right)-w$，所以 $\mu \left(\left(\left(u+w\right)+\left(v+w\right)-w-\left(u+v\right)\wedge w\right),\left(\left(u+w\right)+\left(v+w\right)-w-\left(u\wedge w+v\wedge w\right)\right)\right)>\frac{1}{2}$。所以 $\mu \left(u\vee v,u\vee w+v\vee w-w\right)>\frac{1}{2}$。

若 $v\wedge w=0$，由(3)式可知 $\mu \left(\left(u+v\right)\wedge w,u\wedge w\right)>\frac{1}{2}$， $\mu \left(u,u+v\right)>\frac{1}{2}$，这表明 $\mu \left(u\wedge w,\left(u+v\right)\wedge w\right)>\frac{1}{2}$ 成立，所以 $\left(u+v\right)\wedge w=u\wedge w$。

若 $u\wedge v=0$，则 $u+v=u\vee v+u\wedge v$，所以 $u+v=u\vee v$。记 $u_1=u\wedge w$， $v_1=v\wedge w$，所以 $u_1+v_1=u_1\vee v_1$，这就证明了 $\left(u+v\right)\wedge w=\left(u\vee v\right)\wedge w=\left(u\wedge w\right)\vee \left(v\wedge w\right)=u_1\vee v_1=u_1+v_1=u\wedge w+v\wedge w$。

定义4.5 假设X是模糊Riesz空间，A是X中的模糊理想， $\left\{f_{\sigma }:\sigma \in \left\{\sigma \right\}\right\}$ 是A中的集合。

(1) 如果 $\left\{f_{\sigma }:\sigma \in \left\{\sigma \right\}\right\}$ 生成的模糊理想在A上模糊序稠，则称 $\left\{f_{\sigma }:\sigma \in \left\{\sigma \right\}\right\}$ 是A的模糊序基；

(2) 如果 $\left\{f_{\sigma }:\sigma \in \left\{\sigma \right\}\right\}$ 生成的模糊理想在A上模糊准序稠，则称 $\left\{f_{\sigma }:\sigma \in \left\{\sigma \right\}\right\}$ 是A的模糊准序基。

定理4.6 设X是模糊Riesz空间，下列各式成立：

(1) 假设X有有限或可数模糊序基时，X中的每个模糊投影带也有有限或可数模糊序基。

(2) 假设X有模糊投影性。如果X中的每个模糊带有有限或可数模糊序基，则模糊带中的模糊带也有有限或可数模糊序基。

(3) 假设X有模糊投影性且有有限或可数模糊序基，则X中的每个模糊带有有限或可数模糊序基。

证明：假设P是X中的投影带， $\left(u_n:n=1,2,\cdots \right)$ 是X的模糊序基且有 $u_n\in X^{+},u_n\uparrow$。任意 $n\in N$，令 $u_n=v_n+w_n$， $u_n\in P,w_n\in P^d$，下面证明 $\left(v_n:n=1,2,\cdots \right)$ 是A的模糊序基。任取 $z\in X^{+}$，有 $z=\sup \left(z\wedge n{v}_n:n=1,2,\cdots \right)=\sup \left(z\wedge \left(n{v}_n+n{w}_n\right):n=1,2,\cdots \right)$。因为 $P^{+}=P\cap X^{+}$，所以存在 $z\perp w_n,\forall n\in N$。由性质4.4可知 $z\wedge \left(n{v}_n+n{w}_n\right)=z\wedge n{v}_n,\forall n\in N$，所以 $z=\sup \left(z\wedge n{v}_n:n=1,2,\cdots \right)$。因为 $z\in P^{+}$ 是 $\left(v_n:n=1,2,\cdots \right)$ 生成的模糊带中的元素，所有P包含在这个模糊带中。反过来，显然有 $\left(v_n:n=1,2,\cdots \right)$ 生成的模糊带包含在P中。所以P与由 $\left(v_n:n=1,2,\cdots \right)$ 生成的模糊带等价。所以 $\left(v_n:n=1,2,\cdots \right)$ 是P的模糊序基。

(2)和(3)的证明由(1)可得。

定义4.7 设X是模糊Riesz空间，A和B是模糊理想。若 $B\subseteq A^{dd}$，则A在B中模糊序稠，即当 $0\ne f\in B$ 时存在 $0\ne g\in A$ 使得 $\mu \left(\left|g\right|,\left|h\right|\right)>\frac{1}{2}$。

定理4.8 假设X是模糊Riesz空间，A是模糊理想，则模糊理想 $A\oplus A^d$ 模糊准序稠。

证明： $A\subseteq A\oplus A^d$， $A^d\subseteq A\oplus A^d$ 显然成立，所以 ${\left(A\oplus A^d\right)}^d\subseteq A^d$， ${\left(A\oplus A^d\right)}^d\subseteq A^{dd}$，所以 ${\left(A\oplus A^d\right)}^d\subseteq A^d\cap A^{dd}$， ${\left(A\oplus A^d\right)}^d=\left\{0\right\}$， ${\left(A\oplus A^d\right)}^{dd}=E$。因为 $A\oplus A^d\subseteq {\left(A\oplus A^d\right)}^{dd}=E$，所以 $A\oplus A^d$ 在X上模糊准序稠。

定义4.9 设X是模糊Archimedean空间，G是X的模糊Riesz子空间，则G在X上模糊序稠当且仅当任意 $x\in X^{+}$， $\left\{y\in G^{+}:\mu \left(y,x\right)>\frac{1}{2}\right\}\uparrow x$。

证明：假设 $x\in X^{+}$， $\left\{y\in G^{+}:\mu \left(y,x\right)>\frac{1}{2}\right\}\uparrow x$，所以 $\mu \left(y,x\right)>\frac{1}{2}$，由模糊序稠定义可知G在X上模糊序稠。反之，假设G在X上模糊序稠，则 $\mu \left(y,x\right)>\frac{1}{2}$，从而 $x\in U\left(y\right)$。假设存在正元素 $z\in X^{+}$ 满足 $\mu \left(z,x\right)>\frac{1}{2}$，且对任意 $y\in G$ 有 $\mu \left(y,z\right)>\frac{1}{2}$ 成立，则 $z\in U\left(y\right)$ 且 $\mu \left(0,x-z\right)>\frac{1}{2}$。因为G在X上模糊序稠，所以存在 $u\in G^{+}$ 使得 $\mu \left(u,x-z\right)>\frac{1}{2}$。由 $\mu \left(u,z\right)>\frac{1}{2}$，所以 $\mu \left(2u,x\right)>\frac{1}{2}$。由数学归纳法可得 $\mu \left(nu,x\right)>\frac{1}{2}$。这与假设矛盾，所以 $\mu \left(z,x\right)>\frac{1}{2}$ 不成立，所以 $\mu \left(x,z\right)>\frac{1}{2}$，即 $z\in U\left(x\right)$。所以 $\left\{y\in G^{+}:\mu \left(y,x\right)>\frac{1}{2}\right\}\uparrow x$。

定理4.10 设X是模糊Archimedean空间，则由X中的子集A生成的模糊带即为 $A^{dd}$。

证明：由A生成的模糊带与A生成的模糊理想是一样的。所以不妨设A是模糊理想。定理4.8 [8] 表

明A在 $A^{dd}$ 中模糊序稠。定理4.9证明，任意 $x\in A^{dd}$，存在 $\left\{x_{\alpha }\right\}\subseteq A^{+}$ 满足 $\mu \left(x\alpha ,x\right)>\frac{1}{2}$ 且 $x=\sup \left\{x_{\alpha }\right\}$。所以 $A^{dd}$ 是包含A的最小模糊带。

性质4.11 设A是模糊Riesz空间X的模糊理想， $\left\{f_{\sigma }:\sigma \in \left\{\sigma \right\}\right\}$ 是A的模糊序基当且仅当 $\left\{\left|f_{\sigma }\right|:\sigma \in \left\{\sigma \right\}\right\}$ 也是A的模糊序基。 $\left(u_{\tau }:\tau \in \left\{\tau \right\}\right)$ 是向上集，则对任意 $n\in N$， ${\sigma }_1\cdots ,{\sigma }_n\in \left\{\sigma \right\}$， $\left(\left|f_{{\sigma }_1}\right|,\cdots ,\left|f_{{\sigma }_n}\right|\right)$ 是 $\left|f_{\sigma }\right|$ 的有

限上界。 $\left(u_{\tau }:\tau \in \left\{\tau \right\}\right)$ 也是A的模糊序基。若模糊理想是由 $\left(u_{\tau }:\tau \in \left\{\tau \right\}\right)$ 生成的，则存在非负 $c=c_{\tau }$， $\tau ={\tau }_f$ 满足 $\left|f\right|\le c{u}_{\tau }$。

证明：已知 $\left\{f_{\sigma }\right\}$ 是A的模糊序基，设 $A_1$ 为由 $\left\{f_{\sigma }\right\}$ 生成的模糊理想，则 $A,A_1$ 都在A中模糊序稠。所以存在 $y\in A_1^{+}$ 使得对任意 $x\in A$ 有 $\mu \left(y,x\right)>\frac{1}{2}$， $\left|y\right|\in A_1^{+}$ 满足 $\mu \left(\left|y\right|,\left|x\right|\right)>\frac{1}{2}$，所以由 $\left\{\left|f_{\sigma }\right|\right\}$ 生成的模糊理想在A上模糊序稠，且 $\left\{\left|f_{\sigma }\right|\right\}$ 是A的模糊序基。假设 $\left\{\left|f_{\sigma }\right|\right\}$ 是A的模糊序基，A和 $A_2$ 都是由 $\left\{\left|f_{\sigma }\right|\right\}$ 生成的模糊理想，则A和 $A_2$ 都在A上模糊序稠。任意 $\left|x\right|\in A$，存在 $y\in A_2^{+}$ 使得 $\mu \left(\left|y\right|,\left|x\right|\right)>\frac{1}{2}$。因为A和 $A_2$ 是模糊理想，所以 $x\in A^{+},y\in A_2^{+}$，所以 $\mu \left(y,x\right)>\frac{1}{2}$。

定理4.12 假设X是模糊Riesz空间，P是X上由有限或可数集 $\left(v_n:n=1,2,\cdots \right)$ 生成的模糊带，且 $v_n\uparrow$，则任意 $u\in P^{+}$，存在 $u=\sup \left(u\wedge n{v}_m:m,n=1,2,\cdots \right)=\sup \left(u\wedge n{v}_n:n=1,2,\cdots \right)$。

证明：令 $P_{\left(v\right)}$ 是由 $\left(v_n:n=1,2,\cdots \right)$ 生成的模糊理想，P是由 $P_{\left(v\right)}$ 生成的模糊带。由定理4.2已知，u是所有满足 $\left(w\in P^{+}:\mu \left(w,u\right)>\frac{1}{2}\right)$ 的w构成集合的上确界，即任意 $w\in P^{+}$ 满足 $\mu \left(w,u\right)>\frac{1}{2}$ 时，有 $u=\sup W$。定义 $W_1=\left(u\wedge n{v}_m:m,n=1,2,\cdots \right)$， $W_2=\left(u\wedge n{v}_n:n=1,2,\cdots \right)$，显然有 $W_2\subseteq W_1\subseteq W$。反之，我们需要证明w也是 $W_1$ 和 $W_2$ 的上确界。任取 $w\in W^{+}$，则 $w\in P_{\left(v\right)}$。由性质4.11可知存在 $k=k_w,m=m_w$ 使得 $\mu \left(w,k{v}_w\right)>\frac{1}{2}$。令 $n=\max \left(k,m\right)$，所以 $\mu \left(w,u\wedge n{v}_n\right)>\frac{1}{2}$。因为 $w\in P_{\left(v\right)}$，所以 $\mu \left(w,u\right)>\frac{1}{2}$。由 $\mu \left(w,n{v}_n\right)>\frac{1}{2}$ 可得 $\mu \left(w,u\wedge n{v}_n\right)>\frac{1}{2}$。所以 $W_2$ 的所有上界都是W的上界，即 $\sup W=\sup W_1=\sup W_2$。

定理4.13 假设X是模糊Riesz空间，且X是模糊Dedekind $\sigma$ -完备或有模糊投影性，P是由 $\left(v_n:n=1,2,\cdots \right)\subseteq X$ 生成的模糊带且 $v_n\in X^{+},v_n\uparrow$，则P是模糊投影带， $Pu=\sup \left(u\wedge n{v}_m:m,n=1,2,\cdots \right)=\sup \left(u\wedge n{v}_n:n=1,2,\cdots \right)$ 是 $u\in X^{+}$ 在P上的部分。

证明：令 $P_{\left(v\right)}$ 是由 $\left(v_n:n=1,2,\cdots \right)$ 生成的模糊理想，P是由 $P_{\left(v\right)}$ 生成的模糊带。任取 $u\in X^{+}$，令 $W=\left(v\in P_v^{+}:\mu \left(w,u\right)>\frac{1}{2}\right)$， $W_1=\left(u\wedge n{v}_m:m,n=1,2,\cdots \right)$， $W_2=\left(u\wedge n{v}_n:n=1,2,\cdots \right)$。根据定理4.12的结论可知 $W,W_1,W_2$ 有相同的上界。令 $W_0=\left(w\in P^{+}:\mu \left(w,u\right)>\frac{1}{2}\right)$，所以 $W\subseteq W_0$。下面证明W的上界都是 $W_0$ 的上界。又因为 $W_0$ 的元素都是W的上界，所以 $W,W_1,W_2$ 有相同上界。

如果X有模糊投影性，则P是X的模糊投影带。根据定理4.1，所以 $Pu=\sup W_0$，所以 $Pu=\sup W_0=\sup W_1=\sup W_2$。

如果X是模糊Dedekind $\sigma$ -完备，则 $\sup W_0,\sup W_2$。由定理4.1可知，P是模糊投影带且 $Pu=\sup W_0$。所以 $Pu=\sup W_1=\sup W_2$。

定理4.14 设X是模糊Riesz空间。令 $u\in X^{+}$，序列 $\left(u_n:n=1,2,\cdots \right)$ 是递减序列，则 $\frac{u}{n}\downarrow 0$ 当且仅当 $u\in A^{dd}$ 使得 $u\in \left[A\right]$。

证明：假设A是模糊理想且 $\frac{u}{n}\downarrow 0,u\in A^{dd}$， $u\in \left[A\right]$ 不成立。即 $u\ne \sup \left\{M_u=\left(v\in A:\mu \left(v,u\right)>\frac{1}{2}\right)\right\}$。所以集合 $M_u$ 存在上界 $w_1$ 满足 $\mu \left(w_1,u\right)>\frac{1}{2}$。令 $w=u\wedge w_1$，则w是 $M_u$ 的上界且 $\mu \left(w,u\right)>\frac{1}{2}$，这表明 $u-w\in A^{dd}$。因为 $A\subseteq A^{dd}$，所以A在 $A^{dd}$ 中模糊序稠。从而存在 $z\in A$，使得 $\mu \left(0,z\right)>\frac{1}{2}$， $\mu \left(z,u-w\right)>\frac{1}{2}$。对任意 $v\in M_u$，可以得到 $z+v\in A^{+}$， $\mu \left(z+v,z+w\right)>\frac{1}{2}$， $\mu \left(z+w,u\right)>\frac{1}{2}$。由v的任意性，令 $v=z,2z,\cdots$，可得 $nz\in M_u$ 且满足 $\mu \left(nz,u\right)>\frac{1}{2}$，所以 $\mu \left(0,z\right)>\frac{1}{2}$， $\mu \left(z,\frac{u}{n}\right)>\frac{1}{2}$。与假设矛盾，所以 $u\in \left[A\right]$。

已知当 $u\in \left[A\right]$ 时有 $u\in A^{dd}$，而 $\frac{u}{n}\downarrow 0$ 不成立。所以存在 $v\in X^{+}$ 使得 $\mu \left(nv,u\right)>\frac{1}{2}$。令 $A=A_v+A_v^d$，其中 $A_v$ 是由v生成的模糊正则带。由定理4.13可知A在X上模糊序稠，所以 $A^{dd}=E,u\in A^{dd}$。下面证明 $u\notin \left[A\right]$。设 $M_u=\left(w\in A^{+},\mu \left(w,u\right)>\frac{1}{2}\right)$。证明 $u\notin \left[A\right]$ 等价证明 $u\ne \sup M_u$。取 $w\in M_u$ 满足 $w=w_1+w_2$， $\mu \left(w_1,w\right)>\frac{1}{2}$， $\mu \left(w_2,w\right)>\frac{1}{2}$，其中 $w_1\in A_v$， $w_2\in A_v^d$。由 $A_v=\left(f:\mu \left(\left|f\right|,nv\right)>\frac{1}{2}\right)$ 的定义，所以任意 $n\in N$，有 $\mu \left(w_1,nv\right)>\frac{1}{2}$。所以 $\mu \left(w_1+v,\left(n+1\right)v\right)>\frac{1}{2}$， $\mu \left(\left(n+1\right)v,u\right)>\frac{1}{2}$，进一步可得 $w_1+v\in A_v$， $\mu \left(w_2,w\right)>\frac{1}{2}$， $\mu \left(w,u\right)>\frac{1}{2}$， $w_2\perp w_1+v$，所以 $w_2+\left(w_1+v\right)=w_2\vee \left(w_1+v\right)$， $\mu \left(w_2+\left(w_1+v\right),u\right)>\frac{1}{2}$，所以 $\mu \left(w,u-v\right)>\frac{1}{2}$ 成立。这证明 $u-v$ 是 $M_u$ 的上界。又 $\mu \left(0,v\right)>\frac{1}{2}$，与假设矛盾，所以 $u\notin \left[A\right]$。

5. 结论

本篇文章，首先研究讨论了模糊Riesz空间的模糊不交补的一些性质；然后我们给出了模糊序稠的定义，并研究了模糊理想和模糊带的关系；最后，本文提出模糊序基的概念并讨论了它的一些基本性质。

基金项目

国家自然科学基金资助(11801458)。