1. 引言
在文献 [1] 中,作者考虑了如下反应–扩散捕食系统:
(1a)
(1b)
(1c)
(1d)
其中正常数
,
,
,a,
,
,e和d有其各自生物学意义,见上述文献,而正常数
和
称为扩散系数。耦合项
称为Holling II功能反应,与经典的Lotka-Volterra模型比较,对于种群动力学的研究更具有现实意义 [2] [3] [4] [5] 。
和
分别表示食饵和捕食者的种群密度,
是Laplace算子。条件(1c)称为齐次Neumann边界条件,其意义可参看文献 [6] [7] ;初始条件(1d)表明解是非负的且
和
[8] 。为方便研究,将系统(1)化为如下无量纲形式 [1] :
(2a)
(2b)
(2c)
(2d)
系统(1)所对应常微分系统(Bazykin捕食系统)研究可参看文献 [9] [10] [11] [12] 。文献 [1] 考虑了系统(2)的全局稳定性和Hopf分支,同时给出了分支方向计算公式。对于系统(1),当
时,文献 [6] 通过数值模拟表明两种群对初值具有敏感性,复杂的时序动态可由空间维度所引发。对于系统(2),当
时,文献 [7] 研究了常数共存稳态解的Hopf分支以及对应扩散系统的稳态分支,由此文献 [13] 则考虑了带有Holling III型功能反应的Turing失稳和Hopf分支。带有Holling II功能反应的扩散捕食系统进一步研究可参考 [14] [15] [16] [17] ,如文献 [16] 研究了当
时系统(2)的非常数正稳态解的不存在性。
基于文献 [1] [7] [16] 的基础,本文继续研究系统(2)的稳定性,如局部的和全局的稳定性,同时考虑对应稳定态系统的动力学性质,如正常数解的存在性及其分支问题:
(3a)
(3b)
(3c)
这里
是
上有界区域且带有光滑边界
。最后本文安排如下。第1节给出了平衡点存在性条件,同时给出了系统(2)的一致渐近稳定性和全局稳定性定理,第2节考虑了系统(3)的先验估计,第3节证明了系统(3)的非常数正解不存在性,最后分析了系统(3)正常数解的局部分支。
2. 系统(2)的稳定性分析
本节考虑系统(2)正平衡点的一致渐近稳定性和全局稳定性。
2.1. 正平衡点的存在性
显然
时,有边界平衡点
,
。根据蛛网模型及等倾线方程
(4a)
(4b)
如果条件(H1):
成立,则正平衡点
存在。进一步的,
时
唯一。
另一方面,由方程(4b)可得表达式
,代入方程(4a)可得
满足的三次方
,其中
,
,
,
。当上述条件(H1)成立时,不难得到
因此
,同样
存在。进一步的,如果
,则
是唯一的,例如
时条件
成立。类似的,可用
满足的多项式方程验证条件(H1)的合理性。当然也可用Sylvester结式法得到上述三次方程
。
2.2. 一致渐近稳定性
设
是对应于算子
在
上满足条件(2c)的本征值,函数空间
其中
是对应于本征值
的本征子空间。再取
处Jacobi矩阵
及算子
其中
,
,
,
,则
是
的不变子空间,
是
的对应于
的本征值当且仅当
是
的本征值。定义
的迹、行列式和判别式分别为
,
和
,定义J的迹和行列式分别为
和
。对于
的线性稳定性和Turing失稳分析,可参考 [13] 。
定理1:对于系统(2),如果
存在且
,则按照 [18] ,
是一致渐近稳定的。
证明:定理的证明来源于 [19] 。显然此时
,
,
,
,因此
,
,
都有负实部。再分情况讨论
时
的实部。
情形1. 若
,则
。
情形2. 若
,则两个本征值
对于后者,取不依赖于j的正数
,有
。
总之,存在不依赖于j的正数
,使得
,
,因此
的本征谱落在某个区域
中。由 [18] 中的定理5.1.1可知结论成立。
2.3. 全局渐近稳定性
根据上述结论,对于系统(2),有如下定理。
定理2:对于系统(2),如果
存在且唯一,且
,则
全局渐近稳定。
证明:取定正Lyapunov函数
,
,利用
满足的方程(4)及Neumann边界条件,对t求导有
其中
,
,等号成立当且仅当
。
此外, [1] 中由系统(2)的持久性分析可引出
的若干全局渐进稳定性定理,这对于更复杂的系统,如出现三次的和四次的,具有一定参考。总之,关于
的全局渐进稳定性,具有丰富的结论。
3. 系统(3)的先验估计
本节考虑系统(3)的先验估计。显然由极值原理可得如下定理,证明略。
定理3:对于系统(3),任意正解满足
,
,
。
其中上界
不作特别说明时一般指
。其次,在上述定理基础上,给出如下定理。
定理4:如果
,
,则对于任意正解及某个
,存在固定正常数C,使得当
时有
(5)
并注意到函数
。
证明:只需证明正数C存在即可。假设不成立,则存在一列正解
,
及正数
,
,使得
,
,由Harnack不等式 [20] 可知
在
上一致收敛于0。现构造
,
,则
满足椭圆问题
(6a)
(6b)
(6c)
对(6)积分有
(7a)
(7b)
由Sobolev嵌入定理和椭圆方程正则估计可知,存在子列
,
,使得
,
,
,其中
,
,
,
。由于
,
,故
也是(3)的解,因此(7a)化为
,这样
。再由(7b)可知
,这导致矛盾!
4. 系统(3)非常数正解的不存在性
本节考虑系统(3)非常数正解的不存在性。
定理5:对于系统(3)的正解,如果存在正数
,使得
且
,则(3)不存在非常数正解。
证明:首先定义可积函数f的平均为
。取正解
,设
,
,利用Neumann边界条件可得
(8a)
(8b)
引入正数
并相加有
(9)
其中
由Poincare不等式可知,存在正数
使得
(10)
因此
(11)
特别的,取正数
,(11)中的判别式为
因此
。
定理6:对于(3)的正解,如果存在正数
,使得
且
成立,则系统(3)不存在非常数正解。
证明:显然由(8)可得
将上述不等式相加,并由定理条件及Poincare不等式(10)可知结论成立。
5. 系统(3)的局部分支
本节利用文献 [21] 的单重本征值分支理论,考虑系统(3)正常数解的局部分支,例如以
或扩散常数为分支参数。设1.2节中本征值
是单重的,对应本征函数族
是
中正交归一基,内积为
。再定义算子
及映射
如果有条件(H2):
,
,则由
可确定临界值
(12)
进一步的,如果
定号,或者
关于
严格单调,或者
,则
。不难计算得到
,
,其中
,再由Fredholm选择定理知
(13)
考虑伴随算子
,不难计算得到
,
,其中
。最后计算可得
(14)
其中
。只要
,就有
。这样就得到下面的定理。
定理7:对于系统(3)及
,如果存在
使得(H2)和
成立,而
定号,或者
关于
严格单调,或者
,则
是方程
的分支点。此外,对于参数
,存在方程
的
函数类
满足
6. 总结
本文定性分析了一类具有Holling II功能反应和Neumann边界条件的扩散捕食系统及其对应稳态系统(椭圆问题),包括先验估计,非常数正解的不存在性和局部分支定理。今后可继续考虑全局渐近稳定性条件(例如持久性引出的结论,V函数的构造),非常数正解的存在性问题(例如嵌入定理和正则性理论,利用拓扑度理论证明非常数正解的存在性),以及对局部分支作深入研究(例如分支参数的具体化,正常数解局部分支的存在性条件)。
致谢
作者感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见,感谢编辑的细致工作,感谢温州大学的赵敏老师和戴传军老师,感谢乐清市柳市镇第三中学的郑孟老师和赵淑静老师,感谢乐清城南中学的陈谱锦老师