1. 引言
关于M-亚正规算子已有不少讨论( [1] - [10] )。其中,关于M-亚正规算子的判断,有学者已研究出:若
是一个以
为权序列的加权移位算子,
是M-亚正规算子当且仅当权序列
最终单调递增 [1] 。这给出了一种基于单调性判断的M-亚正规算子判定方式,但若权序列非最终单调递增,M-亚正规算子的判断又变得相对复杂。因此,该学者又进一步研究了一种非最终单调递增权序列对应的加权移位算子,得到了一条新的定理,定理内容是:设
是权序列
的加权移位,如果
恰好有两个子列极限,且较大的极限与T的谱半径
不同,则T不是M-亚正规的 [1] 。基于这个定理,我们考虑单边加权移位算子
易知该单边加权移位算子的权序列恰好有两个子列极限
,满足定理使用条件。经计算,
的谱半径
,因此根据上述定理,
是M-亚正规算子当且仅当
,即
是M-亚正规算子当且仅当
。由此我们得到结论:
结论:
是M-亚正规算子当且仅当
[1] 。
基于上述结论,本文考虑了以有界正数序列
为权序列的单边加权移位算子
并对其是否为M-亚正规算子进行了研究。
2. 预备知识
设
是复可分Hilbert空间H上有界线性算子构成的代数空间。如果算子
满足
,则称该算子是正规的。如果算子
满足对所有
及
有
成立,则该算子是M-亚正规的。
定理:设
是权序列
的加权移位,如果
恰好有两个子列极限,且较大的极限与T的谱半径
不同,则T不是M-亚正规的 [1] 。
3. 结果
考虑有界正数权序列
是以
为权序列的加权移位,即
关于其是否为M-亚正规算子,我们得到的主要定理如下:
定理1:当
或
或
时,
不是M-亚正规算子。
证明:
如果
,简单计算得
由预备知识中的定理可得,此时
不是M-亚正规算子。
相同方法可得,
及
时,
均不是M-亚正规算子。
定理2:令
是以
为权序列的单边加权移位算子,
,如果权序列
中的
满足
,那么T不是M-亚正规算子。
证明。
定义
,
,
,其中
。
时,
收敛,因此对
,
。
简单计算得
进一步化简可得
(1.1)
令
此时取
。
当
时,
发散,
由(1.1)
因此,T不是M-亚正规算子。
应用举例:
1. 设
由于
。
根据定理2,
不是M-亚正规算子。
2. 设
由于
。
根据定理2,
是M-亚正规算子。
猜想3:给定一个有界正数序列
,
是以
为权序列的单边加权移位算子,猜想
是M-亚正规的,当且仅当
。
4. 结语
本文得出了以
为权序列的单边加权移位算子是否为M-亚正规的两种判断方式。并基于所得结论,提出猜想:此类加权移位算子为M-亚正规算子当且仅当
。关于猜想是否成立,还需要进一步证明。
基金项目
大学生创新训练计划项目(X202210165167)。
参考文献