1. 引言
偏微分方程(PDE)诞生于18世纪,发展于19世纪,从其兴起至今已经有两百多年的历史了。偏微分方程最早的研究由物理和几何问题发源而来,最早的二阶偏微分方程模型是Euler提出的弦振动模型。后来随着物理学研究在深度和广度上的发展,微分方程在数量和类型上增加了,并且逐渐发展为一个独立的数学分支。偏微分方程研究内容复杂,研究方法多样,其讨论的问题不仅仅来源于物理、化学、生物等学科的经典问题。此外,在研究这些问题时,应用了许多现代数学的工具。近些年来,其领域的研究工作,特别是有关非线性偏微分方程理论,应用和计算方法的研究取得了较大的进展。而热传导方程是偏微分方程发展史上最早的方程之一,它是抛物型方程的典型代表,同样具有丰富的物理学背景。
众所众知,以下形式的四阶抛物性方程
,
,
可以用来描述一些物理过程:相变,薄膜理论等。特别地,当我们用它来描述纳米尺度薄膜外延伸生长的演变时,f的具体形式如下 [1] [2]
.
近些年来,上述方程在不同初边值条件下的解的性质得到了深入研究。当
时,King,Stein,和Winkler在 [3] 中证明了在适当的函数空间中上述方程解的存在性、唯一性以及正则性。在空间维数
的前期条件下,徐润章等 [4] 研究了如下四阶半线性抛物型方程的初边值问题
,
,
,
,
,
,
其中
是
上的有界开区域,其边界
是充分光滑的,
是边界
上的单位外法向量,f满足是适当的结构性条件。在这篇文章中,徐润章等证明了当初值满足的条件不同时,上述问题的解具有整体存在和有限时刻爆破的性质。此外,通过利用迭代技术,他们还证明了问题在
中有整体吸引子。Liu在 [5] 中研究了以下方程
,
,
在一维和二维空间中解的性质。利用schauder估计方法和campanato空间理论,Liu证明了古典解的整体存在性。此外,Liang在 [6] 中还研究了多维情形下的相关问题
,
,
其中初始函数在拉普拉斯方程的正稳态解附近。
受上述文献的启发,本文主要研究如下的非线性四阶抛物型p-Laplace方程的初边值问题:
,
, (1)
,
, (2)
,
. (3)
不失一般性,我们假设
是
上的有界开区域,其边界
是充分光滑的。此外,我们还要求
具有本文所需要的一些简单的拓扑性质。
,
,
都是常数。并且,限制
及其导数的增长阶满足:对于任意的
,
是
函数,且存在C使得
,
。
定义:我们称
是问题(1)~(3)在
上的一个弱解,如果满足下列条件:
1)
,且
;
2) 对于任意的
,有
.
定理:令
,则问题(1)~(3)在
上存在唯一弱解
。其中空间
具有如下定义:
.
本文将结合Galerkin逼近与先验估计证明其弱解的存在性。文中C表示一般常数,可以逐行变化。
2. 弱解的存在性
研究一般线性抛物型方程弱解的存在性,通常有以下几种基本的方法:能量方法、Rothe方法以及Galerkin方法。本文采用Galerkin方法证明弱解的存在性。
2.1. 构造基底和逼近解
令
是
中的标准正交基底,构造问题(1)~(3)的近似解:
,
使其满足下面的方程:
, (4)
在
中强收敛,当
时, (5)
其中
为
空间中的内积,则问题(4)~(5)的解的存在性可以由Peano定理来保证。
2.2. 对逼近解做估计
为了能够通过抽子列的方法得到所需的解,我们需要对逼近解做一些估计。首先,类似于对方程两端乘
的办法,将(4)的左右两端同时乘以
,对i从1到n求和得
对其在
上积分,得
,
由此可知
. (6)
接下来,将(4)的左右两端同时乘以
,对i从1到n求和,然后对其在
上积分,得
, (7)
其中
(8)
由
的假定条件可得
(9)
由Sobolve嵌入定理 [7] 可得
,
其中
是
到
的最佳嵌入常数,仅依赖于N,p,
。因此,再结合(6)可以得到
. (10)
结合(7)~(10)可以得到
,
然后,可以得到
, (11)
由(11)可以得到如下估计:
, (12)
. (13)
此外结合
的假定条件和(13)可以得到
,
即
. (14)
2.3. 对逼近解取极限
结合先验估计(12)~(13),应用Aubin-Lions紧致性定理 [8] 可以知道存函数
和
的一个子列(不妨仍然记为其本身)使得
弱收敛为
于
, (15)
弱
收敛为
于
在, (16)
强收敛为
于
, (17)
收敛为
几乎处处于
, (18)
收敛为
几乎处处于
, (19)
弱收敛为
于
, (20)
其中(17)成立意味着(18)成立,结合
和(18)可以得到(19),结合(14)和(19)可以得到(20)。
(4)两侧关于t在
上积分可得
, (21)
结合(15)~(20),在(21)中令
可得
,
对任意的
都成立。非退化情形下弱解的存在性证明完毕。此外结合
和
,应用Aubin-Lions紧致性定理 [8] 可以得到
。
基金项目
辽宁省教育高校科研项目资助(LJKMZ20220832)。