无穷区间反常积分的积分变换计算方法

The Method of Integral Transformation Calculation of Improper Integral in Infinite Interval

摘要: 本文基于两个积分变换的定义及其性质，给出无穷区间反常积分的积分变换计算方法，包括Fourier变换计算方法和Laplace变换计算方法。通过经典例题的求解表明相对于常规计算方法，积分变换法可大大简化计算反常积分。

Abstract: Based on the definition and properties of two integral transformations, this paper gives the integral transformations method for the calculation of improper integral in infinite interval, including Fou-rier transformation and Laplace transformation. The classical examples show that the calculation of improper integrals by integral transformation can greatly simplify the calculation, compared with the typical method.

1. 引言

反常积分是微积分的重要专题之一，其应用也非常广泛 [1] 。无穷区间的反常积分与含参量反常积分的常用计算方法有牛顿–莱布尼茨公式、变量替换、分部积分法。然而对于复杂反常积分与含参量反常积分绝非易事，本文研究无穷区间反常积分的Fourier变换与Laplace变换计算方法。

文献 [2] 利用换元法、分部积分法、重积分理论、级数理论以及利用函数奇偶性讨论了计算无穷区间反常积分。文献 [3] [4] 研究了计算反常积分的Laplace变换法。我们知道积分变换包含Fourier变换与Laplace变换，文献 [3] [4] 并未讨论无穷区间积分的Fourier变换法，本文拟系统讨论无穷区间反常积分的积分变换法。最近文献 [5] 则讨论了分形插值函数的积分变换的性质。相对于经典的反常积分的变量替换以及分部积分法，积分变换在简化积分上以及含参量反常积分的计算上具有独特的优势。

2. Fourier变换与Laplace变换概念及性质

为了叙述方便，这里给出Fourier变换与Laplace变换的定义。

定义1. [6] 若函数 $f\left(t\right)$ 在 $\left(-\infty ,+\infty \right)$ 上满足Fourier积分定理的条件，则称函数 $F\left(\omega \right)={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }f}\left(t\right){\text{e}}^{-j\omega t}\text{d}t$ 为 $f\left(t\right)$ 的Fourier变换(或象函数)，记为 $F\left(\omega \right)=\mathcal{F}\left[f\left(t\right)\right]$ 。

当 $f\left(t\right)$ 为奇函数时，则 $F_s\left(\omega \right)={\displaystyle {\int }_0^{+\infty }f}\left(t\right)\sin \omega t\text{d}t$ 称为 $f\left(t\right)$ 的Fourier正弦变换式，即 $F_s={\mathcal{F}}_s\left[f\left(t\right)\right]$ 当 $f\left(t\right)$ 为偶函数时，则 $F_c\left(\omega \right)={\displaystyle {\int }_0^{+\infty }f}\left(t\right)\cos \omega t\text{d}t$ 称为 $f\left(t\right)$ 的Fourier余弦变换式，即 $F_c={\mathcal{F}}_c\left[f\left(t\right)\right]$ 。

定义2. [6] 设函数 $f\left(t\right)$ 在 $\left[\text{0},+\infty \right)$ 上有定义，而且积分 ${\displaystyle {\int }_0^{+\infty }f\left(t\right){\text{e}}^{-st}\text{d}t}$ (s是一个复参量)在s的某一域内收敛，则积分 $F\left(s\right)={\displaystyle {\int }_0^{+\infty }f\left(t\right){\text{e}}^{-st}\text{d}t}$ 称为函数 $f\left(t\right)$ 的Laplace变换。记为 $F\left(s\right)=\mathcal{L}\left[f\left(t\right)\right]$ 称为 $f\left(t\right)$ 的Laplace变换。

下面给出Laplace变换象函数的积分性质。

定理1. [6] 若 $\mathcal{L}\left[f\left(t\right)\right]=F\left(s\right)$ ，则 $\mathcal{L}\left[\frac{f\left(t\right)}{t}\right]={\displaystyle {\int }_s^{\infty }F}\left(s\right)\text{d}s$ 或 $f\left(t\right)=t{\mathcal{L}}^{-1}\left[{\displaystyle {\int }_s^{\infty }F}\left(s\right)\text{d}s\right]$ 。

一般地， $\mathcal{L}\left[\frac{f\left(t\right)}{t^n}\right]=\underset{n}{\underset{︸}{{\displaystyle {\int }_s^{\infty }\text{d}s}{\displaystyle {\int }_s^{\infty }\text{d}s}\cdots {\displaystyle {\int }_s^{\infty }F\left(s\right)\text{d}s}}}$ 。

注：如果积分 $\mathcal{L}\left[\frac{f\left(t\right)}{t}\right]$ 存在，据定理1，取 $s=0$ ，则有 ${\displaystyle {\int }_0^{+\infty }\frac{f\left(t\right)}{t}\text{d}t}={\displaystyle {\int }_0^{\infty }F}\left(s\right)\text{d}s$ ，其中 $F\left(s\right)=L\left[f\left(t\right)\right]$ 。

3. 反常积分的Fourier变换计算方法

下面我们通过具体的例题展现Fourier变换计算反常积分的方法。

例1. 计算反常积分 ${\displaystyle {\int }_0^{\infty }\frac{\cos \left(kx\right)}{a^2+x^2}\text{d}x}$ ， ${\displaystyle {\int }_0^{\infty }\frac{x\sin \left(kx\right)}{a^2+x^2}\text{d}x}$ 。

解：这里我们可考查函数 ${\text{e}}^{-at}$ (a为常数)的正弦变换和余弦变换。

$\begin{array}{c}{F}_c\left(\omega \right)+i{F}_s\left(\omega \right)={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\text{e}}^{-at}}\left(\cos \omega t+i\sin \omega t\right)\text{d}t\\ ={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\text{e}}^{\left(-a+i\omega \right)t}}\text{d}t={\left[\frac{1}{-a+i\omega }{\text{e}}^{\left(-a+i\omega \right)t}\right]|}_{t=0}^{\infty }\\ =\frac{1}{a-i\omega }=\frac{a+i\omega }{a^2+{\omega }^2},\end{array}$

因此， $F_c\left(\omega \right)=\frac{a}{a^2+{\omega }^2}$ ， $F_s\left(\omega \right)=\frac{\omega }{a^2+{\omega }^2}$ 。利用正弦逆变换与余弦逆变换，可得

$\frac{2}{\pi }{\displaystyle {\int }_0^{\infty }\frac{a}{a^2+{\omega }^2}}\cos \left(\omega t\right)\text{d}\omega ={\text{e}}^{-at}$ ， $\frac{2}{\pi }{\displaystyle {\int }_0^{\infty }\frac{\omega }{a^2+{\omega }^2}}\sin \left(\omega t\right)\text{d}\omega ={\text{e}}^{-at}$ 。更换变量，可得

${\displaystyle {\int }_0^{\infty }\frac{\cos \left(kx\right)}{a^2+x^2}}\text{d}x=\frac{\pi }{2}{\text{e}}^{-ak}$ , ${\displaystyle {\int }_0^{\infty }\frac{x\sin \left(kx\right)}{a^2+x^2}}\text{d}x=\frac{\pi }{2}{\text{e}}^{-ak}$ .

例2. 计算反常积分 ${\displaystyle {\int }_0^{+\infty }\frac{\cos \omega t}{1+t^4}}\text{d}t\left(\omega >0\right)$ 。

解：这里我们可考查函数 $f\left(t\right)=\frac{1}{1+t^4}$ 的Fourier变换。利用Fourier变换的定义，可得

$\begin{array}{c}F\left(\omega \right)={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{1+t^4}{\text{e}}^{-i\omega t}\text{d}t}\\ ={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{\cos \omega t}{1+t^4}\text{d}t}-i{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{\sin \omega t}{1+t^4}\text{d}t}\\ =2{\displaystyle {\int }_0^{+\infty }\frac{\cos \omega t}{1+t^4}\text{d}t}={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{\cos \omega t}{1+t^4}\text{d}t}.\end{array}$

令 $R\left(z\right)=\frac{1}{1+z^4}$ ，则 $R\left(z\right)$ 在上半平面有两个一级极点 $\frac{\sqrt{2}}{2}\left(1+i\right),\frac{\sqrt{2}}{2}\left(-1+i\right)$ 。根据留数性质，有 ${\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }R}\left(t\right){\text{e}}^{i\omega t}\text{d}t=2\pi i\cdot \mathrm{Res}\left[R\left(z\right){\text{e}}^{i\omega z},\frac{\sqrt{2}}{2}\left(1+i\right)\right]+2\pi i\cdot \mathrm{Res}\left[R\left(z\right){\text{e}}^{i\omega z},\frac{\sqrt{2}}{2}\left(-1+i\right)\right]$ 。

因此，

$\begin{array}{c}F\left(\omega \right)={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{\cos \omega t}{1+t^4}\text{d}t}=\mathrm{Re}\left[{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{{\text{e}}^{i\omega t}}{1+t^4}\text{d}t}\right]\\ =\frac{1}{2\sqrt{2}}{\text{e}}^{-\left|\omega \right|\sqrt{2}}\left(\cos \frac{\left|\omega \right|}{2}+\sin \frac{\left|\omega \right|}{2}\right),\end{array}$

从而

${\displaystyle {\int }_0^{+\infty }\frac{\cos \omega t}{1+t^4}}\text{d}t=\frac{1}{4\sqrt{2}}{\text{e}}^{-\left|\omega \right|/\sqrt{2}}\left(\cos \frac{\left|\omega \right|}{2}+\sin \frac{\left|\omega \right|}{2}\right).$

4. 反常积分的Laplace变换计算方法

下面我们通过具体的例题展现Laplace变换计算反常积分的方法。

例3. 计算反常积分

${\displaystyle {\int }_0^{\infty }\frac{{\text{e}}^{-ax}-{\text{e}}^{-bx}}{x}}\text{d}x\left(b>a>0\right).$

解：由于 $\mathcal{L}\left[{\text{e}}^{-ax}-{\text{e}}^{-bx}\right]=\frac{1}{s+a}-\frac{1}{s+b}$ ，利用定理1，可得

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }\frac{{\text{e}}^{-ax}-{\text{e}}^{-bx}}{x}}\text{d}x={\displaystyle {\int }_0^{+\infty }\left(\frac{1}{s+a}-\frac{1}{s+b}\right)\text{d}s}\\ ={\ln \frac{s+a}{s+b}|}_{s=0}^{+\infty }=\ln \frac{b}{a}.\end{array}$

例题3的其他解法可参见《数学分析(下)》(第十九章第二节习题2)习题解答。

例4. 计算反常积分

${\displaystyle {\int }_0^{+\infty }{\text{e}}^{-px}\frac{\sin bx-\sin ax}{x}\text{d}x}\left(p>0,b>a\right).$

例4的经典解法可参见《数学分析(下)》第十九章第二节例题5，下面给出Laplace变换解法。

解：根据Laplace变换的定义以及定理1，可知

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_0^{+\infty }{\text{e}}^{-px}\frac{\sin bx-\sin ax}{x}\text{d}x}=\mathcal{L}\left[\frac{\sin bx-\sin ax}{x}\right]=\mathcal{L}\left[\frac{\sin bx}{x}\right]-\mathcal{L}\left[\frac{\sin ax}{x}\right]\\ ={\displaystyle {\int }_p^{+\infty }\left(\frac{b}{s^2+b^2}-\frac{a}{s^2+a^2}\right)\text{d}s}={\arctan \frac{s}{b}|}_p^{+\infty }-{\arctan \frac{s}{a}|}_p^{+\infty }\\ =\frac{\pi }{2}-\arctan \frac{p}{b}-\left(\frac{\pi }{2}-\arctan \frac{p}{a}\right)=\arctan \frac{p}{a}-\arctan \frac{p}{b}.\end{array}$

注：实际上，本文例题4的计算结果与《数学分析(下)》 [1] 第十九章第二节例题5的计算结果是一致的。为了说明结果的一致性，这里证明如下命题。

命题1. 等式 $\arctan x+\arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi }{2}\left(x\ne 0\right)$ 恒成立。

证明：令 $F\left(x\right)=\arctan x+\arctan \frac{1}{x}-\frac{\pi }{2}$ 。对 $F\left(x\right)$ 求导可得

$F^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+{\left(\frac{1}{x}\right)}^2}\left(-\frac{1}{x^2}\right)=0,$

从而 $F\left(x\right)$ 为常数。又因为

$F\left(1\right)=\arctan 1+\arctan 1-\frac{\pi }{2}=0,$

从而 $F\left(x\right)\equiv 0$ ，即命题成立。

由命题1可知，

$\arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi }{2}-\arctan x\left(x\ne 0\right),$

进而可得

$\arctan \frac{p}{a}-\arctan \frac{p}{b}=\arctan \frac{b}{p}-\arctan \frac{a}{p}.$

此即说明本文例题4的计算结果与《数学分析(下)》 [1] 第十九章第二节例题5的计算结果是一致的。为了说明结果的一致性。

例 5. 计算反常积分 ${\displaystyle {\int }_0^{\text{+}\infty }{\text{e}}^{-t{x}^2}}\text{d}x\left(t>0\right)$

解：对 ${\text{e}}^{-t{x}^2}$ 关于t求Laplace变换，则 $\mathcal{L}\left[{\text{e}}^{-t{x}^2}\right]=\frac{1}{s+x^2}$ ，

由于

${\displaystyle {\int }_0^{\text{+}\infty }\frac{1}{s+x^2}\text{d}x}=\frac{1}{\sqrt{s}}{\displaystyle {\int }_0^{\text{+}\infty }\frac{1}{1+{\left(\frac{x}{\sqrt{s}}\right)}^2}\text{d}\frac{x}{\sqrt{s}}}=\frac{\pi }{2\sqrt{s}}$

从而 ${\displaystyle {\int }_0^{\text{+}\infty }{\text{e}}^{-t{x}^2}}\text{d}x={\mathcal{L}}^{-1}\left[\frac{\pi }{2\sqrt{s}}\right]=\frac{\sqrt{\pi }}{2\sqrt{t}}$ 。

特别地，当 $t=1$ 时，有 ${\displaystyle {\int }_0^{\text{+}\infty }{\text{e}}^{-x^2}}\text{d}x=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$ 。

同样，我们可发现例题5的计算结果与《数学分析(下)》 [1] 第十九章第二节的习题6的结果是一致的。

许多反常积分在收敛的情况下都可以通过积分变换来计算，上述例子也表明积分变换计算反常积分可以大大简化计算。

5. 总结

本文利用积分变换的概念及其性质，并通过例题阐述说明积分变换法在计算反常积分具有独特的优势，特别是针对含参量反常积分，利用积分变换可简化复杂计算过程。并与《数学分析》中的经典例题的计算，说明积分变换法的特点。由于积分变换的概念是基于无穷区间的积分定义的，因此在计算瑕积分时，积分变换法并不是很方便。对于复杂的瑕积分，可以通过变量变换转换为无穷区间的反常积分，可再借助积分变换来计算。值得注意的是积分变换除了在积分计算有优势，在解方程(包括常微分方程与偏微分方程)上都有重要的应用 [6] 。此外，积分变换在信号处理、图像处理、工程计算中都有重要应用 [6] [7] 。

基金项目

广西民族大学高等教育教学改革工程项目(2019XJGY40)和广西自然科学基金(AD21159013, 2021GXNSFAA220033)。

NOTES

^*通讯作者。