1. 引言
模糊集理论是由L. Zadeh [1] 在1965年提出的,是基于粗糙集的有辅助函数和距离函数。2003年Bag T,Samanta S K [2] 研究了有限维模糊赋范空间的相关性质。1999年,Molodtsov [3] 首次提出软集理论,解决了传统数学工具无法解决的问题,2001年,Veeramani [4] 在模糊度量空间中引入了最佳逼近的概念。2008年,VAEZ P S M,Karimi [5] 研究了模糊赋范空间中的t最佳逼近。本文结合模糊理论和软集理论,讨论了模糊软赋范空间上的t最佳逼近,并证明了这个集合的几个定理。本文结合软集,在模糊软赋范空间上进一步研究t最佳逼近集。
2. 软线性赋范空间
定义2.1 [3] 设U是全空间,E是一个参数集。令
表示U幂集,A是E的一个非空子集。
称为U上的软集,其中F是由
的映射,即U上的软集是宇宙U的子集的参数化族。
定义2.2 [3] 如果对于任意
,
,则软集
称为X上的一个软空集。
定义2.3 [6] 如果任意的
有
,则软集
是X上的一个绝对软集。令X是数域
上的一个向量空间,参数集E为实数集R。
定义2.4 [6] 设X是一个非空集,A是一个非空参数集。函数
是X的一个软元。如果对
,
,则X的一个软元
属于软集F,记为
。因此,对于X的每一个软集F关于参数集A,有
。
注意到每一个单元软集(一个软集
,对于
,
是一个单元集)可以用包含
的元素来标识单元集。
定义2.5 [2] 设R是实数集,
是R的非空子集族,E是一个参数集。则映射
是一个软实数集。如果一个实数集是一个单元集(一个软集
,对于
,
是一个单元集),则称它为一个软实数。
将包含所有软实数的集合记为
,包含所有非空软实数的集合记为
。
设X是一个非空集,
是一个绝对软集,即
,
。设
为X上所有软集
的集族,对于
,
。
设
,所有软集
的集族记为
。
定义2.6 [6] 映射
称为软集
上的一个度量空间,则d满足:
1)
;
2)
,当且仅当
;
3) 对于
,
;
4) 对于
,
。
在
上定义距离d软度量空间记为
或
。
定义2.7 [6] 设V是数域K上的一个向量空间,A是一个参数集。G是
上的一个软集。如果对于
,
是V的一个向量子空间,则称G为V的一个软向量空间或软线性空间。
定义2.8 [6] 设G是V在数域K上的一个软向量空间。G上的一个软元称为G的一个软向量。类似的,软集
的一个软元称为软标量,K为一个标量域。
定义2.9 [6] 设
是G上的软向量,
是一个软标量,则对
,有
,
任然是G的软向量。
定义2.10 [6] 设
是绝对软向量空间,即对
,
。映射
是软向量空间
的一个软范数,则:
1)
;
2)
;
3) 对
,
;
4) 对
,
。
在
定义了软范数
的软向量空间称为软赋范线性空间,记为
或
。
模糊软赋范空间
定义2.11 [5] 设二元运算
是连续的t范,则:
1)
满足结合律和交换律;
2)
具有连续性;
3) 对
,
;
4) 当
,有
。
定义2.12 如果
是一个绝对软向量空间,则
称为模糊软赋范线性空间。设
是一个连续的t范,N是
上的一个模糊软集(
为一个非负软实数集),对
,
有
1)
;
2)
;
3) 对
,
;
4)
;
5)
是连续的;
6)
。
定义2.13 设
是模糊软赋范线性空间
的一个序列,如果对
(p是一个正整数),
,
。则
在模糊软赋范线性空间
上是一个收敛序列。
引理2.14 设N是一个模糊软范数,则:
1) 对于
,
是非减的;
2)
。
证明:1) 令
。则
有
3)
定理2.15 设
是一个模糊软赋范线性空间,
是一个软实数。定义一个中心为
半径为
,
的开球
和闭球
:
引理2.16 如果
是一个模糊软赋范线性空间,则
1)
是连续的;
2)
是连续的。
3. t最佳逼近
定义3.1 设A是模糊软赋范线性空间的一个非空子集。对
,
,
把A中的一个元素
称为A中的一个元素
的最佳逼近元,如果
定义3.2 设A是模糊软赋范线性空间
的一个非空集。对
,
。A中所有元素
的最佳逼近元构成的集合记为
。
如果对
在
中至少存在一个最佳逼近元,则把
称为一个t最佳逼近(t-Chebyshev)集。
定义3.3 如果对
,
,
是
的一个紧子集,则模糊软赋范线性空间
的一个非空闭子集是t有界紧的。
定理3.4 设A是模糊软赋范空间
的一个非空子集,则
(1) 对
,
,有
;
(2) 对
,
,
;
(3) 对
,
,
,
;
(4) 对
,
,
,
;
(5) A是一个t最佳逼近集当且仅当
是一个t最佳逼近集,对
。
(6) A是一个t最佳逼近集当且仅当
是一个
最佳逼近集,对
。
证明:(1) 对
,
,
(2) 通过(1),
当且仅当
,
当且仅当
,
当且仅当
;即
。
(3)
(4) 通过(3)
当且仅当
,
,
当且仅当
,(5)是(2)的直接结果,且(6)是从四开始的。
推论3.5 设M是
的子集。则:
(1) 对
,
和
,
;
(2) 对
,
和
,
;
(3) 对
,
和
,
;
(4) 对
,
和
,
。
定理3.6 设
是模糊软赋范空间。如果
是一个有限维空间,则对
中的任意非空闭集
,是一个t最佳逼近集。
证明 假设A是
的一个非空闭集。对
,
。
选取
,
,
。如果
,则
使得
。因此
,
。对
,
是
的一个非空t有界紧子集,
。因为对
,
,有
因此,
使得
因此
。因为
是
的一个闭紧子集,
。有
对
。因为
,
有
因此
是
的最佳逼近,即是
。因此,A是一个最佳逼近集。
定义3.6 对
,
,
,
定理3.7 设
是一个模糊软赋范空间,A是
的一个子集,
,
。因此有:
证明:结论
可以很容易通过定义里的
和
。相反,令
,则当
有,
因此
,
这证明
。因此,
,定理得证。
注:设
是一个模糊软赋范空间,A是
的一个子集,
,
。则
因为,如果
,
这是矛盾的。
引理3.8 设
是一个模糊软赋范空间,A是
的一个子集,
,
且
使得:
则有
因此,
。
证明:如果
,则根据
的定义,有
,矛盾。如果
,因为
,则有
定义3.9 设
是一个模糊软赋范空间,
,
。则称
是
的一个支集,或如果
且
,则A是
的支集。
4. 结论
本文结合模糊理论和软集理论研究了模糊软集中的t最佳逼近。利用t最佳逼近的概念进一步研究了t最佳逼近集,证明了这些集合上的相关定理。未来将对模糊软赋范线性空间的其他性质进行研究。
致谢
我要感谢我的导师,是他在我论文撰写时提供了思路,给予了我帮助,还要感谢潘同学和杨同学,给予我的鼓励,在我遇到困难时集思广益,在此由衷的感谢他们。