具奇异敏感的趋化模型解的整体有界性

doi:10.12677/PM.2023.1311330

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具奇异敏感的趋化模型解的整体有界性
Global Boundedness of the Solution for Chemotaxis Model with Singular Sensitivity

DOI: 10.12677/PM.2023.1311330, PDF, HTML, XML, 下载: 105 浏览: 171
作者: 牛聪, 陈越：辽宁师范大学数学学院，辽宁大连
关键词: 奇异敏感；古典解；整体有界性；Singular Sensitivity； Classical Solution； Global Boundedness

摘要: 本文研究齐次Neumann边界条件下的具奇异敏感的抛物–椭圆趋化模型：

，

，其中Ω⊂ℝ为有界区间，α,β,χ > 0。当

时，模型存在整体有界的古典解。

Abstract: This article studies a parabolic-elliptical chemotaxis model with singular sensitivity under homo-geneous Neumann boundary conditions:

, where Ω⊂ℝ, α,β,χ > 0. It’s proved that the classical solution of

is globally bounded.

文章引用：牛聪, 陈越. 具奇异敏感的趋化模型解的整体有界性[J]. 理论数学, 2023, 13(11): 3185-3192. https://doi.org/10.12677/PM.2023.1311330

1. 前言

趋化性是细胞在化学信号影响下定向运动的生物学现象，这个过程在各种生物学应用中起着很大的作用，例如胚胎发育、伤口愈合和血管形成。Keller和Segel首先提出关于趋化性的数学模型，在此之后Keller-Segel模型在过去的几十年中已经得到了深入的研究，并且发现了一系列性质，如解的存在性、有界性、有限时间内爆破。本文在一维背景下研究一类具奇异敏感的抛物–椭圆趋化模型：

${\begin{array}{l} u_{t} = u_{x x} - χ {(\frac{u}{v^{α}} v_{x})}_{x}, x \in Ω, t > 0, \\ 0 = v_{x x} - v + u^{β}, x \in Ω, t > 0, \\ u_{x} = v_{x} = 0, x \in \partial Ω, t > 0, \\ u (x, 0) = u_{0} (x), x \in Ω, \end{array}$ (1.1)

其中 $α, β, χ > 0, Ω \subset ℝ$ 是有界区间， $u = u (x, t)$ 表示细胞密度， $v = v (x, t)$ 表示化学信号浓度，初值

$u_{0} \in C^{0} (\bar{Ω})$ 并且 $u_{0} \geq 0$ 。交叉扩散项 $- χ {(\frac{u}{v^{α}} v_{x})}_{x}$ 刻画了奇异趋化敏感效应，其中 $\frac{χ}{v^{α}}$ 为指标 $α$ 的敏感函数。根据奇异敏感函数 $\frac{χ}{v^{α}}$ 可知，当 $v$ 变小时，趋化强度增强，能否证明 $v$ 的一致下界对建立古典解的整

体动力学行为至关重要。

现回顾 $α = 1$ 时的相关结论。若 $β = 1$ ，文献 [1] 证明了当 $n = 2$ 或 $n \geq 3, 0 < χ < \frac{2}{n - 2}$ 时径向解是整体有界的，当 $n \geq 3$ ， $χ > \frac{2 n}{n - 2}$ 且 $\int_{Ω} u_{0} {| x |}^{2}$ 足够小时解在有限时间内爆破；文献 [2] 讨论了经典非径向解的整体存在性和一致有界性，证明了当 $0 < χ < \frac{2}{n}$ 时系统具有唯一的全局有界古典解。若(1.1)中的化学信号产生

项 $u^{β}$ 用 $g (u) \in C^{1} ([0, \infty))$ 代替，满足次线性增长 $λ_{1} \leq g (u) \leq λ_{2} {(1 + u)}^{β}$ ， $0 < λ_{1} \leq λ_{2}$ ，文献 [3] 证明了当

$β \in [0, \frac{1}{2}]$ 时解是整体有界的。对于相应的抛物–抛物趋化模型，其中 $0 < g (u) \leq K u^{β} (K, β > 0)$ ，Liu证明了当 $0 < β < 2 + \frac{2}{n}$ ， $0 < χ < \min {1, \sqrt{\frac{2}{n β}}}$ 时存在全局经典解 [4] 。

当 $β \in (0, 1)$ 时，因无法确定 $v$ 的一致正下界，这给证明模型解的整体存在及有界性带来困难；当 $β \geq 1$ 时，可以确定 $v$ 的一致正下界，但是趋化项的处理困难。在本文模型中细胞质量守恒，我们根据抛物–椭圆方程组理论以及Neumann热半群理论来证明模型的古典解整体有界。为了探究出 $α, β$ 满足什么条件，模型的古典解整体有界，我们通过分类讨论的形式来证明。

定理1.1 假设 $α \in (0, \frac{3}{2}), β \in (0, 2)$ ，则系统(1.1)存在整体有界古典解。

注尽管次线性产生( $β \in (0, 1)$ )不能直接建立化学信号 $v$ 先验的正下界，但在一维情形下，借助Hölder

不等式与 $u$ 的 $L^{p}$ 估计来刻画 $v$ 的一致正下界并得到超对数敏感( $α \in (1, \frac{3}{2})$ )情形古典解的整体有界性。

2. 预备知识

采用不动点理论和标准的抛物–椭圆正则性理论，可以得到古典解局部存在性，详细证明参考文献 [5] 。

引理2.1 (局部存在性)假设 $χ > 0, α \in (0, \frac{3}{2}), β \in (0, 2)$ ，则存在 $T_{\max} \in (0, \infty]$ 及唯一非负函数 $(u, v)$ ，其中 $u \in C^{0} ([0, T_{\max}); C^{0} (\bar{Ω})) \times C^{2, 1} (\bar{Ω} \times (0, T_{\max})), v \in C^{2, 0} (\bar{Ω} \times (0, T_{\max}))$ ，在古典解意义下满足系统(1.1)。另外，当 $T_{\max} < \infty$ 时， $\lim_{t \to T_{\max}} {‖ u ‖}_{L^{\infty} (Ω)} = \infty$ 或者 $\lim_{t \to T_{\max}} \inf_{x \in Ω} v (x, t) = 0$ 。

令 $(u, v)$ 是模型(1.1)的局部古典解，然后我们有以下的基本估计。

引理2.2 存在一些非负常数 $m_{0}$ 和 $L_{i} (i = 1, 2, 3)$ 使得

$\int_{Ω} u (x, t) d x = \int_{Ω} u_{0} d x = : m_{0}, t \in (0, T_{\max}),$ (2.1)

和

${\begin{array}{l} {‖ v_{x} ‖}_{L^{\infty} (Ω)} \leq L_{1}, β \in (0, 1), \\ {‖ v_{x} ‖}_{L^{p} (Ω)} \leq L_{2}, β = 1, \\ {‖ v_{x} ‖}_{L^{\frac{1}{β - 1}} (Ω)} \leq L_{3}, β \in (1, 2), \end{array}$ (2.2)

并且有

$\int_{Ω} \frac{v_{x}^{2}}{v^{2}} d x + \int_{Ω} \frac{u^{β}}{v} d x = | Ω | .$ (2.3)

3. 主要结果

引理3.1 如果 $χ > 0, α \in (0, \frac{3}{2}), β \in (0, 2)$ ，则对于 $p > 1$ ，存在常数 $L_{4} > 0$ 使得

$\int_{Ω} u^{p} d x \leq L_{4}, t \in (0, T_{\max}) .$ (3.1)

证明首先，由常数变易公式

$u = e^{t (\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} - 1)} u_{0} - χ \int_{0}^{t} e^{(t - s) (\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} - 1)} {(\frac{u}{v^{α}} v_{x})}_{x} d s, t \in (0, T_{\max}) .$

根据Neumann热半群理论(参考 [6] )，对于 $p > 1$ 有

$\begin{matrix} {‖ u ‖}_{L^{p} (Ω)} \leq {‖ u_{0} ‖}_{L^{\infty} (Ω)} {| Ω |}^{\frac{1}{p}} + χ K_{4} \int_{0}^{t} (1 + {(t - s)}^{- 1 + \frac{1}{2 p}}) e^{- λ_{1} (t - s)} {‖ \frac{u}{v^{α}} v_{x} ‖}_{L^{1} (Ω)} d s \\ \leq C_{1} + C_{2} \sup_{s \in (0, t)} {‖ \frac{u}{v^{α}} v_{x} ‖}_{L^{1} (Ω)}, t \in (0, T_{\max}), \end{matrix}$ (3.2)

其中， $C_{1} = {‖ u_{0} ‖}_{L^{\infty} (Ω)} {| Ω |}^{\frac{1}{p}}, C_{2} = χ K_{4} \int_{0}^{t} (1 + {(t - s)}^{- 1 + \frac{1}{2 p}}) e^{- λ_{1} (t - s)} d s, λ_{1} > 0$ 表示齐次Neumann边界条件下 $- Δ$ 的第

一个非零特征值。

1) $β \in (0, 1)$

根据Hölder不等式和Young不等式及引理2.2有

$\begin{matrix} \int_{Ω} \frac{u}{v^{α}} v_{x} d x = \int_{Ω} {(\frac{u^{\frac{β}{2}} v_{x}}{v^{\frac{3}{2}}})}^{\frac{2 α}{3}} v_{x}^{1 - \frac{2 α}{3}} u^{1 - \frac{α β}{3}} d x \\ \leq {(\int_{Ω} \frac{u^{\frac{β}{2}} v_{x}}{v^{\frac{3}{2}}} d x)}^{\frac{2 α}{3}} {(\int_{Ω} v_{x} u^{\frac{3 - α β}{3 - 2 α}} d x)}^{\frac{3 - 2 α}{3}} \\ \leq {(\int_{Ω} \frac{v_{x}^{2}}{v^{2}} d x + \int_{Ω} \frac{u^{β}}{v} d x)}^{\frac{2 α}{3}} {(\int_{Ω} v_{x} u^{\frac{3 - α β}{3 - 2 α}} d x)}^{\frac{3 - 2 α}{3}} \\ \leq {| Ω |}^{\frac{2 α}{3}} L_{1}^{\frac{3 - 2 α}{3}} {(\int_{Ω} u^{\frac{3 - α β}{3 - 2 α}} d x)}^{\frac{3 - 2 α}{3}} . \end{matrix}$ (3.3)

由插值不等式得

$\begin{matrix} {(\int_{Ω} u^{\frac{3 - α β}{3 - 2 α}} d x)}^{\frac{3 - 2 α}{3}} = {‖ u ‖}_{L^{\frac{3 - α β}{3 - 2 α}} (Ω)}^{\frac{3 - α β}{3}} \\ \leq {({‖ u ‖}_{L^{1} (Ω)}^{\frac{(3 - 2 α) p - (3 - α β)}{(3 - α β) (p - 1)}} {‖ u ‖}_{L^{p} (Ω)}^{\frac{α (2 - β) p}{(3 - α β) (p - 1)}})}^{\frac{3 - α β}{3}} \\ \leq m_{0}^{\frac{(3 - 2 α) p - (3 - α β)}{3 (p - 1)}} {‖ u ‖}_{L^{p} (Ω)}^{\frac{α (2 - β) p}{3 (p - 1)}} . \end{matrix}$ (3.4)

结合(3.2)，(3.3)，(3.4)，对 $p > \frac{3}{3 - α (2 - β)}$ ，由Young不等式得

$\begin{array}{l} {‖ u ‖}_{L^{p} (Ω)} = C_{1} + C_{2} {| Ω |}^{\frac{2 α}{3}} L_{1}^{\frac{3 - 2 α}{3}} m_{0}^{\frac{(3 - 2 α) p - (3 - α β)}{3 (p - 1)}} \sup_{s \in (0, t)} {‖ u ‖}_{L^{p} (Ω)}^{\frac{α (2 - β) p}{3 (p - 1)}} \\ \leq C_{1} + \frac{1}{2} \sup_{s \in (0, t)} {‖ u ‖}_{L^{p} (Ω)} \\ + m_{0}^{\frac{(3 - 2 α) p - (3 - α β)}{(3 + α β - 2 α) p - 3}} {(C_{2} {| Ω |}^{\frac{2 α}{3}} L_{1}^{\frac{3 - 2 α}{3}})}^{\frac{3 (p - 1)}{(3 + α β - 2 α) p - 3}}, t \in (0, T_{\max}) . \end{array}$ (3.5)

因此，解这个不等式有

${‖ u ‖}_{L^{p} (Ω)} \leq 2 C_{1} + 2 m_{0}^{\frac{(3 - 2 α) p - (3 - α β)}{(3 + α β - 2 α) p - 3}} {(C_{2} {| Ω |}^{\frac{2 α}{3}} L_{1}^{\frac{3 - 2 α}{3}})}^{\frac{3 (p - 1)}{(3 + α β - 2 α) p - 3}}, t \in (0, T_{\max}) .$ (3.6)

2) $β = 1$

文献 [1] 引理2.1有，存在 $η_{1} > 0$ 使得对于非负函数 $f \in C^{1} (\bar{Ω})$ ，当在边界 $\partial Ω$ 处 $\frac{\partial φ}{\partial υ} = 0$ 时， $- Δ φ + φ = f$

的解满足

$φ (x) \geq η_{1} \int_{Ω} f d x .$ (3.7)

因此 $β = 1$ 时根据Hölder不等式，插值不等式和引理2.2，对 $p > 2$ 有

$\begin{matrix} \int_{Ω} \frac{u}{v^{α}} v_{x} d x \leq \frac{1}{η^{α}} \int_{Ω} u v_{x} d x \\ \leq \frac{1}{η^{α}} {‖ u ‖}_{L^{\frac{p}{p - 1}} (Ω)} v_{x}_{L^{p} (Ω)} \\ \leq \frac{L_{2}}{η^{α}} {‖ u ‖}_{L^{1} (Ω)}^{\frac{p - 2}{p - 1}} {‖ u ‖}_{L^{p} (Ω)}^{\frac{1}{p - 1}} \\ \leq \frac{L_{2}}{η^{α}} m_{0}^{\frac{p - 2}{p - 1}} {‖ u ‖}_{L^{p} (Ω)}^{\frac{1}{p - 1}} . \end{matrix}$ (3.8)

把(3.8)代入(3.2)，由Young不等式得

$\begin{matrix} {‖ u ‖}_{L^{p} (Ω)} \leq C_{1} + \frac{C_{2} L_{2}}{η^{α}} m_{0}^{\frac{p - 2}{p - 1}} \sup_{s \in (0, t)} m_{0}^{\frac{p - 2}{p - 1}} \sup_{s \in (0, t)} {‖ u ‖}_{L^{p} (Ω)}^{\frac{1}{p - 1}} \\ \leq C_{1} + \frac{1}{2} \sup_{s \in (0, t)} {‖ u ‖}_{L^{p} (Ω)} + m_{0} {(\frac{C_{2} L_{2}}{η^{α}})}^{\frac{p - 1}{p - 2}}, t \in (0, T_{\max}) . \end{matrix}$ (3.9)

因此，解这个不等式得

${‖ u ‖}_{L^{p} (Ω)} \leq 2 C_{1} + 2 m_{0} {(\frac{C_{2} L_{2}}{η^{α}})}^{\frac{p - 1}{p - 2}}, t \in (0, T_{\max}) .$ (3.10)

3) $β \in (1, 2)$

根据Hölder不等式和插值不等式及引理2.2，对 $p > \frac{1}{2 - β}$ 有

$\begin{matrix} \int_{Ω} \frac{u}{v^{α}} v_{x} d x \leq \frac{1}{η^{α}} \int_{Ω} u v_{x} d x \\ \leq \frac{1}{η^{α}} {‖ v_{x} ‖}_{L^{\frac{1}{β - 1}} (Ω)} {‖ u ‖}_{L^{\frac{1}{2 - β}} (Ω)} \\ \leq \frac{L_{3}}{η^{α}} {‖ u ‖}_{L^{1} (Ω)}^{\frac{(2 - β) p - 1}{p - 1}} {‖ u ‖}_{L^{p} (Ω)}^{\frac{(β - 1) p}{p - 1}} \\ \leq \frac{L_{3}}{η^{α}} m_{0}^{\frac{(2 - β) p - 1}{p - 1}} {‖ u ‖}_{L^{p} (Ω)}^{\frac{(β - 1) p}{p - 1}} . \end{matrix}$ (3.11)

将(3.11)代入(3.2)，并且由Young不等式得

$\begin{matrix} {‖ u ‖}_{L^{p} (Ω)} = C_{1} + \frac{C_{2} L_{3}}{η^{α}} m_{0}^{\frac{(2 - β) p - 1}{p - 1}} \sup_{s \in (0, t)} {‖ u ‖}_{L^{p} (Ω)}^{\frac{(β - 1) p}{p - 1}} \\ \leq C_{1} + \frac{1}{2} \sup_{s \in (0, t)} {‖ u ‖}_{L^{p} (Ω)} + m_{0} {(\frac{C_{2} L_{3}}{η^{α}})}^{\frac{p - 1}{(2 - β) p - 1}}, t \in (0, T_{\max}) . \end{matrix}$ (3.12)

因此，解这个不等式有

${‖ u ‖}_{L^{p} (Ω)} \leq 2 C_{1} + 2 m_{0} {(\frac{C_{2} L_{3}}{η^{α}})}^{\frac{p - 1}{(2 - β) p - 1}}, t \in (0, T_{\max}) .$ (3.13)

证毕。

引理3.2 如果 $χ > 0, α \in (0, \frac{3}{2}), β \in (0, 2)$ ，则系统(1.1)存在一个整体古典解。

证明由文献 [1] 引理2.1知， $β \geq 1$ 时， $v$ 有一致正下界。

对 $β \in (0, 1)$ ，根据引理2.2和Hölder不等式有

$\int_{Ω} u (x, t) d x \leq {(\int_{Ω} u {(x, t)}^{β} d x)}^{\frac{1}{2}} {(\int_{Ω} u {(x, t)}^{2 - β} d x)}^{\frac{1}{2}}, t \in (0, T_{\max}) .$ (3.14)

因此，由(2.1)，(3.14)及引理3.1得

$\begin{matrix} v (x, t) \geq η_{1} \int_{Ω} u {(x, t)}^{β} d x \\ \geq η_{1} \frac{{(\int_{Ω} u (x, t) d x)}^{2}}{\int_{Ω} u {(x, t)}^{2 - β} d x} \\ \geq \frac{η_{1} m_{0}^{2}}{L_{4}}, t \in (0, T_{\max}) . \end{matrix}$ (3.15)

最后，利用(3.15)中 $v$ 的一致正下界及文献 [1] 中关于整体存在性的类似论证，我们将得到系统(1.1)古典解的整体存在性。

证毕。

由于解的整体存在性，可以看出引理2.2及引理3.1中的 $T_{\max} \in (0, \infty)$ 。接下来给出 ${‖ u ‖}_{L^{\infty} (Ω)}$ 的估计。

定理1.1 证明

由Neumann热半群理论，对 $q > 1$ 有

$\begin{matrix} {‖ u ‖}_{L^{\infty} (Ω)} \leq {‖ u_{0} ‖}_{L^{\infty} (Ω)} + χ K_{4} \int_{0}^{t} (1 + {(t - s)}^{- \frac{1}{2} - \frac{1}{2 q}}) e^{- λ_{1} (t - s)} {‖ \frac{u}{v^{α}} v_{x} ‖}_{L^{q} (Ω)} d s \\ \leq {‖ u_{0} ‖}_{L^{\infty} (Ω)} + C_{3} \sup_{s \in (0, t)} {‖ \frac{u}{v^{α}} v_{x} ‖}_{L^{q} (Ω)}, t > 0 \end{matrix}$ (3.16)

其中 $C_{3} = χ K_{4} \int_{0}^{t} (1 + {(t - s)}^{- \frac{1}{2} - \frac{1}{2 q}}) e^{- λ_{1} (t - s)} d s$ 。

1) $β \in (0, 1)$

根据引理3.1，Hölder不等式和Young不等式，对 $\frac{3}{3 - α β + 2 α} < 1 < q < \frac{3}{2 α}$ 有

$\begin{matrix} \int_{Ω} \frac{u^{q}}{v^{α q}} v_{x}^{q} d x = \int_{Ω} {(\frac{u^{\frac{β}{2}} v_{x}}{v^{\frac{3}{2}}})}^{\frac{2 α q}{3}} v_{x}^{q - \frac{2 α q}{3}} u^{q - \frac{α β q}{3}} d x \\ \leq {(\int_{Ω} \frac{u^{\frac{β}{2}} v_{x}}{v^{\frac{3}{2}}} d x)}^{\frac{2 α q}{3}} {(\int_{Ω} v_{x}^{\frac{3 q - 2 α q}{3 - 2 α q}} u^{\frac{3 q - α β q}{3 - 2 α q}} d x)}^{\frac{3 - 2 α q}{3}} \\ \leq {(\int_{Ω} \frac{v_{x}^{2}}{v^{2}} d x + \int_{Ω} \frac{u^{β}}{v} d x)}^{\frac{2 α q}{3}} {(\int_{Ω} v_{x}^{\frac{3 q - 2 α q}{3 - 2 α q}} u^{\frac{3 q - α β q}{3 - 2 α q}} d x)}^{\frac{3 - 2 α q}{3}} \\ \leq {| Ω |}^{\frac{2 α q}{3}} L_{1}^{\frac{3 q - 2 α q}{3}} L_{4}^{\frac{3 - 2 α q}{3}}, \end{matrix}$ (3.17)

由(3.16)和(3.17)得

${‖ u ‖}_{L^{\infty} (Ω)} \leq {‖ u_{0} ‖}_{L^{\infty} (Ω)} + C_{3} {| Ω |}^{\frac{2 α q}{3}} L_{1}^{\frac{3 q - 2 α q}{3}} L_{4}^{\frac{3 - 2 α q}{3}}, t > 0.$ (3.18)

2) $β = 1$

由引理2.2和引理3.1及Hölder不等式，对 $γ > 1$ 有

$\begin{matrix} \int_{Ω} \frac{u^{q}}{v^{α q}} v_{x}^{q} d x \leq \frac{1}{η^{α q}} \int_{Ω} u^{q} v_{x}^{q} d x \\ \leq \frac{1}{η^{α q}} {(\int_{Ω} u^{q γ} d x)}^{\frac{1}{γ}} {(\int_{Ω} v_{x}^{\frac{q γ}{γ - 1}} d x)}^{\frac{γ - 1}{γ}} \\ \leq \frac{1}{η^{α q}} L_{2}^{q} L_{4}^{\frac{1}{γ}} . \end{matrix}$ (3.19)

将(3.19)代入(3.16)得

${‖ u ‖}_{L^{\infty} (Ω)} \leq {‖ u_{0} ‖}_{L^{\infty} (Ω)} + C_{3} \frac{1}{η^{α q}} L_{2}^{q} L_{4}^{\frac{1}{γ}}, t > 0.$ (3.20)

3) $β \in (1, 2)$

根据引理3.1和Hölder不等式，对 $\frac{1}{β} < 1 < q < \frac{1}{β - 1}$ 有

$\begin{matrix} \int_{Ω} \frac{u^{q}}{v^{α q}} v_{x}^{q} d x \leq \frac{1}{η^{α q}} \int_{Ω} u^{q} v_{x}^{q} d x \\ \leq \frac{1}{η^{α q}} {(\int_{Ω} v_{x}^{\frac{1}{β - 1}} d x)}^{q (β - 1)} {(\int_{Ω} u^{\frac{q}{q + 1 - q β}} d x)}^{q + 1 - q β} \\ \leq \frac{1}{η^{α q}} L_{3}^{q} L_{4}^{q + 1 - q β} . \end{matrix}$ (3.21)

由(3.16)和(3.21)得，

${‖ u ‖}_{L^{\infty} (Ω)} \leq {‖ u_{0} ‖}_{L^{\infty} (Ω)} + C_{3} \frac{1}{η^{α q}} L_{3}^{q} L_{4}^{q + 1 - q β}, t > 0.$ (3.22)

证毕。

参考文献

[1]	Nagai, T. and Senba, T. (1998) Global Existence and Blow-Up of Radial Solutions to a Parabolic-Elliptic System of Chemotaxis. Advances in Mathematical Sciences and Applications, 8, 145-156.
[2]	Fujie, K., Winkler, M. and Yokota, T. (2015) Boundedness of Solutions to Parabolic-Elliptic Keller-Segel Systems with Signal-Dependent Sensitivity. Mathematical Methods in the Applied Sciences, 38, 1212-1224. https://doi.org/10.1002/mma.3149
[3]	Viglialoro, G. and Woolley, T.E. (2020) Solvability of a Keller-Segel System with Signal-Dependent Sensitivity and Essentially Sublinear Production. Applicable Analysis, 99, 2507-2525. https://doi.org/10.1080/00036811.2019.1569227
[4]	Liu, D. (2020) Global Solutions in a Fully Parabolic Chemotaxis System with Singular Sensitivity and Nonlinear Signal Production. Journal of Mathematical Physics, 61, Article ID: 021503. https://doi.org/10.1063/1.5111650
[5]	Fujie, K., Winkler, M. and Yokota, T. (2014) Blow-Up Prevention by Logistic Sources in a Parabolic-Elliptic Keller-Segel System with Singular Sensitivity. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 109, 56-71. https://doi.org/10.1016/j.na.2014.06.017
[6]	Winkler, M. (2010) Aggregation vs. Global Diffusive Behavior in the Higher-Dimensional Keller-Segel Model. Journal of Differential Equations, 12, 2889-2905. https://doi.org/10.1016/j.jde.2010.02.008

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