湍流信道的红外鬼成像

Infrared Ghost Imaging of Turbulent Channel

摘要: 研究了一种可以在湍流信道下自适应成像的鬼成像系统。系统利用可以模拟强起伏和弱起伏湍流的Gamma-Gamma分布来模拟湍流，虽然鬼成像可以在湍流下进行成像，但是大多数研究没有研究不同波长激光和采样率在不同湍流下的成像。本研究在采用不同波长的激光的基础上，测试不同的采样率在不同强弱湍流下的性能，并且通过闪烁指数计算了大气折射率结构常数。通过峰值信噪比和误比特率评价成像质量，得到不同模型的成像规律，为进一步的自适应鬼成像算法提供了新的模型。

Abstract: We investigate a ghost imaging system that can image adaptively under turbulent channels. The system utilizes a Gamma-Gamma distribution that can simulate strong and weak undulating turbu-lence to simulate the turbulence, and ghost imaging can be imaged under turbulence, but most studies do not study the imaging of different wavelength laser under different turbulence, and do not combine with the sampling rate. In this research, we test the performance of different sampling rates under different strengths of turbulence based on the use of different wavelengths of the laser. Finally, we calculate the refractive index structure constant by scintillation index. The imaging quality is evaluated by PSNR and BER, and the imaging law of different models is obtained, which provides a new model for further adaptive ghost imaging algorithms.

1. 引言

鬼成像是一种通过相关计算恢复目标图像的单像素成像技术，1994年，Klyshko在研究纠缠光子特性时指出，纠缠光子对对实现非定域性成像具有重要的意义 [1] 。1995年，Pittman等 [2] 首次根据Klyshko的理论完成了在不包含物体的光路上获得待测物体像的实验，证实了量子鬼成像的非定域性。在经典鬼成像装置中，使用了两束相关的激光束：一束照射物体，然后由单像素桶式探测器测量，另一束传输到CCD探测器。通过对两个信号进行关联计算可以还原出原始图像。在2008年，Shapiro [3] 提出了一种单光路计算GI (CGI)方案，计算鬼成像大大简化了光路，更多的研究人员对鬼成像开展了研究，通过改变成像模型极大的优化了计算鬼成像的成像质量 [4] - [9] 。

与传统的成像方法相比，鬼成像将检测和成像分为两个单独的部分进行。这使得鬼成像可以具有一定的抵抗光路干扰的特性。一些理论研究 [10] [11] [12] [13] [14] 表明，在大气湍流的环境下进行成像，可以使成像效果比传统成像的方式更好，但是依然会受到光路的干扰，影响成像质量。

因此研究人员针对湍流信道下的鬼成像方案进行了研究，参考文献 [15] 研究了自适应光学系统中不同自适应镜的数量对成像质量的影响。参考文献 [16] 中讨论了单静态湍流和双静态湍流对鬼像的能见度和质量的影响。参考文献 [12] 研究了大气对双狭缝鬼成像的影响。参考文献 [13] 计算了湍流对粗糙表面目标的鬼影成像的空间分辨率、图像对比度和信噪比。参考文献 [17] 研究了湍流信道下的鬼成像方案，研究了湍流的增强对鬼成像效果的影响。提升鬼成像成像效果的研究也有很多，参考文献 [18] 提出了一个利用等离子体结构照明显微镜的鬼成像系统，实现了超分辨率成像。参考文献 [19] 将鬼成像图像与混合神经网络进行训练，可以使经过重建分辨率的鬼成像图片能够超过衍射极限。参考文献 [20] 将Radon变换得到的数字图像进行投影，通过调整投影的角度和间隔，提升了计算鬼成像的精度并且提高了鬼成像加密方案的鲁棒性。然而上述文件很少研究通过判断湍流强弱，来进行图像优化的自适应的关联成像。并且上述文献很少研究不同波长的激光对湍流中关联成像的优劣，以及湍流中不同采样率的关联成像的成像质量和时间。研究这两者可以在较短的时间和较少的资源损耗下进行良好地成像。

为了分析湍流对自由空间光通信系统的影响，研究人员提出了多种湍流信道模型，包括对数正态分布、Gamma分布、Gamma-Gamma分布、K分布、负指数分布、Weibull分布、指数Weibull分布等。在弱湍流条件下，可以采用玻恩近似和Rytov近似等摄动方法。除此之外其他常用的方法是扩展惠更斯–菲涅耳原理和抛物方程方法，后两种方法分别适用于弱湍流和强湍流条件。

在上述模型中，Gamma-Gamma强度–波动模型具有可以适应从弱到强的广泛的湍流条件的优点，所以在分析传输系统的误码时应用最为广泛。在成像过程中，由单像素桶式探测器测量的强度值和CCD探测器信号进行关联计算可以计算恢复出图像。因此，湍流强度波动与成像结果直接相关。可以采用Gamma-Gamma强度–波动模型模拟强弱湍流分析CGI系统的峰值信噪比和误比特率性能。

本文提出一种自适应湍流信道的红外鬼成像，论文通过仿真建立了包含大气湍流的压缩感知计算鬼成像模型，得到了不同强度的大气湍流引起的模糊图像。该方法的基本思想是通过桶探测器接受信号光束，计算获得大气湍流闪烁指数，通过选用不同波段高斯激光，利用长波光束具有更多的能量和更高的透射率的优势，调整不同采样率，以达到在节省资源的情况下，尽可能获得不错的峰值信噪比及误比特率性能。

本文的其余部分分为三个部分：CSCGI理论和大气湍流通道理论分别在第二节进行阐述。然后，讨论了在大气湍流通道下CSCGI方案以及通过探测器测量闪烁指数大小的方案。因此，在第三节中，模拟了PSNR和误比特率，以衡量提出的方案的性能。PSNR和误比特率性能由折射率结构参数 $C_n^2$ 、传输距离d和采样率N决定。最后，对全文进行了总结。

2. 理论分析和方案描述

2.1. 压缩感知计算鬼成像理论

大气折射率结构常数 $C_n^2$ 是光学湍流强度的定量描述，是作为反应大气湍流的最重要的参数之一。文章利用大气湍流导致的光强起伏效应来测量路径中的 $C_n^2$ 强度。

计算鬼成像相比经典鬼成像而言，简化了一条参考光路，大大简化了实验操作难度和成像所需要的空间资源。实验中由DMD加载实验需要的随机强度的矩阵，激光结果DMD的调制后，穿过待成像的物体，得到的总光强由不具有空间分辨能力的桶探测器接收，通过关联计算还原出图像。计算鬼成像的原理图如图1所示：

Figure 1. Calculate ghost imaging flow chart

图1. 计算鬼成像流程图

在关联成像过程中，调制矩阵 ${\varphi }_i\left(x,y\right)$ 被加载到DMD上，激光从激光发射机发出，经过DMD的调制，照射在待成像物体 $D\left(x,y\right)$ 上。通过物体的光被桶探测器接收，桶探测器接收到信号为光强总强度 $I_i$ ，如式(1)所示。经过z次采样后，将调制矩阵信息和桶探测器信号进行关联运算，恢复出目标图像。关联计算公式CGIC如式(2)表示：

$I_i={\displaystyle \int {\varphi }_i\left(x,y\right)\times D\left(x,y\right)\text{d}x\text{d}y}$ (1)

$C_{CGI}\left(x,y\right)=\frac{1}{z}\underset{i=1}{\overset{z}{{\displaystyle \sum }}}\left(I_i-I\right){\varphi }_i\left(x,y\right)$ (2)

式中为光强的平均值，N为样本个数。

为了提高重建图像的质量，本文添加了压缩感知技术作为优化数据计算的算法。压缩感知需要的数据远远少于奈奎斯特–香农标准认为必要的数据采集数量，使用很少的采集点却可以完整还原出原始信息。将压缩感知与鬼成像相结合，可以有效减少样本数量，提升存储效率，并提高图像重建质量。

压缩感知公式如式(3)所示：

$y=\Phi x$ (3)

式中x为长度N的一维信号，也就是原信号，稀疏度为k。 $\phi$ 为观测矩阵，对应着亚采样这一过程。它将高维信号x投影到低维空间，是已知的。y为长度M的一维测量值，也就是亚采样后的结果。显然它也是已知的。

因此，压缩感知问题就是在已知测量值y和测量矩阵 $\Phi$ 的基础上，通过求解 $y=\text{Φ}x$ 得到原信号x。然而自然中的大部分的信号x并不稀疏，因此需要对原始信号x进行稀疏处理，令 $x=\text{Ψ}s$ ， $\text{Ψ}$ 为稀疏基矩阵，s为稀疏系数。于是压缩感知方程可以展开成式(4)所示：

$y=\text{ΦΨ}s$ (4)

系统最后通过桶探测器接收的信号判断当前大气湍流的强弱，根据不同强弱的大气湍流采用不同的方案。系统在计算出大气湍流的情况下，根据已知的距离，采用初步适合的方案，在每一次的成像后通过PSNR和BER判断成像质量，根据低质量的成像，逐步提高系统的采样率及激光波长，达到最好的成像质量。在缩短时间并且节约资源的情况下，进行自适应的红外鬼成像。

2.2. 大气湍流通道模型理论

高空光束的传输由于大气的压力和温度受到风等因素的影响，发射端和接收端之间由于悬浮粒子等自然状况的影响，导致激光发射出去的信号在接收端发生失调，引起接收信号的强烈波动，并增加误比特率，也会影响关联成像在大气湍流中的性能。

由于计算鬼成像模型只用一个桶探测器接收透射过物体的光强总强度，而不用关注信号传输过程中的每个像素点信息。因此论文采用光场分布模型来作为大气湍流模型，其中选用Gamma-Gamma分布模型可以很好的模拟从强到弱的湍流，具有普遍性。

Gamma-Gamma分布如下(5) (6)式所示 [21] ：

$p\left(I\right)=\frac{2{\left(\alpha \beta \right)}^{\alpha +\beta /2}}{\text{Γ}\left(\alpha \right)\text{Γ}\left(\beta \right)}{I}^{\alpha +\beta /2-1}{K}_{\alpha -\beta }\left[2{\left(\alpha \beta I\right)}^{1/2}\right],I>0$ (5)

$\begin{array}{l}\alpha =\frac{1}{{\sigma }_x^2}\cong {\left\{\exp \left[\frac{0.49{\sigma }_1^2}{{\left(1+1.11{\sigma }_1^{12/5}\right)}^{7/6}}\right]-1\right\}}^{-1}\\ \beta =\frac{1}{{\sigma }_y^2}\cong {\left\{\exp \left[\frac{0.51{\sigma }_1^2}{{\left(1+0.69{\sigma }_1^{12/5}\right)}^{7/6}}\right]-1\right\}}^{-1}\end{array}$ (6)

式中， ${\sigma }_1^2=1.23C_n^2{k}^{7/6}{L}^{11/6}$ ， $C_n^2$ 为折射率结构参数，利用 $C_n^2$ 测量大气折射率波动程度，显示随高度和风速的变化而变化。在ITU (国际电信联盟)的R H-V模型中， $C_n^2\left(h\right)$ 与高度h的关系如(7)式所述 [22] ：

$\begin{array}{l}{C}_n^2\left(h\right)=8.148\times {10}^{-56}{v}_{RMS}^2{h}^{10}{\text{e}}^{-h/1000}\\ +2.7\times {10}^{-16}{\text{e}}^{-h/1500}+C_{n0}^2{\text{e}}^{-h/100}\end{array}$ (7)

本文研究了水平路径上的传输，因此 $C_n^2$ 实际上是恒定的。不同湍流状态下的 $C_n^2$ 值如下：

$C_n^2={10}^{-17}{m}^{-2/3}$ 为弱湍流；

$C_n^2={10}^{-15}{m}^{-2/3}$ 为中湍流；

$C_n^2={10}^{-13}{m}^{-2/3}$ 为强湍流。

2.3. 基于Gamma-Gamma湍流信道的压缩感知计算鬼影成像传输系统方案

图2中所示为添加Gamma-Gamma湍流模型的压缩感知计算鬼成像示意图。激光从激光发射器发出后，经过DMD的调制矩阵 ${\varphi }_i$ 调制，调制过的激光透过对象 $O\left(x,y\right)$ 后，经过湍流模型 ${\phi }_i\left(x,y\right)$ 的干扰，最后桶探测器接收到激光信号光强。经过关联计算后，得出成像结果。基于Gamma-Gamma湍流通道模型(GG-CSCGI)的压缩感知计算鬼影成像传输如图所示。

Figure 2. Schematic diagram of ghost imaging under atmospheric turbulence

图2. 大气湍流下计算鬼成像示意图

加入式(5)中的Gamma-Gamma湍流，接收到的光强由式(8)得到：

$I_i={\displaystyle \int {\varphi }_i\left(x,y\right)\times O\left(x,y\right)\times {\phi }_i\left(x,y\right)\text{d}x\text{d}y}$ (8)

式中， ${\varphi }_i\left(x,y\right)$ 为第i个调制矩阵， $O\left(x,y\right)$ 是描述对象光强度的函数， ${\phi }_i\left(x,y\right)$ 是Gamma-Gamma分布的乘性噪声。

在大气湍流中，利用湍流大气中光强起伏效应测量路径平均的 $C_n^2$ 是一种直接有效的方法 [23] ，但是当湍流较强时，产生的闪烁饱和现象会对闪烁方差和 $C_n^2$ 之间的比例关系造成影响。基于光闪烁的孔径平均效应，采用可见光波段配合模拟大孔径的接收，可以在一定程度上实现对闪烁饱和现象的抑制。

根据光传输理论，波长为 $\lambda$ 的平面波经过大气湍流进行传播如果以I表示光强则在传播距离L处，直径为D的孔径内接收的对数光强起伏方差如式(9)所示 [23] ：

${\sigma }_{lnI}^2\left(D\right)=4\times {\left(2\pi k\right)}^2\times {{\displaystyle \int }}_0^L\text{d}z{{\displaystyle \int }}_0^{\infty }{\text{sin}}^2\left[\frac{\gamma \left(L-z\right)}{2k}{k}^2\right]{\text{Φ}}_n\left(\kappa \right)\kappa F\left(\gamma \kappa \right)\text{d}\kappa$ (9)

式中，K为光波数； $\kappa$ 为空间波数； $\gamma$ 为球面波的传播因子； ${\text{Φ}}_n\left(\kappa \right)$ 表示折射率起伏的空间谱密度， $F\left(\kappa \right)$ 是孔径滤波函数，对于内外径之比为 $\epsilon$ 的圆环接收孔径， $F\left(\kappa \right)$ 如式(10)所示 [24] ：

$F\left(\kappa \right)={\left(\frac{2}{1-{\epsilon }^2}\right)}^2{\left[\frac{J_1\left(\kappa D/2\right)}{\kappa D/2}-{\epsilon }^2\frac{J_1\left(\epsilon \kappa D/2\right)}{\epsilon \kappa D/2}\right]}^2$ (10)

对于闪烁指数的测量，通常是按照定义直接统计光强的均值和方差以确定闪烁指数，闪烁指数是指光强起伏方差与光强均值平方的比值，公式如(11)所示：

${\beta }_I^2=\frac{\langle I^2\rangle -{\langle I\rangle }^2}{{\langle I\rangle }^2}$ (11)

式中，〈〉表示统计平均；I表示光束的随机光强。

已知在弱起伏条件下闪烁指数 ${\beta }_I^2$ 与对数光强起伏方差 ${\sigma }_{lnI}^2$ 的关系如(12)所示：

${\beta }_I^2={\sigma }_{lnI}^2$ (12)

如果能够测量出一定接收孔径内的 ${\beta }_I^2$ ，已知激光波长、路径长度、孔径参数就可以利用式(13)反过来计算 $C_n^2$ ，(9)式带入(10)式并利用(12)式可以得出计算 $C_n^2$ 的原理公式，本文使用更简单的标定公式(13)计算：

$C_n^2=\frac{{\beta }_I^2\left(D\right)}{1.23k^{7/6}{L}^{11/6}\times {\left[1+0.214{\left(k{D}^2/4L\right)}^{7/6}\right]}^{-1}\times \left[0.44\exp \left(-L/1079.23\right)+0.5\right]}.$ (13)

3. 测量结果和分析

在仿真中，采用的待成像模型为64 × 64像素的二值图像(字母USST，黑白相间)，湍流的模型Gamma-Gamma函数。本文研究不同的湍流强度和不同激光波长，和不同采样率对鬼成像图片造成的质量影响。并且基于光闪烁的孔径平均效应，模拟计算了大气折射率结构常数，为自适应获得较好的关联成像图像提供了保证。

本文使用峰值信噪比(PSNR)和误比特率(BER)来评价大气湍流信道下鬼成像图片的优劣。

误比特率是传输系统准确性和可靠性的一个指标。计算公式如(14)所示：

$P_e=\frac{N_{Y_{xy}-X_{xy}}}{x\times y}$ (14)

式中 $N_{Y_{xy}-X_{xy}}$ 为输入输出差值不为零的像素个数， $x\times y$ 为像素总数。方案为错误数据量和传输数据量之比。

为了避免使用一种评价指标的局限性，本文同时使用PSNR作为评价指标。PSNR是最普遍，最广泛使用的评鉴画质的客观量测法。经过压缩、传输等操作后，处理后的图像通常与原始图像不同。PSNR通常用于比较信号的最大值和背景噪声。两幅图像之间的PSNR值越大，失真越小，两幅图像越相似。PSNR可以通过式(15)和(16)来计算。

$MSE=\frac{1}{mn}\underset{i=0}{\overset{m-1}{{\displaystyle \sum }}}\underset{j=0}{\overset{n-1}{{\displaystyle \sum }}}{\Vert D\left(i,j\right)-Rd\left(i,j\right)\Vert }^2$ (15)

$\begin{array}{l}PSNR=10*{\log }_{10}\left(\frac{MA{X}_I^2}{MSE}\right)\\ =20*{\log }_{10}\left(\frac{MA{X}_I}{\sqrt{MSE}}\right)\end{array}$ (16)

3.1. 不同距离下的成像对比

为保证关联的成像通道只受湍流影响，取N为100%。在分析不同传输距离下的影响时，激光波长取633 nm、1064 nm、1550 nm，并将收发距离d设为一系列值。因此，不同波长下的成像效果如图3所示：

Figure 3. Imaging effect at different distances (in meters) $C_n^2={10}^{-13}$

图3. 不同距离的成像效果(以米为单位) $C_n^2={10}^{-13}$

(a) (b) (c)

Figure 4. PSNR and BER curves at different distances, (a) λ = 633 nm, (b) λ = 1064 nm, (c) λ = 1550 nm

图4. 不同距离下的PSNR和BER曲线，(a) 波长为633 nm，(b) 波长为1064 nm，(c) 波长为1550 nm

图3的PSNR和BER性能如图4所示。图3中可以看出，在相同的距离和相同的湍流强度下，激光波长的提升带来成像效果的提升。633 nm激光在200米成像时信噪比较低，1064 nm激光在200米成像比633 nm激光得到很大的提升，1550 nm激光在200米可以得到完整的图像。

图4中当 $C_n^2={10}^{-13}{m}^{-2/3}$ 时，100~400米的情况下，633 nm、1064 nm和1550 nm激光在成像性能上有着明显的区别。很明显，随着d的增加，PSNR下降，而BER上升。随着激光波长的增加，PSNR上升，而BER下降。当d增加到一个特定的值时，两者都趋于稳定，这个值随着激光波长的增加而变大。从图中可以看出633 nm激光在200米距离成像PSNR值大于20，图像可以接受。1064 nm激光光在200米距离成像PSNR值大于30，图像质量是好的。1550 nm激光光在200米距离可以得到完好的成像，且在300米距离成像PSNR值大于20，图像质量是好的。可以得出成像距离的增加可以通过激光波长的提升来进行弥补。

3.2. 不同折射率结构参数的成像对比

同样，在分析不同 $C_n^2$ 对不同波段激光成像造成的影响时，仍保证N为100%。激光波长取633 nm、1064 nm、1550 nm，并将 $C_n^2$ 设定为一系列值，因此，不同 $C_n^2$ 下的成像效果如图5所示。

Figure 5. Imaging effect of different refractive index structure parameters (distance is 100 meters)

图5. 不同折射率结构参数的成像效果(距离为100米)

(a) (b) (c)

Figure 6. PSNR and BER curves under different structural parameters of atmospheric refractive index, (a) λ = 633 nm, (b) λ = 1064 nm, (c) λ = 1550 nm

图6. 不同大气折射率结构参数下的PSNR和BER曲线，(a) 波长为633 nm，(b) 波长为1064 nm，(c) 波长为1550 nm

图5的PSNR和BER性能如图6所示。图5中可以看出，633 nm激光成像时，可以在 $1\times {10}^{-13}{m}^{-2/3}$ 强度下得到完整的图像。1064 nm激光成像时，可以在最多 $3\times {10}^{-13}{m}^{-2/3}$ 强度下得到完整的图像。1550 nm激光成像时，可以在最多 $5\times {10}^{-13}{m}^{-2/3}$ 强度下得到完整的图像。激光波长的提升对大气湍流的抗干扰能力明显。

图6中可以看出，随着折射率结构参数的增加，伴随着BER的增加和PSNR的减少。在采用633 nm激光时，随着湍流增加，PSNR的下降由快到慢，BER的上升较为平稳。采用1064 nm激光时，随着湍流增加PSNR的下降较为平稳，但BER的上升较快。采用1550 nm激光时，随着湍流增加，PSNR和BER变化都较为平稳。其中，当PSNR降低到20以下时，即图像质量不可接受时，湍流的增加所带来的PSNR降低将变缓。633 nm激光在 $3\times {10}^{-13}{m}^{-2/3}$ 强度下的湍流PSNR值大于20，图像可以接受。1064 nm激光在 $5\times {10}^{-13}{m}^{-2/3}$ 强度湍流下PSNR值大于20，1550 nm激光将这个极限强度提升到 $7\times {10}^{-13}{m}^{-2/3}$ 。从图中可以分析出湍流强度的增加对成像的干扰可以通过激光波长的增加来弥补。

3.3. 不同采样率下的成像对比

接下来在 $C_n^2={10}^{-15}{m}^{-2/3}$ 且距离为2000 m的情况下，调整相关成像的采样率N，观察湍流对N的影响。如图7所示。随着N的增加，PSNR增加，而误比特率下降。当N低于50%时，无论采用什么波长的激光束，成像效果都不理想。当N = 75%时，1064 nm激光可以恢复原始图像，当N = 50%时，采用1550 nm激光可以恢复原始图像。在这个成像条件下，633 nm的激光成像在50%采样率下PSNR值小于20，图像不可接受，1064 nm激光波长在50%采样率下的成像PSNR值可以达到20以上，图像可以接受。1550 nm波长的激光进行50%采样率的成像所得的图片PSNR评价值可以达到29以上，接近于得到了好的成像。可以判断出激光波长的提升可以有效的提升相同采样率下的成像效果。而50%的采样率相比较75%的采样率在成像速度上有着显著的优势。采样率对关联成像的性能起到最大的影响，在各方面影响较小的情况下，可以考虑降低采样率提高成像性能。

3.4. 闪烁指数的测量对比

取激光波长为633 nm，距离为200，调整不同大小折射率结构参数，测量折射率结构参数大小并进行记录分析。从图8中可以看出黑色线条为设置折射率结构参数，红色线条为从闪烁系统测量的闪烁指数推导的折射率结构参数，可以看出测量的折射率结构参数和设定值在数值上有微小差异，但是在变化趋势上基本一致。从图8可以看出，在 $C_n^2$ 较小时，测试的 $C_n^2$ 较为准确，对数据进行拟合，拟合的相关系数为0.93，证明闪烁指数测量的准确性。

Figure 7. The imaging results under different sampling rate and different wavelength laser

图7. 不同采样率和不同波长激光下的成像结果

Figure 8. Scintillation index measurement comparison

图8. 闪烁指数测量对比

4. 结论

本文研究了一种基于伽马大气湍流信道的自适应红外鬼成像系统，在添加了Gamma-Gamma湍流的基础上。分析了不同波长的激光束在湍流情况下对图像传输的影响，并且测量了大气折射率结构参数 $C_n^2$ 的准确性。其中，湍流信道的关键参数即折射率结构参数和传输距离对成像有着很大的影响，可以通过拉长激光的波长进行弥补。根据检测到大气湍流的强弱，和已知的传输距离，在成像上采用不同的采样率和不同波长的光束进行成像，达到节省资源的目的。其中，采样率的降低对成像速度有着极为显著地减少，可以采用降低采样率并且提升激光的波长的措施进行快速的成像。整个工作为实际的通过大气湍流信道传输的自适应红外鬼影成像系统提供了理论模型的基础和参考。

基金项目

国家自然科学基金(No. 61805144)，上海帆船项目(No. 17YF1429400)。