变分数阶随机微分方程的Euler-Maruyama方法

An Euler-Maruyama Method for Variable-Order Fractional Stochastic Differential Equations

摘要: 本文对一类变分数阶随机微分方程初值问题构造了一个Euler-Maruyama (EM)数值方法，并分析了该EM方法的稳定性和强收敛性。最后，通过两个数值算例来验证了理论分析结果的正确性。

Abstract: This paper constructs an Euler-Maruyama (EM) method for a kind of variable-order fractional sto-chastic differential equations with an initial condition, and analyzes the stability and strong con-vergence of the presented EM method. Finally, two numerical examples are given to verify the cor-rectness of the theoretical results.

1. 引言

近年来，带有噪声项的分数阶微分方程开始引起广大科技工作者的关注 [1] [2] [3]。但是，这类方程的解析解几乎是无法获得的。因此，数值求解这类方程就显得尤为重要。毛文亭等在2018年对一类带乘性噪声分数阶随机微分方程给出了数值方法，并分析了该数值方法的弱稳定性和弱收敛性 [4]。Doan等人在2019年提出了一个Euler-Maruyama (EM)方法，用以解决分数阶指标 $\alpha \in \left(0.5,1\right)$ 时带有乘性白噪声分数阶随机微分方程的初值问题 [5]。Huang等人在2022年对多项分数阶随机微分方程构造了一个EM格式，并给出了该格式的快速计算方法 [6]。

变分数阶随机微分方程是分数阶随机微分方程的一个全新研究方向 [7] [8]。在对长时间的粘弹性行为建模时，可变的阶数可以更准确地描述初始时间点附近的弹性行为。Yang等人首次将EM方法应用于计算带有乘性白噪声的变分数阶随机微分方程，并证明了该方法的强收敛性 [9]。本文将在 [9] 的基础上，为以下变分数阶随机微分方程构造一个EM方法，并进行相应的数值分析

$u^{\prime }\left(t\right)=c{I}_{0,t}^{\alpha \left(t\right)}u\left(t\right)+f\left(t,u\left(t\right)\right)+g\left(t,u\left(t\right)\right)\frac{\text{d}{W}_t}{\text{d}t},t\in (0,T]$ (1)

初值 $u\left(0\right)=u_0$， $c\ge 0$ 为一个固定常数。 $I_{0,t}^{\alpha \left(t\right)}u\left(t\right)$ 为变分数阶积分算子 [10]，定义如下：

$I_{0,t}^{\alpha \left(t\right)}u\left(t\right)=\frac{1}{\text{Γ}\left(\alpha \left(t\right)\right)}{\displaystyle {\int }_0^t\frac{u\left(s\right)}{{\left(t-s\right)}^{1-\alpha \left(t\right)}}\text{d}s}\text{.}$

${\left(W_t\right)}_{t\in [0,\infty )}$ 是一个在完备概率空间 $\left(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{F}={\left\{{\mathcal{F}}_t\right\}}_{t\in [0,\infty )},\mathbb{P}\right)$ 上的标准布朗运动。

2. 假设及EM方法的构造

为了确保方程(1)的解的适定性，以及数值理论分析的需要，给出下面3个假设：

(A) 方程的漂移项和扩散项在 ${ℝ}^d$ 上满足Lipschitz条件：存在 $L>0$ 对所有 $x,y\in {ℝ}^d$， $t\in \left[0,T\right]$ 都有

$\left|f\left(t,x\right)-f\left(t,y\right)\right|\vee \left|g\left(t,x\right)-g\left(t,y\right)\right|\le L\left|x-y\right|.$

(B) 线性增长条件：存在 $L>0$ 使得对 $x\in {ℝ}^d$， $t\in \left[0,T\right]$ 都有

$\left|f\left(t,x\right)\right|\vee \left|g\left(t,x\right)\right|\le L\left(1+\left|x\right|\right).$

(C) $\alpha \in C^1\left[0,T\right]$，即 $\alpha \left(t\right)$ 在区间 $\left[0,T\right]$ 上连续可微。且存在 $0<\alpha \left(t\right)<{\alpha }^{*}<1$，对于 $0\le \alpha \left(t\right)\le 1$，都有 ${\alpha }^{*}+\alpha \left(t\right)>1$。

下面，为了构造方程(1)的EM方法，我们先将方程(1)转化为其等价的积分形式。对(1)式两边同时做从0到t的积分，可以得到

$u\left(t\right)=u\left(0\right)+c{\displaystyle {\int }_0^t\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \left(s\right)\right)}}{\displaystyle {\int }_0^s\frac{u\left(y\right)}{{\left(s-y\right)}^{1-\alpha \left(s\right)}}\text{d}y\text{d}s}+{\displaystyle {\int }_0^{t}f}\left(s,u\left(s\right)\right)\text{d}s+{\displaystyle {\int }_0^{t}g}\left(s,u\left(s\right)\right)\text{d}{W}_s.$ (2)

对于上式右侧的二重积分，调换积分次序，可得

${\displaystyle {\int }_0^t\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \left(s\right)\right)}}{\displaystyle {\int }_0^s\frac{u\left(y\right)}{{\left(s-y\right)}^{1-\alpha \left(s\right)}}\text{d}y\text{d}s}={\displaystyle {\int }_0^{t}u\left(s\right)}{\displaystyle {\int }_s^t\frac{{\left(y-s\right)}^{\alpha \left(y\right)-1}}{\Gamma \left(\alpha \left(y\right)\right)}\text{d}y\text{d}s}.$

并令 $k\left(t,s\right)=c{\displaystyle {\int }_s^t\frac{{\left(y-s\right)}^{\alpha \left(y\right)-1}}{\Gamma \left(\alpha \left(y\right)\right)}\text{d}y}$，则(2)式可以写成

$u\left(t\right)=u\left(0\right)+{\displaystyle {\int }_0^{t}k}\left(t,s\right)u\left(s\right)\text{d}s+{\displaystyle {\int }_0^{t}f}\left(s,u\left(s\right)\right)\text{d}s+{\displaystyle {\int }_0^{t}g}\left(s,u\left(s\right)\right)\text{d}{W}_s.$ (3)

在区间 $\left[0,T\right]$ 上定义均匀网格的步长 $\tau =T/N$，这里N为正整数。在网格节点 $t_n=n\tau$ 处，使用矩形方法来离散(3)式等号右侧的积分项。

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_0^{t_n}u\left(s\right)}{\displaystyle {\int }_s^{t_n}\frac{{\left(y-s\right)}^{\alpha \left(y\right)-1}}{\Gamma \left(\alpha \left(y\right)\right)}\text{d}y\text{d}s}=\tau {\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}{u}_j}{\displaystyle {\int }_{t_j}^{t_n}\frac{{\left(y-t_j\right)}^{\alpha \left(y\right)-1}}{\Gamma \left(\alpha \left(y\right)\right)}\text{d}y}+{\rm O}\left(\tau \right)\\ =\tau {\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}{u}_j}{\displaystyle \underset{i=j}{\overset{n-1}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{t_i}^{t_{i+1}}\frac{{\left(y-t_j\right)}^{\alpha \left(t_i\right)-1}}{\Gamma \left(\alpha \left(t_i\right)\right)}\text{d}y}}+{\rm O}\left(\tau \right)\\ =\tau {\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}{u}_j}{\displaystyle \underset{i=j}{\overset{n-1}{\sum }}\frac{{\left(t_{i+1}-t_j\right)}^{\alpha \left(t_i\right)}-{\left(t_i-t_j\right)}^{\alpha \left(t_i\right)}}{\alpha \left(t_i\right)\Gamma \left(\alpha \left(t_i\right)\right)}}+{\rm O}\left(\tau \right)\\ =\tau {\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}{u}_j}{\displaystyle \underset{i=j}{\overset{n-1}{\sum }}\frac{{\left(t_{i+1}-t_j\right)}^{\alpha \left(t_i\right)}-{\left(t_i-t_j\right)}^{\alpha \left(t_i\right)}}{\Gamma \left(\alpha \left(t_i\right)+1\right)}}+{\rm O}\left(\tau \right).\end{array}$ (4)

接下来对第三项和第四项进行离散，可得

${\displaystyle {\int }_0^{t}f}\left(s,u\left(s\right)\right)\text{d}s={\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{t_j}^{t_{j+1}}f\left(s,u\left(s\right)\right)\text{d}s}}\approx \tau {\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}f}\left(t_j,u\left(t_j\right)\right).$ (5)

和

${\displaystyle {\int }_0^{t}g}\left(s,u\left(s\right)\right)\text{d}s={\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{t_j}^{t_{j+1}}g}}\left(s,u\left(s\right)\right)\text{d}{W}_s\approx {\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}g}\left(t_j,u\left(t_j\right)\right)\Delta W_j.$ (6)

其中， $\Delta W_j=W\left(t_{j+1}\right)-W\left(t_j\right)~N\left(0,\tau \right)$。

把(4)~(6)式代入(3)式中就可以得出方程(2)的EM方法。设 $1\le n\le N$ 时，存在 $v_n$ 使得

$v_n=u_0+\tau {\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}{v}_j}{\displaystyle \underset{i=j}{\overset{n-1}{\sum }}{b}_{n,j}}+\tau {\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}f}\left(t_j,v_j\right)+{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}g}\left(t_j,v_j\right)\Delta W_j.$ (7)

其中， $b_{n,j}=c\frac{{\left(t_{i+1}-t_j\right)}^{\alpha \left(t_i\right)}-{\left(t_i-t_j\right)}^{\alpha \left(t_i\right)}}{\Gamma \left(\alpha \left(t_i\right)+1\right)}$。这里 $v_n$ 即为 $u\left(t_n\right)$ 的EM方法数值解。

3. EM方法的数值理论分析

下面，先给出EM方法(7)的稳定性。

定理1 对于 $1\le n\le N$，EM方法(7)的解 $v_n$ 满足如下矩估计

$\mathbb{E}\left[v_n^2\right]\le M_1.$ (8)

其中

$\begin{array}{l}{M}_1=Q_1\left[1+E_{1-{\alpha }^{*}}\left(Q_2\Gamma \left(1-{\alpha }^{*}\right)\right)\right],Q_1=4\mathbb{E}\left[u_0^2\right]+8L^{2}T\left(T+1\right),\\ Q_2=8L^{2}T\left(T+1\right)+4T^{3-{\alpha }^{*}}A{Q}_3.\end{array}$ (9)

证明. 由Jensen不等式和Cauchy不等式可以推出

$\mathbb{E}\left[v_n^2\right]\le 4\mathbb{E}\left[u_0^2\right]+4{\tau }^2\mathbb{E}\left[{\left({\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}{B}_{n,j}{v}_j}\right)}^2\right]+4{\tau }^2\mathbb{E}\left[{\left({\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}f}\left(t_j,v_j\right)\right)}^2\right]+4\mathbb{E}\left[{\left({\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}g}\left(t_j,v_j\right)\text{Δ}{W}_j\right)}^2\right],$ (10)

其中， $B_{n,j}={\displaystyle {\sum }_{i=j}^{n-1}{b}_{n,j}}$。使用Cauchy不等式和线性增长条件，有

${\tau }^2\mathbb{E}\left[{\left({\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}f}\left(t_j,v_j\right)\right)}^2\right]\le 2L^{2}T\tau {\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}\mathbb{E}}\left[1+v_j^2\right]\le 2L^2{T}^2+2L^{2}T\tau {\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}\mathbb{E}}\left[v_j^2\right].$ (11)

根据Itô等距定理和线性增长条件可以推出

$\mathbb{E}\left[{\left({\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}g}\left(t_j,v_j\right)\text{Δ}{W}_j\right)}^2\right]=\tau {\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}\mathbb{E}}\left[g{\left(t_j,v_j\right)}^2\right]\le 2L^2\tau {\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}\mathbb{E}}\left[1+v_j^2\right]\le 2L^{2}T+2L^2\tau {\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}\mathbb{E}}\left[v_j^2\right].$ (12)

下面来计算(10)式第二项的估计值，使用微分中值定理，可以得到

$\begin{array}{c}{B}_{n,j}={\displaystyle \underset{i=j}{\overset{n-1}{\sum }}{b}_{n,j}}=c{\displaystyle \underset{i=j}{\overset{n-1}{\sum }}\frac{{\left(t_{i+1}-t_j\right)}^{{\alpha }_i}-{\left(t_i-t_j\right)}^{{\alpha }_i}}{\Gamma \left({\alpha }_i+1\right)}}\\ \le c{Q}_3{\left(t_n-t_j\right)}^{1-{\alpha }^{*}}=c{Q}_3{\left(n-j\right)}^{1-{\alpha }^{*}}{\left(\frac{T}{N}\right)}^{1-{\alpha }^{*}},\end{array}$ (13)

其中， $Q_3=\max \left\{1,T^{2{\alpha }^{*}-1}\right\}/\left(1-{\alpha }^{*}\right)$。注意到

$\left|k\left(t,s\right)\right|=\left|c{\displaystyle {\int }_s^t\frac{{\left(y-s\right)}^{\alpha \left(y\right)-1}}{\Gamma \left(\alpha \left(y\right)\right)}\text{d}y}\right|=\left|c{\displaystyle {\int }_s^t\frac{{\left(y-s\right)}^{\alpha \left(y\right)+{\alpha }^{*}-1}}{\Gamma \left(\alpha \left(y\right)\right){\left(y-s\right)}^{{\alpha }^{*}}}\text{d}y}\right|\le c{Q}_3{\left(t-s\right)}^{1-{\alpha }^{*}},$ (14)

再结合(4)式，有

${\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}{B}_{n,j}}\le c{\displaystyle {\int }_0^{t_n}\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \left(s\right)\right)}}{\displaystyle {\int }_0^s{\left(s-y\right)}^{\alpha \left(s\right)-1}\text{d}y\text{d}s}=c{\displaystyle {\int }_0^{t_n}\frac{s^{\alpha \left(s\right)}}{\Gamma \left(\alpha \left(s\right)+1\right)}\text{d}s}\le A,$ (15)

其中， $A=c\cdot \max \left\{T,\frac{T^{1+{\alpha }^{\text{*}}}}{1+{\alpha }^{\text{*}}}\right\}$。因此，可知第二项可以放缩为

$\begin{array}{c}\mathbb{E}\left[{\left({\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}{B}_{n,j}{v}_j}\right)}^2\right]\le {\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}\left|B_{n,j}\right|\mathbb{E}\left[v_j^2\right]}{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}\left|B_{n,j}\right|}\\ \le \frac{T^{1-{\alpha }^{*}}A{Q}_3}{N^{1-{\alpha }^{*}}}{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}\mathbb{E}}\left[v_j^2\right]{\left(n-j\right)}^{1-{\alpha }^{*}}\\ \le T^{1-{\alpha }^{*}}A{Q}_3{N}^{{\alpha }^{*}}{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}\frac{\mathbb{E}\left[v_j^2\right]}{{\left(n-j\right)}^{{\alpha }^{*}}}}.\end{array}$ (16)

把(11)，(12)和(16)式代入(10)式中，可以得出

$\begin{array}{c}\mathbb{E}\left[v_n^2\right]\le 4\mathbb{E}\left[u_0^2\right]+8L^{2}T\left(T+1\right)+8L^2\left(T+1\right)\tau {\displaystyle \underset{i=j}{\overset{n-1}{\sum }}\mathbb{E}}\left[v_j^2\right]+4T^{3-{\alpha }^{*}}A{Q}_3{N}^{{\alpha }^{*}-2}{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}\frac{\mathbb{E}\left[v_j^2\right]}{{\left(n-j\right)}^{{\alpha }^{*}}}}\\ \le Q_1+\frac{Q_2}{N^{1-{\alpha }^{*}}}{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{n-1}{\sum }}\frac{\mathbb{E}\left[v_j^2\right]}{{\left(n-j\right)}^{{\alpha }^{*}}}},\end{array}$

其中 $Q_1$ 和 $Q_2$ 已在(9)式中给出。根据Gronwall不等式，定理得证。

为了分析EM方法(7)的强收敛性，我们这里先把(7)改写成与之等价的连续形式，即有，令步长公式 $\hat{s}=\hat{s}\left(s\right)$ 在每一个小区间 $s\in [t_n,t_{n+1})$ 上满足 $\hat{s}=t_n$

$v\left(t\right)=u_0+{\displaystyle {\int }_0^{t}k}\left(t,s\right)v\left(\hat{s}\right)\text{d}s+{\displaystyle {\int }_0^{t}f}\left(s,v\left(\hat{s}\right)\right)\text{d}s+{\displaystyle {\int }_0^{t}g}\left(s,v\left(\hat{s}\right)\right)\text{d}{W}_s\text{.}$ (17)

显然，从(17)可知

引理1 设 ${\left\{v_n\right\}}_{n=0}^N$ 是EM方法(7)的解， $v\left(t\right)$ 是(17)式给出的时间连续随机过程。那么，当 $0\le n\le N$ 时有 $v\left(t_n\right)=v_n$。

引理2 当 $0\le n\le N-1$ 时，对任意 $t\in [t_n,t_{n+1})$，连续随机过程 $v\left(t\right)$ 具有如下的广义连续性

$\mathbb{E}\left[{\left(v\left(t\right)-v\left(t_n\right)\right)}^2\right]\le M_2{\tau }^{2\left(2-{\alpha }^{*}\right)}+M_3\tau ,$ (18)

其中

$M_2=6c^2{M}_1{Q}_3^2\left(1+\frac{1}{{\left(2-{\alpha }^{*}\right)}^2}\right){\tau }^{2\left(2-{\alpha }^{*}\right)},M_3=12L^2\left(1+M_1\right).$ (19)

证明.

$\begin{array}{c}\mathbb{E}\left[{\left(v\left(t\right)-v\left(t_n\right)\right)}^2\right]\le 3\mathbb{E}\left[{\left({\displaystyle {\int }_0^{t}k}\left(t,s\right)v\left(\hat{s}\right)\text{d}s-{\displaystyle {\int }_0^{t_n}k}\left(t_n,s\right)v\left(\hat{s}\right)\text{d}s\right)}^2\right]\\ +3\mathbb{E}\left[{\left({\displaystyle {\int }_0^{t}f}\left(s,v\left(\hat{s}\right)\right)\text{d}s-{\displaystyle {\int }_0^{t_n}f}\left(s,v\left(\hat{s}\right)\right)\text{d}s\right)}^2\right]\\ +3\mathbb{E}\left[{\left({\displaystyle {\int }_0^{t}g}\left(s,v\left(\hat{s}\right)\right)\text{d}{W}_s-{\displaystyle {\int }_0^{t_n}g}\left(s,v\left(\hat{s}\right)\right)\text{d}{W}_s\right)}^2\right]\\ \le 6\mathbb{E}\left[{\left({\displaystyle {\int }_0^{t_n}\left(k\left(t,s\right)-k\left(t_n,s\right)\right)v\left(\hat{s}\right)\text{d}s}\right)}^2\right]+6\mathbb{E}\left[{\left({\displaystyle {\int }_{t_n}^{t}k}\left(t,s\right)v\left(\hat{s}\right)\text{d}s\right)}^2\right]\\ +3\mathbb{E}\left[{\left({\displaystyle {\int }_{t_n}^{t}f}\left(s,v\left(\hat{s}\right)\right)\text{d}s\right)}^2\right]+3\mathbb{E}\left[{\left({\displaystyle {\int }_{t_n}^{t}g}\left(s,v\left(\hat{s}\right)\right)\text{d}{W}_s\right)}^2\right]\text{.}\end{array}$ (20)

由定理1和线性增长条件可知

$\mathbb{E}\left[{\left({\displaystyle {\int }_{t_n}^{t}f}\left(s,v\left(\hat{s}\right)\right)\text{d}s\right)}^2\right]\le \tau {\displaystyle {\int }_{t_n}^t\mathbb{E}}\left[f{\left(s,v\left(\hat{s}\right)\right)}^2\right]\text{d}s\le 2L^2\tau {\displaystyle {\int }_{t_n}^t\left(1+\mathbb{E}\left[v_n^2\right]\right)\text{d}s}\le 2L^2\left(1+M_1\right){\tau }^2.$ (21)

通过Itô等距和线性增长条件可知

$\mathbb{E}\left[{\left({\displaystyle {\int }_{t_n}^{t}g}\left(s,v\left(\hat{s}\right)\right)\text{d}{W}_s\right)}^2\right]=\mathbb{E}\left[{\displaystyle {\int }_{t_n}^{t}g}{\left(s,v\left(\hat{s}\right)\right)}^2\text{d}s\right]\le 2L^2\left(1+M_1\right)\tau \text{.}$ (22)

下面重点考虑(20)式的前两项，对第二项使用Cauchy不等式

$\begin{array}{c}\mathbb{E}\left[{\left({\displaystyle {\int }_{t_n}^{t}k}\left(t,s\right)v\left(\hat{s}\right)\text{d}s\right)}^2\right]\le {\displaystyle {\int }_{t_n}^t\left|k\left(t,s\right)\right|\mathbb{E}{\left[v\left(\hat{s}\right)\right]}^2\text{d}s}{\displaystyle {\int }_{t_n}^t\left|k\left(t,s\right)\right|\text{d}s}\\ \le M_1{\left({\displaystyle {\int }_{t_n}^t\left|k\left(t,s\right)\right|\text{d}s}\right)}^2\\ \le \frac{c^2{Q}_3^2{M}_1{\tau }^{2\left(2-{\alpha }^{\ast }\right)}}{{\left(2-{\alpha }^{\ast }\right)}^2}\text{.}\end{array}$ (23)

对于第一项有

$\begin{array}{c}\mathbb{E}\left[{\left({\displaystyle {\int }_0^{t_n}\left(k\left(t,s\right)-k\left(t_n,s\right)\right)v\left(\hat{s}\right)\text{d}s}\right)}^2\right]\le {\displaystyle {\int }_{t_n}^t\left|k\left(t,s\right)-k\left(t_n,s\right)\right|\mathbb{E}{\left[v\left(\hat{s}\right)\right]}^2\text{d}s}{\displaystyle {\int }_{t_n}^t\left|k\left(t,s\right)-k\left(t_n,s\right)\right|\text{d}s}\\ \le M_1{\left({\displaystyle {\int }_0^{t_n}\left(k\left(t,s\right)-k\left(t_n,s\right)\right)\text{d}s}\right)}^2\\ \le M_1{\left(c{\displaystyle {\int }_0^{t_n}\left|{\displaystyle {\int }_{t_n}^t\frac{{\left(y-s\right)}^{\alpha \left(y\right)-1}}{\text{Γ}\left(\alpha \left(y\right)\right)}\text{d}y}\right|\text{d}s}\right)}^2\\ \le c^2{M}_1{\left({\displaystyle {\int }_0^{t_n}{Q}_2}\left[{\left(t-s\right)}^{1-{\alpha }^{\text{*}}}-{\left(t_n-s\right)}^{1-{\alpha }^{\text{*}}}\right]\text{d}s\right)}^2\\ \le c^2{M}_1{Q}_3^2{\tau }^{2\left(2-{\alpha }^{\text{*}}\right)}\text{.}\end{array}$ (24)

把(21)~(24)式代入(20)式，则引理2得证。

下面，给出EM方法(7)的强收敛性结论。

定理2 设 $u\left(t\right)$ 是方程(1)的精确解， $v\left(t\right)$ 是(17)的解，则下式成立

$\underset{t\in \left[0,T\right]}{\max }\mathbb{E}\left[{\left|u\left(t\right)-v\left(t\right)\right|}^2\right]\le M_4{\tau }^{2\left(2-{\alpha }^{*}\right)}+M_5\tau .$ (25)

其中， $M_4$ 和 $M_5$ 定义如下

$\begin{array}{l}{M}_4=Q_5{E}_{1-{\alpha }^{*}}\left(Q_6\Gamma \left(1-{\alpha }^{*}\right)T^{1-{\alpha }^{*}}\right)M_2,\\ M_5=Q_5{E}_{1-{\alpha }^{*}}\left(Q_6\Gamma \left(1-{\alpha }^{*}\right)T^{1-{\alpha }^{*}}\right)M_3,\end{array}$ (26)

$\begin{array}{l}{Q}_5=6T{L}^2\left(T+1\right)+\frac{6c^2{Q}_3^2{T}^{2\left(2-{\alpha }^{*}\right)}}{{\left(2-{\alpha }^{*}\right)}^2},\\ Q_6=6T^{{\alpha }^{*}}{L}^2\left(T+1\right)+\frac{6c^2{Q}_3^2{T}^{3-{\alpha }^{*}}}{2-{\alpha }^{*}}.\end{array}$

那么，以下关于EM方法(7)的误差估计也成立

$\underset{t\in \left[0,T\right]}{\max }\mathbb{E}\left[{\left|u\left(t_n\right)-v_n\right|}^2\right]\le M_4{\tau }^{2\left(2-{\alpha }^{*}\right)}+M_5\tau .$ (27)

证明. 对任意 $t\in \left[0,T\right)$，设 $t\in \left[t_n,t_{n+1}\right)$， $0\le n\le N-1$。用(2)式减(17)式，可得

$\begin{array}{c}\mathbb{E}\left[{\left|u\left(t\right)-v\left(t\right)\right|}^2\right]\le 3\mathbb{E}\left[{\left({\displaystyle {\int }_0^{t}k}\left(t,s\right)\left(u\left(s\right)-v\left(\hat{s}\right)\right)\text{d}s\right)}^2\right]\\ +3\mathbb{E}\left[{\left({\displaystyle {\int }_0^{t}f}\left(s,u\left(s\right)\right)-f\left(s,v\left(\hat{s}\right)\right)\text{d}s\right)}^2\right]\\ +3\mathbb{E}\left[{\left({\displaystyle {\int }_0^{t}g}\left(s,u\left(s\right)\right)-g\left(s,v\left(\hat{s}\right)\right)\text{d}{W}_s\right)}^2\right]\\ ={\displaystyle {\sum }_{k=1}^3{I}_k}.\end{array}$ (28)

对 $I_2$ 使用Cauchy不等式，根据线性增长条件和引理2，可以得出

$\begin{array}{c}{I}_2\le 3T{L}^2{\displaystyle {\int }_0^t\mathbb{E}}\left[{\left|u\left(s\right)-v\left(\hat{s}\right)\right|}^2\right]\text{d}s\\ \le 6T{L}^2{\displaystyle {\int }_0^t\left(\mathbb{E}\left[{\left|u\left(s\right)-v\left(s\right)\right|}^2\right]+\mathbb{E}\left[{\left|v\left(s\right)-v\left(\hat{s}\right)\right|}^2\right]\right)\text{d}s}\\ \le 6T{L}^2{\displaystyle {\int }_0^t\mathbb{E}}\left[{\left|u\left(s\right)-v\left(s\right)\right|}^2\right]\text{d}s+6T^2{L}^2\left(M_2{\tau }^{2\left(2-{\alpha }^{*}\right)}+M_3\tau \right).\end{array}$ (29)

对 $I_3$ 使用Itô等距引理，根据线性增长条件和引理2，可以得出

$\begin{array}{c}{I}_3\le 3L^2{\displaystyle {\int }_0^t\mathbb{E}}\left[{\left|u\left(s\right)-v\left(\hat{s}\right)\right|}^2\right]\text{d}s\\ \le 6L^2{\displaystyle {\int }_0^t\left(\mathbb{E}\left[{\left|u\left(s\right)-v\left(s\right)\right|}^2\right]+\mathbb{E}\left[{\left|v\left(s\right)-v\left(\hat{s}\right)\right|}^2\right]\right)\text{d}s}\\ \le 6L^2{\displaystyle {\int }_0^t\mathbb{E}}\left[{\left|u\left(s\right)-v\left(s\right)\right|}^2\right]\text{d}s+6T{L}^2\left(M_2{\tau }^{2\left(2-{\alpha }^{*}\right)}+M_3\tau \right).\end{array}$ (30)

下面用类似的方法处理 $I_1$，可得

$\begin{array}{c}{I}_1\le 6\mathbb{E}\left[{\left({\displaystyle {\int }_0^{t}k}\left(t,s\right)\left(u\left(s\right)-v\left(s\right)\right)\text{d}s\right)}^2\right]+6\mathbb{E}\left[{\left({\displaystyle {\int }_0^{t}k}\left(t,s\right)\left(v\left(s\right)-v\left(\hat{s}\right)\right)\text{d}s\right)}^2\right]\\ =I_{1,1}+I_{1,2}.\end{array}$ (31)

对 $I_{1,1}$ 使用Cauchy不等式，由(14)式可以推出

$\begin{array}{c}{I}_{1,1}\le 6{\displaystyle {\int }_0^t\mathbb{E}}\left[{\left|u\left(s\right)-v\left(s\right)\right|}^2\right]\left|k\left(t,s\right)\right|\text{d}s{\displaystyle {\int }_0^t\left|k\left(t,s\right)\right|\text{d}s}\\ \le \frac{6c^2{Q}_3^2{T}^{2-{\alpha }^{*}}}{2-{\alpha }^{*}}{\displaystyle {\int }_0^t\mathbb{E}}\left[{\left|u\left(s\right)-v\left(s\right)\right|}^2\right]{\left(t-s\right)}^{1-{\alpha }^{*}}\text{d}s\\ \le \frac{6c^2{Q}_3^2{T}^{3-{\alpha }^{*}}}{2-{\alpha }^{*}}{\displaystyle {\int }_0^t\frac{\mathbb{E}\left[{\left|u\left(s\right)-v\left(s\right)\right|}^2\right]}{{\left(t-s\right)}^{{\alpha }^{*}}}\text{d}s}.\end{array}$ (32)

对 $I_{1,2}$ 使用Cauchy不等式，根据引理2，可以推出

$\begin{array}{c}{I}_{1,2}\le 6{\displaystyle {\int }_0^t\mathbb{E}}\left[{\left|v\left(s\right)-v\left(\hat{s}\right)\right|}^2\right]\left|k\left(t,s\right)\right|\text{d}s{\displaystyle {\int }_0^t\left|k\left(t,s\right)\right|\text{d}s}\\ \le \frac{6c^2{Q}_3^2{T}^{2\left(2-{\alpha }^{*}\right)}}{{\left(2-{\alpha }^{*}\right)}^2}\left(M_2{\tau }^{2\left(2-{\alpha }^{*}\right)}+M_3\tau \right).\end{array}$ (33)

把(29)~(33)式代入(28)式中，可得

$\mathbb{E}\left[{\left|u\left(t\right)-v\left(t\right)\right|}^2\right]\le Q_5\left(M_2{\tau }^{2\left(2-{\alpha }^{*}\right)}+M_3\tau \right)+Q_6{\displaystyle {\int }_0^t\frac{\mathbb{E}\left[{\left|u\left(s\right)-v\left(s\right)\right|}^2\right]}{{\left(t-s\right)}^{{\alpha }^{*}}}\text{d}s}.$

其中， $Q_5$ 和 $Q_6$ 已在(17)式和(26)式中给出。

根据广义Gronwall不等式，(25)式得证。如果令(25)式中的 $t=t_n$，根据引理1可知： $v\left(t_n\right)=v_n$。此时(25)式就可以转变成(27)式。定理证毕。

注：在(27)式中，由于 $\left(2-{\alpha }^{\text{*}}\right)>0.5$，因此EM方法(7)式的强收敛阶恒为0.5。

4. 数值实验

本节将用数值算例来验证EM方法(7)的强收敛性。以下一切计算通过MATLAB (R2017b)在一台拥有Intel(R)Core(TM)i7-5500U，CPU2.40 GHz和4G RAM的笔记本电脑上完成。设 $u\left(t_n,{\omega }_j\right)$ 是方程(1)的第j条样本轨道在 $t_n$ 处的真实解， $v_n\left({\omega }_j\right)$ 是对应的EM方法(7)得到的数值解，其中 $n=0,\cdots ,N$， $j=1,\cdots ,M$。误差的计算方法如下

$e_{\tau }=\underset{0\le n\le N}{\max }{\left[\frac{1}{M}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{M}{\sum }}{\left|u\left(t_n,{\omega }_j\right)-v_n\left({\omega }_j\right)\right|}^2}\right]}^{\frac{1}{2}}\le P{N}^{-\kappa },$

其中收敛阶由 $\kappa ={\log }_2{e}_{\tau }/e_{\tau /2}$ 计算获得。在数值实验中，设时间区间 $\left[0,T\right]=\left[0,1\right]$，常数c = 1，样本轨道总数M = 1000，以网格数N = 512时的数值解近似表示精确解，变数阶 $\alpha$ 按如下函数来给出

$\alpha \left(t\right)=\alpha \left(1\right)+\left(\alpha \left(0\right)-\alpha \left(1\right)\right)\left(\left(1-t\right)-\frac{\sin \left(2\pi \left(1-t\right)\right)}{2\pi }\right).$

例1 考虑一个线性的变分数阶随机微分方程，令方程(1)中 $f\left(t,u\right)=g\left(t,u\right)=u$，初值 $u_0=0.1$。计算误差和收敛阶见表1。

Table 1. Error and convergence order of EM method for linear variable fractional stochastic differential equation in example 1

表1. 例1中线性变分数阶随机微分方程EM方法的误差和收敛阶

从表1中可以看出：EM方法的强收敛阶是0.5，符合定理2的结论。

例2 考虑一个非线性线性的变分数阶随机微分方程，令方程(1)中 $f\left(t,u\right)=g\left(t,u\right)=\cos \left(u\right)$，初值 $u_0=0.1$。计算误差和收敛阶见表2。

Table 2. Error and convergence order of EM method for nonlinear fractional stochastic differential equations in example 2

表2. 例2中非线性变分数阶随机微分方程EM方法的误差和收敛阶

在这个算例中，尽管方程由上例的线性变为非线性，但EM方法的强收敛阶仍是0.5，再次说明定理2的理论结果是正确的。

5. 总结

在本文中，我们给出了一类变分数阶随机微分方程的EM方法，证明了该EM方法的稳定性和强收敛性，并给出了其强收敛阶为0.5。最后用两个数值算例验证了EM方法强收敛阶的正确性。

基金项目

扬州大学大学生科创基金项目(X20220218)和江苏高校品牌专业建设工程资助项目(数学与应用数学，PPZY2015B109)。

NOTES

^*通讯作者。