一类非光滑多目标分式优化问题的二阶最优性条件

Second-Order Optimality Conditions for a Nonsmooth Multiobjective Fractional Optimization Problem

摘要: 本文研究一类带不等式约束和退化等式约束的多目标分式优化问题(FOP)存在局部弱Pareto最优解、二阶严格局部Pareto最优解的二阶必要条件，建立了(FOP)关于局部弱Pareto最优解的对偶Fritz-John型二阶必要条件，通过约束条件，将Fritz-John型必要条件变为Kuhn-Tucher型，并举例说明主要定理的适用性。本文主要工作旨在将多目标整式优化问题二阶最优性条件的研究推广到多目标分式优化问题。

Abstract: In this paper, we consider a class of multiobjective fractional optimization problems (FOP) with in-equality and degenerate equality constraints. Some second-order optimality conditions for a local weak Pareto minimum and a strict local Pareto minimum of order two are given. Then we establish Fritz-John type necessary conditions for local weak Pareto minimum to problem (FOP), meanwhile, by introducing constraint qualifications, we prove that the Fritz-John type necessary conditions be-come the Kuhn-Tucker type. The applicability of our conclusions is illustrated with some examples. The main purpose of this paper is to extend the study of second-order optimality conditions for multiobjective integer optimization problems to multiobjective fractional optimization problems.

1. 引言

多目标优化问题是最优化理论及其应用领域研究的一个重要方向，在经济分析、环境保护、工程技术等领域具有实际应用 [1] 。

当多目标优化问题中的目标函数由分式表示时，称该问题为多目标分式优化问题。目前，多目标分式优化问题的最优性条件和对偶性是优化理论领域的一个研究热点 [2] - [11] 。Dubey等 [2] 建立了一类不可微多目标分式优化问题的最优性条件；Khanh和Tung [3] 研究了非光滑半无限多目标分式问题的对偶Karush-Kuhn-Tucker条件；Singh和Laha [4] 给出一类关于拟可微函数的多目标分式优化问题的最优性条件；Thu Thuy和Su [5] 建立了一类不确定半无限非光滑多目标分式优化问题的Karush-Kuhn-Tucker型鲁棒最优性条件和对偶性；Su和Hang [6] 依据具有稳定映射的切导数，给出了带约束的非光滑多目标分式优化问题的最优性条件和对偶定理；Gadhi和Rahou [7] 研究了一类包含集值映射的多目标分式优化问题的充分最优性条件。

近年来，多目标优化问题的二阶最优性条件研究引起众多学者关注。Constantin在文献 [8] 和 [9] 中研究了非光滑多目标优化问题，利用Clarke广义导数及Pales-Zeidan二阶上广义方向导数，提出了该类问题的一阶、二阶最优性条件；Luu [10] 依据Pales-Zeidan二阶方向导数给出了带不等式、等式和集合约束的非光滑向量平衡优化问题的原始和对偶二阶Frit-John必要条件。Su和Hang [11] 通过Clarke广义导数、Pales-Zeidan二阶上广义方向导数以及Ivanov二阶广义方向导数建立了具有不等式约束的多目标分式优化问题的二阶必要最优性条件。受上述文献启发，本文研究一类带不等式约束和退化等式约束的多目标分式优化问题(FOP)，其中目标函数和不等式约束函数局部Lipschitz连续，利用Clarke广义导数以及Pales-Zeidan二阶上广义方向导数，给出问题(FOP)存在局部弱Pareto最优解、二阶严格局部Pareto最优解的二阶最优性条件的刻画，并在假设条件下，使该问题的局部弱Pareto最优解的对偶必要条件是Kuhn-Tucher型的。本文的主要定理推广了文献 [8] 和 [9] 中的相关结论。

本文结构如下：第二节给出本文用到的定义和结论；在第三节提出问题(FOP)关于局部弱Pareto最优解和二阶严格局部Pareto最优解的二阶必要最优性条件；第四节给出Fritz-John型二阶必要条件，在一定条件下，证明了Fritz-John型的二阶必要条件为Kuhn-Tucker型的。

2. 预备知识

设X、Y是Banach空间， $B\left(x,r\right)\subset X$ 表示中心为x、半径为 $r>0$ 的开球，记 ${ℝ}_{+}^n=\left\{x=\left(x_1,\cdots ,x_n\right)\in {ℝ}^n:x_i\ge 0,i=1,\cdots ,n\right\}$ 为 ${ℝ}^n$ 的非负卦限锥。

设 $f:X\to ℝ$ 在 $\bar{x}\in X$ 处是局部Lipschitz的，f在点 $\bar{x}$ 处的Clarke广义方向导数(见文献 [12] )，定义为

$f^{\circ }\left(\bar{x};v\right):=\underset{\left(x,t\right)\to \left(\bar{x},0^{+}\right)}{\lim \sup }\frac{f\left(x+tv\right)-f\left(x\right)}{t},v\in X,$

在点处的Pales-Zeidan二阶上广义方向导数(见文献 [13] )，定义为

$f^{\circ \circ }\left(\bar{x};v\right):=\underset{t\to 0^{+}}{\lim \sup }2\frac{f\left(\bar{x}+tv\right)-f\left(\bar{x}\right)-t{f}^{\circ }\left(\bar{x};v\right)}{t^2},v\in X.$

若极限

$f^{\prime }\left(\bar{x};v\right):=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(\bar{x}+tv\right)-f\left(\bar{x}\right)}{t},v\in X,$

存在，则称为 $f^{\prime }\left(\bar{x};v\right)$ 函数f在点 $\bar{x}\in X$ 处关于方向 $v\in X$ 的方向导数。若 $f^{\prime }\left(\bar{x};v\right)=f^{\circ }\left(\bar{x};v\right)$ ，则称函数f在点 $\bar{x}$ 处为正则函数。

设 $f:X\to Y$ ，若存在 $D_{s}f\left(\bar{x}\right)\in \mathcal{L}\left(X,Y\right)$ ，使得对任意 $v\in X$ ，

$\underset{\left(x,t\right)\to \left(\bar{x},0^{+}\right)}{\lim }\frac{f\left(x+tv\right)-f\left(x\right)}{t}=D_{s}f\left(\bar{x}\right)\left(v\right),$

则称f在 $\bar{x}$ 处严格可微，此时 $f^{\circ }\left(\bar{x};v\right)=D_{s}f\left(\bar{x}\right)\left(v\right)$ ，其中， $\mathcal{L}\left(X,Y\right)$ 表示从X到Y的连续线性算子空间。

引理2.1 [11] 设f，g在X上局部Lipschitz连续， $\bar{x}\in X$ ， $v\in X$ ，若 $g\left(x\right)\ne 0$ ，且g在 $\bar{x}$ 处严格可微，则下列结论成立：

1) $\frac{f}{g}$ 在X上局部Lipschitz连续；

2) ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\circ }\left(\bar{x};v\right)=\left[f^{\circ }\left(\bar{x};v\right)-\frac{f\left(\bar{x}\right)}{g\left(\bar{x}\right)}{g}^{\circ }\left(\bar{x};v\right)\right]\frac{1}{g\left(\bar{x}\right)}$ ；

3) ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\circ \circ }\left(\bar{x};v\right)=\left[f^{\circ \circ }\left(\bar{x};v\right)-\frac{f\left(\bar{x}\right)}{g\left(\bar{x}\right)}{g}^{\circ \circ }\left(\bar{x};v\right)\right]\frac{1}{g\left(\bar{x}\right)}$ 。

设函数 $l:X\to Y$ 。若对任意 $ϵ>0$ ，存在 $\delta >0$ ，使得当 $\Vert u\Vert <\delta$ 时， $\Vert l\left(\bar{x}+u\right)-l\left(\bar{x}\right)-l^{\prime }\left(\bar{x}\right)u\Vert \le ϵ\Vert u\Vert$ 成立，则称l在 $\bar{x}$ 处Frechet可微(见文献 [14] )，其中 $l^{\prime }\left(\bar{x}\right)\in \mathcal{L}\left(X,Y\right)$ 是l在 $\bar{x}$ 处的Frechet导数。若对任意的 $u\in B\left(\bar{x},ϵ\right)$ ， $l^{\prime }\left(u\right)$ 存在，且 $l^{″}\left(\bar{x}\right):={\left(l^{\prime }\right)}^{\prime }\left(\bar{x}\right)\in \mathcal{L}\left(X,\mathcal{L}\left(X,Y\right)\right)$ ，则称函数l在 $\bar{x}$ 处二次Frechet可微。由归纳法可定义函数l在 $\bar{x}$ 处三次Frechet可微。此外，记

$l^{″}\left(\bar{x}\right){\left(v\right)}^2:=l^{″}\left(\bar{x}\right)\left(v\right)\left(v\right),$

$l^{\left(3\right)}\left(\bar{x}\right){\left(v\right)}^3:=l^{\left(3\right)}\left(\bar{x}\right)\left(v\right)\left(v\right)\left(v\right).$

若对任意满足 $l^{″}\left(\bar{x}\right)\left(v\right)\left(v\right)=0$ 的非零向量 $v\in X$ ，有 $l^{″}\left(\bar{x}\right)\left(v\right)X=Y$ ，则称l在 $\bar{x}$ 处2-正则(见文献 [15] )。

3. 二阶必要条件

本节讨论多目标分式优化问题(FOP)关于局部弱Pareto最优解和二阶严格局部Pareto最优解的二阶最优性条件。

考虑以下多目标分式优化问题(FOP)：

$\begin{array}{l}\min \left(\frac{f}{g}\right)\left(x\right)\\ \text{s}\text{.t}\text{.}{h}_j\left(x\right)\le 0,j=\left\{1,\cdots ,m\right\}\\ l\left(x\right)=0\end{array}$

其中， $\left(\frac{f}{g}\right)\left(x\right)=\left(\left(\frac{f_1}{g_1}\right)\left(x\right),\left(\frac{f_2}{g_2}\right)\left(x\right),\cdots ,\left(\frac{f_p}{g_p}\right)\left(x\right)\right)$ ， $I=\left\{1,2,\cdots ,p\right\}$ 。

函数 $f_i:X\to ℝ$ ， $g_i:X\to ℝ$ ， $g_i\left(x\right)>0$ ， $\forall i\in I$ ，函数 $h_j:X\to ℝ$ ， $\forall j\in J:=\left\{1,\cdots ,m\right\}$ ，集合 $H:=\left\{x\in X:h_j\left(x\right)\le 0,j\in J\right\}$ ， $D:=\left\{x\in X:l\left(x\right)=0\right\}$ ，其中 $l=\left(l_1,\cdots ,l_r\right):X\to {ℝ}^r$ ， $S=H{\displaystyle \cap D}$ 表示问题(FOP)的可行集。对任意 $\bar{x}\in S$ ， $J\left(\bar{x}\right):=\left\{j\in J:h_j\left(\bar{x}\right)=0\right\}$ 表示问题(FOP)的积极约束指标集。

本文假设函数 $f_i$ ， $g_i\left(\forall i\in I\right)$ ， $h_j\left(\forall j\in J\left(\bar{x}\right)\right)$ 局部Lipschitz连续， $g_i\left(\forall i\in I\right)$ 在点 $\bar{x}$ 处严格可微， $h_j\left(\forall j\notin J\left(\bar{x}\right)\right)$ 在 $\bar{x}$ 处连续，l在 $\bar{x}$ 处连续，在 $\bar{x}$ 处三次Frechet可微， $l^{\prime }\left(\bar{x}\right)=0$ ，且l在 $\bar{x}$ 处2-正则。

设 $\bar{x}\in X$ ， $v\in X$ ，定义如下集合：

$I\left(\bar{x};v\right)=\left\{i\in I:{\left(\frac{f_i}{g_i}\right)}^{\circ }\left(\bar{x};v\right)=0\right\}$ ，

$J\left(\bar{x};v\right)=\left\{j\in J\left(\bar{x}\right):h_j^{\circ }\left(\bar{x};v\right)=0\right\}$ 。

定义3.1 [8] 设 $\bar{x}\in H$ ，称v是点 $\bar{x}$ 处的临界方向，若

$\{\begin{array}{l}{\left(\frac{f_i}{g_i}\right)}^{\circ }\left(\bar{x};v\right)\le 0,\forall i\in I,\\ h_j^{\circ }\left(\bar{x};v\right)\le 0,\forall j\in J\left(\bar{x}\right),\end{array}$

定义3.2 [11] 设 $\bar{x}\in S$ ， $\mathcal{V}\left(\bar{x}\right)$ 表示 $\bar{x}$ 的邻域V所组成的集族，

1) 若存在 $V\in \mathcal{V}\left(\bar{x}\right)$ ，使得

$\left(\left(\frac{f}{g}\right)\left(x\right)-\left(\frac{f}{g}\right)\left(\bar{x}\right)\right){\displaystyle \cap -}int{ℝ}_{+}^p=\varnothing \left(\forall x\in S\cap V,x\ne \bar{x}\right)$ ，

则称 $\bar{x}$ 是(FOP)的局部弱Pareto最优解。其中 $int{ℝ}_{+}^p=\left\{x=\left(x_1,\cdots ,x_n\right)\in {ℝ}^n:x_i>0,i=1,\cdots ,n\right\}$ 。

2) 若存在常数 $\alpha >0$ 和 $V\in \mathcal{V}\left(\bar{x}\right)$ ，使得

$\left(\left(\frac{f}{g}\right)\left(x\right)+{ℝ}_{+}^p\right){\displaystyle \cap B}\left(\left(\frac{f}{g}\right)\left(\bar{x}\right),\alpha {\Vert x-\bar{x}\Vert }^2\right)=\varnothing \left(\forall x\in S\cap V,x\ne \bar{x}\right)$ ，

则称 $\bar{x}$ 是(FOP)的二阶严格局部Pareto最优解。

显然，当 $\bar{x}$ 是(FOP)的二阶严格局部Pareto最优解时， $\bar{x}$ 也是(FOP)的局部弱Pareto最优解。

定理3.1 设 $\bar{x}\in S$ 是问题(FOP)的局部弱Pareto 最优解， $l^{\prime }\left(\bar{x}\right)=0$ ，则对每一个满足 $l^{″}\left(\bar{x}\right)\left(v\right)\left(v\right)=0$ 的非零临界方向v，关于 $\omega \in X$ 的系统(3.1)无解。

$\{\begin{array}{l}{f}_i^{\circ }\left(\bar{x};\omega \right)+f_i^{\circ \circ }\left(\bar{x};v\right)-s_i\left[g_i^{\circ \circ }\left(\bar{x};\omega \right)+g_i^{\circ \circ }\left(\bar{x};v\right)\right]<0\begin{array}{cc},& \forall i\in I\left(\bar{x};v\right)\end{array},\\ h_j^{\circ }\left(\bar{x};\omega \right)+h_j^{\circ \circ }\left(\bar{x};v\right)<0\begin{array}{cc},& \forall j\in J\left(\bar{x};v\right),\end{array}\\ l^{\left(3\right)}\left(\bar{x}\right)\left(v\right)\left(v\right)\left(v\right)+3l^{″}\left(\bar{x}\right)\left(v\right)\left(\omega \right)=0.\end{array}$ (3.1)

证 由引理2.1知， $\frac{f_i}{g_i}$ 在X上局部Lipschitz连续，且

${\left(\frac{f_i}{g_i}\right)}^{\circ }\left(\bar{x};v\right)=\left[f_i^{\circ }\left(\bar{x};v\right)-\frac{f_i\left(\bar{x}\right)}{g_i\left(\bar{x}\right)}{g}_i^{\circ }\left(\bar{x};v\right)\right]\frac{1}{g_i\left(\bar{x}\right)}$ 。

令 $s_i=\frac{f_i\left(\bar{x}\right)}{g_i\left(\bar{x}\right)}$ ，若 ${\left(\frac{f_i}{g_i}\right)}^{\circ }\left(\bar{x};v\right)=0$ ，则根据 $g_i\left(\bar{x}\right)>0$ 可得

$f_i^{\circ }\left(\bar{x};v\right)-s_i{g}_i^{\circ }\left(\bar{x};v\right)=0$ ，

因此

$\begin{array}{c}I\left(\bar{x};v\right)=\left\{i\in I:{\left(\frac{f_i}{g_i}\right)}^{\circ }\left(\bar{x};v\right)=0\right\}\\ =\left\{i\in I:f_i^{\circ }\left(\bar{x};v\right)-s_i{g}_i^{\circ }\left(\bar{x};v\right)=0\right\}.\end{array}$

因为对每一个非零临界方向v，

$\{\begin{array}{l}{\left(\frac{f_i}{g_i}\right)}^{\circ }\left(\bar{x};v\right)\le 0,\forall i\in I,\\ h_j^{\circ }\left(\bar{x};v\right)\le 0,\forall j\in J\left(\bar{x}\right),\end{array}$

所以

$\{\begin{array}{l}{f}_i^{\circ }\left(\bar{x};v\right)\le s_i{g}_i^{\circ }\left(\bar{x};v\right),\forall i\in I,\\ h_j^{\circ }\left(\bar{x};v\right)\le 0,\forall j\in J\left(\bar{x}\right),\end{array}$

根据 [8] 定理4可得，对每一个满足 $l^{″}\left(\bar{x}\right)\left(v\right)\left(v\right)=0$ 的非零临界方向v，关于 $\omega \in X$ 的系统(3.2)无解，

$\{\begin{array}{l}{\left(\frac{f_i}{g_i}\right)}^{\circ }\left(\bar{x};\omega \right)+{\left(\frac{f_i}{g_i}\right)}^{\circ \circ }\left(\bar{x};v\right)<0,\forall i\in I\left(\bar{x};v\right),\\ h_j^{\circ }\left(\bar{x};\omega \right)+h_j^{\circ \circ }\left(\bar{x};v\right)<0,\forall j\in J\left(\bar{x};v\right),\\ l^{\left(3\right)}\left(\bar{x}\right)\left(v\right)\left(v\right)\left(v\right)+3l^{″}\left(\bar{x}\right)\left(v\right)\left(\omega \right)=0.\end{array}$ (3.2)

则由引理2.1可得，系统(3.2)等价于系统(3.3)：

$\{\begin{array}{l}{f}_i^{\circ }\left(\bar{x};\omega \right)-s_i{g}_i^{\circ }\left(\bar{x};\omega \right)+f_i^{\circ \circ }\left(\bar{x};v\right)-s_i{g}_i^{\circ \circ }\left(\bar{x};v\right)<0,\forall i\in I\left(\bar{x};v\right)\\ h_j^{\circ }\left(\bar{x};\omega \right)+h_j^{\circ \circ }\left(\bar{x};v\right)<0\begin{array}{cc},& \forall j\in J\left(\bar{x};v\right),\end{array}\\ l^{(3)}\left(\bar{x}\right)\left(v\right)\left(v\right)\left(v\right)+3l^{″}\left(\bar{x}\right)\left(v\right)\left(\omega \right)=0.\end{array}$ (3.3)

因此，对每一个满足 $l^{″}\left(\bar{x}\right)\left(v\right)\left(v\right)=0$ 的非零临界方向v，关于 $\omega \in X$ 的系统(3.1)无解，证毕。

定理3.2 设 $\bar{x}\in S$ 是问题(FOP)的二阶严格局部Pareto最优解， $l^{\prime }\left(\bar{x}\right)=0$ ，则对每一个满足 $l^{″}\left(\bar{x}\right)\left(v\right)\left(v\right)=0$ 的非零临界方向v，关于 $\omega \in X$ 的系统(3.4)无解。

$\{\begin{array}{l}{f}_i^{\circ }\left(\bar{x};\omega \right)+f_i^{\circ \circ }\left(\bar{x};v\right)-s_i\left[g_i^{\circ }\left(\bar{x};\omega \right)+g_i^{\circ \circ }\left(\bar{x};v\right)\right]\le 0,\forall i\in I\left(\bar{x};v\right),\\ h_j^{\circ }\left(\bar{x};\omega \right)+h_j^{\circ \circ }\left(\bar{x};v\right)<0\begin{array}{cc},& \forall j\in J\left(\bar{x};v\right),\end{array}\\ l^{\left(3\right)}\left(\bar{x}\right)\left(v\right)\left(v\right)\left(v\right)+3l^{″}\left(\bar{x}\right)\left(v\right)\left(\omega \right)=0.\end{array}$ (3.4)

证 因为 $\bar{x}\in S$ 是问题(FOP)的二阶严格局部Pareto最优解，则根据 [9] 定理11可得，对每一个满足 $l^{″}\left(\bar{x}\right)\left(v\right)\left(v\right)=0$ 的非零临界方向v，关于 $\omega \in X$ 的系统(3.5)无解，

$\{\begin{array}{l}{\left(\frac{f_i}{g_i}\right)}^{\circ }\left(\bar{x};\omega \right)+{\left(\frac{f_i}{g_i}\right)}^{\circ \circ }\left(\bar{x};v\right)\le 0,\forall i\in I\left(\bar{x};v\right),\\ h_j^{\circ }\left(\bar{x};\omega \right)+h_j^{\circ \circ }\left(\bar{x};v\right)<0,\forall j\in J\left(\bar{x};v\right)\\ l^{\left(3\right)}\left(\bar{x}\right)\left(v\right)\left(v\right)\left(v\right)+3l^{″}\left(\bar{x}\right)\left(v\right)\left(\omega \right)=0.\end{array}$ (3.5)

则根据引理2.1可得，系统(3.5)等价于系统(3.6)：

$\{\begin{array}{l}{f}_i^{\circ }\left(\bar{x};\omega \right)-s_i{g}_i^{\circ }\left(\bar{x};\omega \right)+f_i^{\circ \circ }\left(\bar{x};v\right)-s_i{g}_i^{\circ \circ }\left(\bar{x};v\right)\le 0,\forall i\in I\left(\bar{x};v\right),\\ h_j^{\circ }\left(\bar{x};\omega \right)+h_j^{\circ \circ }\left(\bar{x};v\right)<0\begin{array}{cc},& \forall j\in J\left(\bar{x};v\right),\end{array}\\ l^{\left(3\right)}\left(\bar{x}\right)\left(v\right)\left(v\right)\left(v\right)+3l^{″}\left(\bar{x}\right)\left(v\right)\left(\omega \right)=0.\end{array}$ (3.6)

因此，对每一个满足 $l^{″}\left(\bar{x}\right)\left(v\right)\left(v\right)=0$ 的非零临界方向v，关于 $\omega \in X$ 的系统(3.4)无解，证毕。

注 对任意 $i\in I$ ， $g_i\left(x\right)\equiv 1$ 时，定理3.1即为文献 [8] 的定理4，定理3.2即为文献 [9] 的定理11。

下面给出例子说明定理3.1和定理3.2中主要结果的应用。

例 对于问题(FOP)，设 $X={ℝ}^2$ ， $p=m=2$ ， $r=1$ ，对任意 $x=\left(x_1,x_2\right)$ ，

$f_1\left(x\right)=x_1-3x_1{x}_2^2+x_2-2x_2^2+2$ ，

$f_2\left(x\right)=2{\left(x_1+x_2\right)}^2-\left|x_1-x_2\right|+3$ ，

$g_1\left(x\right)=1+x_1^2-x_2^2$ ，

$g_2\left(x\right)=1+{\left(x_1+x_2\right)}^2$ ，

$h_1\left(x\right)=\left|x_2\right|+x_1-x_2^2$

$h_2\left(x\right)=x_1^2+x_2^2-2$ ，

$l\left(x\right)=x_1^2+x_2^3-x_1{x}_2=0$ 。

集合 $I=J=\left\{1,2\right\}$ ， $H=\left\{\left(x_1,x_2\right)\in {ℝ}^2:h_j\left(x\right)\le 0,j\in J\right\}$ ， $D=\left\{\left(x_1,x_2\right)\in {ℝ}^2:l\left(x\right)=0\right\}$ ，点 $\bar{x}=\left(0,0\right)\in S=H{\displaystyle \cap D}$ 。积极约束指标集 $J\left(\bar{x}\right)=\left\{1\right\}$ 。对于非零临界方向v，有 $I\left(\bar{x};v\right)=\left\{2\right\}$ ， $J\left(\bar{x};v\right)=\left\{1\right\}$ ，参数 $s=\left(s_1,s_2\right)=\left(2,3\right)$ 。函数 $f_1,f_2,g_1,g_2,h_1$ 局部Lipschitz连续， $g_1,g_2$ 在 $\bar{x}$ 处严格可微， $h_2$ 在 $\bar{x}$ 处连续。函数l在 $\bar{x}$ 处连续，在 $\bar{x}$ 处三次Frechet可微， $l\left(\bar{x}\right)=0$ ， $l^{\prime }\left(\bar{x}\right)=0$ ，且l在 $\bar{x}$ 处2-正则。

临界方向v在 $\bar{x}$ 处满足条件

$\{\begin{array}{l}{\left(\frac{f_1}{g_1}\right)}^{\circ }\left(\bar{x};v\right)\le 0,\\ {\left(\frac{f_2}{g_2}\right)}^{\circ }\left(\bar{x};v\right)\le 0,\\ h_1^{\circ }\left(\bar{x};v\right)\le 0,\end{array}$

因此， $v_1+v_2\le 0$ ， $-\left|v_1-v_2\right|\le 0$ ， $\left|v_2\right|+v_1\le 0$ 。

下面验证定理3.1和定理3.2的必要条件。

对于非零临界方向v，满足 $l^{″}\left(\bar{x}\right)\left(v\right)\left(v\right)=2v_1^2-2v_1{v}_2=0$ ，即 $v_1\left(v_1-v_2\right)=0$ ，且 $v_1+v_2\le 0$ ， $-\left|v_1-v_2\right|\le 0$ ， $\left|v_2\right|+v_1\le 0$ ，因此 $v_1-v_2=0$ 。

设 $\omega =\left({\omega }_1,{\omega }_2\right)\in T_{\bar{x}}^{2}D$ ， $v\in T_{\bar{x}}D$ ，满足

$l^{″}\left(\bar{x}\right)\left(v\right)\left(v\right)=0$ ，

$l^{\left(3\right)}\left(\bar{x}\right)\left(v\right)\left(v\right)\left(v\right)+3l^{″}\left(\bar{x}\right)\left(v\right)\left(\omega \right)=6v_2^3+6v_1{\omega }_1-3v_2{\omega }_1-3v_1{\omega }_2=0$ ，

即当 $v_1=v_2<0$ 时， $2v_1^2+{\omega }_1-{\omega }_2=0$ 。

对于非零临界方向v，定理3.1 (定理3.2)的系统

$\{\begin{array}{l}{f}_2^{\circ }\left(\bar{x};\omega \right)+f_2^{\circ \circ }\left(\bar{x};v\right)-s_2\left[g_2^{\circ }\left(\bar{x};\omega \right)+g_2^{\circ \circ }\left(\bar{x};v\right)\right]=-\left|{\omega }_1-{\omega }_2\right|-16v_1^2<0\left(\le 0\right),\\ h_1^{\circ }\left(\bar{x};\omega \right)+h_1^{\circ \circ }\left(\bar{x};v\right)=\left|{\omega }_2\right|+{\omega }_1-2v_1^2<0,\\ 2v_1^2+{\omega }_1-{\omega }_2=0,\end{array}$

有解，即 $\omega \in X$ 满足 ${\omega }_1<0$ ， ${\omega }_1<{\omega }_2$ ， $2v_1^2+{\omega }_1-{\omega }_2=0$ 是一个解。因此定理3.1和定理3.2的必要条件不满足，点 $\bar{x}=\left(0,0\right)$ 不是问题(FOP)的局部弱Pareto最优解和二阶严格局部Pareto最优解。

4. Kuhn-Tucker型条件

本节讨论问题(FOP)的局部弱Pareto最优解的Fritz-John型二阶必要条件，在一定条件下，Fritz-John型的二阶必要条件为Kuhn-Tucker型的。

定理4.1 设 $\bar{x}\in S$ 是问题(FOP)的弱局部Pareto 最优解，函数 $f_i$ ， $g_i>0\left(\forall i\in I\right)$ ， $h_j\left(\forall j\in J\left(\bar{x}\right)\right)$ 在 $\bar{x}$ 处严格可微， $h_j\left(j\notin J\left(\bar{x}\right)\right)$ 在 $\bar{x}$ 处连续。函数 $l:X\to {ℝ}^r$ 在 $\bar{x}$ 处连续，在 $\bar{x}$ 处三次Frechet可微， $l^{\prime }\left(\bar{x}\right)=0$ ，且l在 $\bar{x}$ 处2-正则。则对满足

$\{\begin{array}{l}{\left(\frac{f_i}{g_i}\right)}^{\circ \circ }\left(\bar{x};v\right)<\infty ,\forall i\in I\left(\bar{x};v\right),\\ h_j^{\circ \circ }\left(\bar{x};v\right)<\infty ,\forall j\in J\left(\bar{x};v\right),\\ l^{\prime }\left(\bar{x}\right)\left(v\right)\left(v\right)=0,\end{array}$

的非零临界方向v，存在实数 $e\ge 0$ ， ${\nu }_k$ ， $k\in K$ ， ${\lambda }_i\ge 0$ ， $i\in I$ ， ${\mu }_j$ ， $j\in J$ ，其中

$\left\{{\lambda }_i,{\mu }_j:i\in I,j\in J\left(\bar{x}\right)\right\}$

不全为零，使得

${\displaystyle \underset{i\in I}{\sum }{\lambda }_i}\left(D_s{f}_i\left(\bar{x}\right)-s_i{D}_s{g}_i\left(\bar{x}\right)\right)+{\displaystyle \underset{j\in J\left(\bar{x}\right)}{\sum }{\mu }_j}{D}_s{h}_j\left(\bar{x}\right)+{\displaystyle \underset{k\in K}{\sum }3{\nu }_k{l^{″}}_k\left(\bar{x}\right)\left(v\right)}=0,$ (4.1)

${\lambda }_i\left(D_s{f}_i\left(\bar{x}\right)\left(v\right)-s_i{D}_s{g}_i\left(\bar{x}\right)\left(v\right)\right)=0,$ (4.2)

${\mu }_j{D}_s{h}_j\left(\bar{x}\right)\left(v\right)=0,\forall j\in J\left(\bar{x}\right),$ (4.3)

${\displaystyle \underset{i\in I}{\sum }{\lambda }_i}\left(f_i^{\circ \circ }\left(\bar{x};v\right)-s_i{g}_i^{\circ \circ }\left(\bar{x};v\right)\right)+{\displaystyle \underset{j\in J\left(\bar{x}\right)}{\sum }{\mu }_j}{h}_j^{\circ \circ }\left(\bar{x};v\right)+{\displaystyle \underset{k\in K}{\sum }{\nu }_l}{l}_k^{\left(3\right)}\left(\bar{x}\right)\left(v\right)\left(v\right)\left(v\right)=e\ge 0,$ (4.4)

${\mu }_j{h}_j\left(\bar{x}\right)=0,\forall j\in J.$ (4.5)

证 由函数 $f_i$ ， $g_i\left(\forall i\in I\right)$ ， $h_j\left(\forall j\in J\left(\bar{x}\right)\right)$ 在 $\bar{x}$ 处严格可微知，

$f_i^{\circ }\left(\bar{x};v\right)=D_s{f}_i\left(\bar{x}\right)\left(v\right),$

$g_i^{\circ }\left(\bar{x};v\right)=D_s{g}_i\left(\bar{x}\right)\left(v\right),$

$h_j^{\circ }\left(\bar{x};v\right)=D_s{h}_j\left(\bar{x}\right)\left(v\right),$

又由引理2.1知

${\left(\frac{f_i}{g_i}\right)}^{\circ }\left(\bar{x};v\right)=\left[f_i^{\circ }\left(\bar{x};v\right)-\frac{f_i\left(\bar{x}\right)}{g_i\left(\bar{x}\right)}{g}_i^{\circ }\left(\bar{x};v\right)\right]\frac{1}{g_i\left(\bar{x}\right)}$ ，

令 $s_i=\frac{f_i\left(\bar{x}\right)}{g_i\left(\bar{x}\right)}$ ，则

${\left(\frac{f_i}{g_i}\right)}^{\circ }\left(x;v\right)=\left[D_s{f}_i\left(\bar{x}\right)\left(v\right)-s_i{D}_s{g}_i\left(\bar{x}\right)\left(v\right)\right]\frac{1}{g_i\left(\bar{x}\right)}$ ，

因此，根据 $g_i\left(\bar{x}\right)>0$ 得，对非零临界方向v，

$\{\begin{array}{l}{D}_s{f}_i\left(\bar{x}\right)\left(v\right)-s_i{D}_s{g}_i\left(\bar{x}\right)\left(v\right)\le 0,\forall i\in I,\\ D_s{h}_j\left(\bar{x}\right)\left(v\right)\le 0,\forall j\in J\left(\bar{x}\right).\end{array}$

因 $\bar{x}$ 是问题(FOP)的弱局部Pareto最优解，则由 [8] 推论1得， $I\left(\bar{x};v\right){\displaystyle \cup J}\left(\bar{x};v\right)\ne \varnothing$ 。由定理3.1知，系统(4.6)无解 $\omega \in X$ ：

$\{\begin{array}{l}{D}_s{f}_i\left(\bar{x}\right)\left(\omega \right)-s_i{D}_s{g}_i\left(\bar{x}\right)\left(\omega \right)+\left(f_i^{\circ \circ }\left(\bar{x};v\right)-s_i{g}_i^{\circ \circ }\left(\bar{x};v\right)\right)<0,\forall i\in I\left(\bar{x};v\right),\\ D_s{h}_j\left(\bar{x}\right)\left(\omega \right)+h_j^{\circ \circ }\left(\bar{x};v\right)<0,\forall j\in J\left(\bar{x};v\right),\\ 3{l^{″}}_k\left(\bar{x}\right)\left(v\right)\left(\omega \right)+l_k^{\left(3\right)}\left(\bar{x}\right)\left(v\right)\left(v\right)\left(v\right)=0,\forall k\in K.\end{array}$ (4.6)

设 $K_2=I\left(\bar{x};v\right){\displaystyle \cup J}\left(\bar{x};v\right)$ ， $K_3=K$ 。根据 [8] 引理1得，存在 $e\ge 0$ ， ${\lambda }_i\ge 0,i\in I\left(\bar{x};v\right)$ ， ${\mu }_j,j\in J\left(\bar{x};v\right)$ ， ${\nu }_k\in R,k\in K$ 满足 $\left\{e,{\lambda }_i,{\mu }_j:i\in I\left(\bar{x};v\right),j\in J\left(\bar{x};v\right)\right\}$ 不都为0，使得

${\displaystyle \underset{i\in I\left(\bar{x};v\right)}{\sum }{\lambda }_i}\left(D_s{f}_i\left(\bar{x}\right)-s_i{D}_s{g}_i\left(\bar{x}\right)\right)+{\displaystyle \underset{j\in J\left(\bar{x};v\right)}{\sum }{\mu }_j}{D}_s{h}_j\left(\bar{x}\right)+{\displaystyle \underset{k\in K}{\sum }3}{\nu }_k{l^{″}}_k\left(\bar{x}\right)\left(v\right)=0,$ (4.7)

$-{\displaystyle \underset{i\in I\left(\bar{x};v\right)}{\sum }{\lambda }_i}\left(f_i^{\circ \circ }\left(\bar{x};v\right)-s_i{g}_i^{\circ \circ }\left(\bar{x};v\right)\right)-{\displaystyle \underset{j\in J\left(\bar{x};v\right)}{\sum }{\mu }_j}{h}_j^{\circ \circ }\left(\bar{x};v\right)-{\displaystyle \underset{k\in K}{\sum }3{\nu }_k{l}_k^{\left(3\right)}}\left(\bar{x}\right)\left(v\right)\left(v\right)\left(v\right)=-e\le 0.$ (4.8)

下证 $\left\{{\lambda }_i,{\mu }_j:i\in I\left(\bar{x};v\right),j\in J\left(\bar{x};v\right)\right\}$ 不全为0。反之，假设 $\left\{{\lambda }_i,{\mu }_j:i\in I\left(\bar{x};v\right),j\in J\left(\bar{x};v\right)\right\}$ 等于0，则由(4.7)可得

${\displaystyle \underset{k\in K}{\sum }3{\nu }_k{l^{″}}_k\left(\bar{x}\right)\left(v\right)}=0.$

对任意满足 $l^{″}\left(\bar{x}\right)\left(v\right)\left(v\right)=0$ 的非零临界方向v，l在 $\bar{x}$ 处2-正则，则 ${l^{″}}_k\left(\bar{x}\right)\left(v\right)$ 满射。根据 [8] 引理2可得，向量 ${l^{″}}_1\left(\bar{x}\right)\left(v\right),\cdots ,{l^{″}}_r\left(\bar{x}\right)\left(v\right)$ 线性无关，故 ${\nu }_k=0\left(k\in K\right)$ 。因此，根据(4.8)可得， $e=0$ ，该结果与 $\left\{e,{\lambda }_i,{\mu }_j:i\in I\left(\bar{x};v\right),j\in J\left(\bar{x};v\right)\right\}$ 不全为0相矛盾，假设不成立。另外，当 $i\in I\backslash I\left(\bar{x};v\right)$ 时，令 ${\lambda }_i=0$ ，当 $j\in J\left(\bar{x}\right)\backslash J\left(\bar{x};v\right)$ 且 $j\in J\backslash J\left(\bar{x}\right)$ 时，令 ${\mu }_j=0$ 。故(4.1)和(4.4)成立。

当 $i\in I\backslash I\left(\bar{x};v\right)$ 时， ${\lambda }_i=0$ ；当 $i\in I\left(\bar{x};v\right)$ 时，

$D_s{f}_i\left(\bar{x}\right)\left(v\right)-s_i{D}_s{g}_i\left(\bar{x}\right)\left(v\right)=0,$

故对任意 $i\in I$ ， ${\lambda }_i\left(D_s{f}_i\left(\bar{x}\right)\left(v\right)-s_i{D}_s{g}_i\left(\bar{x}\right)\left(v\right)\right)=0$ ，即(4.2)成立。

当 $j\in J\left(\bar{x}\right)\backslash J\left(\bar{x};v\right)$ 时， ${\mu }_j=0$ ；当 $j\in J\left(\bar{x};v\right)$ 时，

$D_s{h}_j\left(\bar{x}\right)\left(v\right)=0,$

故对任意 $j\in J\left(\bar{x}\right)$ ， ${\mu }_j{D}_s{h}_j\left(\bar{x}\right)\left(v\right)=0$ ，即(4.3)成立。

当 $j\in J\left(\bar{x}\right)$ 时， $h_j\left(\bar{x}\right)=0$ ，故对任意 $j\in J$ ， ${\mu }_j{h}_j\left(\bar{x}\right)=0$ ，即(4.5)成立。

综上可得， $e,{\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_p,{\mu }_1,\cdots ,{\mu }_m,{\nu }_1,\cdots ,{\nu }_r$ 满足定理条件，证毕。

定理4.2 假设定理4.1的所有条件成立，且在点 $\bar{x}$ 处，在方向v上，存在向量 $\omega \in X$ ，使得(4.9)成立，

$\{\begin{array}{l}{h}_j^{\circ }\left(\bar{x};\omega \right)+h_j^{\circ \circ }\left(\bar{x};v\right)<0,\forall j\in J\left(\bar{x};v\right),\\ l_k^{\left(3\right)}\left(\bar{x}\right)\left(v\right)\left(v\right)\left(v\right)+3{l^{″}}_k\left(\bar{x}\right)\left(v\right)\left(\omega \right)=0,\forall k\in K,\end{array}$ (4.9)

则 ${\lambda }_i\left(i\in I\right)$ 不全为零。

证 假设对任意 $i\in I$ ， ${\lambda }_i=0$ ，由定理4.1知， $\left\{{\lambda }_i,{\mu }_j:i\in I,j\in J\left(\bar{x}\right)\right\}$ 不全为零，则至少存在一个 ${\mu }_j>0\left(j\in J\left(\bar{x}\right)\right)$ 。

又由定理4.1证明知，当 $j\in J\left(\bar{x}\right)\backslash J\left(\bar{x};v\right)$ 时， ${\mu }_j=0$ ，且根据假设，在点 $\bar{x}$ 处，在方向v上，存在向量 $\omega \in X$ ，使得(4.9)成立，则由(4.1)和(4.4)有

$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{i\in I}{\sum }{\lambda }_i}\left[\left(D_s{f}_i\left(\bar{x}\right)\left(\omega \right)+f_i^{\circ \circ }\left(\bar{x};v\right)\right)-s_i\left(D_s{g}_i\left(\bar{x}\right)\left(\omega \right)+g_i^{\circ \circ }\left(\bar{x};v\right)\right)\right]\\ +{\displaystyle \underset{j\in J\left(\bar{x}\right)}{\sum }{\mu }_j}\left(D_s{h}_j\left(\bar{x}\right)\left(\omega \right)+h_j^{\circ \circ }\left(\bar{x};v\right)\right)+{\displaystyle \underset{k\in K}{\sum }{\nu }_k}3{l^{″}}_k\left(\bar{x}\right)\left(v\right)\left(\omega \right)+l_k^{\left(3\right)}\left(\bar{x}\right)\left(v\right)\left(v\right)\left(v\right)\ge 0,\end{array}$ (4.10)

若对任意 $i\in I$ ，假设 ${\lambda }_i=0$ ，则

${\displaystyle \underset{j\in J\left(\bar{x}\right)}{\sum }{\mu }_j}\left(D_s{h}_j\left(\bar{x}\right)\left(\omega \right)+h_j^{\circ \circ }\left(\bar{x};v\right)\right)+{\displaystyle \underset{k\in K}{\sum }{\nu }_k}3{l^{″}}_k\left(\bar{x}\right)\left(v\right)\left(\omega \right)+l_k^{\left(3\right)}\left(\bar{x}\right)\left(v\right)\left(v\right)\left(v\right)\ge 0,$ (4.11)

另外，由(4.9)有

${\displaystyle \underset{j\in J\left(\bar{x}\right)}{\sum }{\mu }_j}\left(D_s{h}_j\left(\bar{x}\right)\left(\omega \right)+h_j^{\circ \circ }\left(\bar{x};v\right)\right)+{\displaystyle \underset{k\in K}{\sum }{\nu }_k}3{l^{″}}_k\left(\bar{x}\right)\left(v\right)\left(\omega \right)+l_k^{\left(3\right)}\left(\bar{x}\right)\left(v\right)\left(v\right)\left(v\right)<0,$ (4.12)

则(4.12)与(4.11)相矛盾，故假设不成立，证毕。

在一定条件下，定理4.2得出目标函数所对应的乘子不等于零，即定理4.1的Fritz-John型二阶必要条件为Kuhn-Tucker型的。

注 对任意 $i\in I$ ， $g_i\left(x\right)\equiv 1$ 时，定理4.1即为文献 [8] 中的定理5，定理4.2即为文献 [9] 中的定理7。

5. 总结与展望

本文建立了带不等式约束和退化等式约束的局部Lipschitz多目标分式优化问题(FOP)，利用Clarke广义导数以及Pales-Zeidan二阶上广义方向导数，给出问题(FOP)存在局部弱Pareto最优解、二阶严格局部Pareto最优解的二阶最优性条件，并在给定的假设条件下，使该问题的局部弱Pareto最优解的Fritz-John型必要条件变为Kuhn-Tucher型的。本文主要定理推广了文献 [8] 和 [9] 中的相关结论。进一步可考虑非Lipschitz条件下多目标分式优化问题的二阶最优性条件。

致谢

作者对审稿人表示衷心的感谢！

基金项目

山西省科技创新人才团队专项资助(202204051002018)；山西省基础研究计划项目(自由探索类) (20210302124529)；太原师范学院研究生教育创新项目。

NOTES

^*通讯作者。