不完备勾股模糊信息系统的三支冲突分析

Three-Way Conflict Analysis on Incomplete Pythagorean Fuzzy Information System

摘要: 本文考虑了不完备情况下的勾股模糊信息系统，并结合三支决策思想将三支冲突分析模型引入不完备勾股模糊信息系统中。首先，定义了不完备勾股模糊信息系统，同时根据勾股模糊数另一表达形式定义了+/−区域角与可能含有未知值的勾股模糊数的未知值数量函数。其次，根据差异性矩阵，定义了可能含有未知值的勾股数之间的冲突度计算方式，建立起不完备勾股模糊信息系统中的代理人之间关系的三划分模型。最后，根据对多事件的态度取值的聚合算子，在不完备勾股信息系统中建立了对代理集的三划分模型。

Abstract: This paper considers the Pythagorean fuzzy information system in the case of incompleteness, and introduces the three-way conflict analysis model into the incomplete Pythagorean fuzzy information system (IPFIS) by combining the three-way decision. Firstly, we define IPFIS, the +/− region angles and the number function of the Pythagorean fuzzy number (PFN) that may contain missingvalues according to another expression of PFN. Secondly, according to the dissimilarity matrix, the calcula-tion of conflict degree between two PFNs that may contain missing values is defined, and a three-division model of the relationship between agents in the IPFIS is established. Finally, accord-ing to the aggregation operator of attitude to multiple issues, a three-division model for the agent set is also established in IPFIS.

1. 引言

本冲突是反映支持与反对的一种对立状态，为更好地解释冲突问题，Pawlak [1] [2] 提出了基于粗糙集理论的冲突分析。冲突分析与三支决策之间存在着某些天然的联系，部分学者开始将三支决策的思想用于冲突分析的研究中，如：Lang等 [3] 在决策粗糙集和三支决策理论的基础上推广Pawlak冲突分析模型，引入了冲突分析的概率模型，使用一对阈值来定义联盟、冲突和中立关系；Sun等 [4] 提出了一种基于粗糙集逼近算子的冲突分析方法；Fan等 [5] 在基于评价的三支决策模型，运用形式概念分析中的求导算子研究了冲突分析的定量模型。2019年，三支决策的创始人Yao [6] 将Pawlak的冲突分析模型进行推广重构，建立了最基础的三支冲突模型框架。

勾股模糊集理论(Pythagorean Fuzzy Sets Theory)由Yager于2013年提出 [7] 并于2014年完善 [8] ，在2017年将其推广为广义的正交的模糊集(Generalized Orthopair Fuzzy Sets)的概念 [9] 。勾股模糊集的距离测度及相关性质由Zhang和Xu提出 [10] ，随后于2023年李丹与王贵军完善了相关证明过程 [11] 。基于勾股模糊集理论的三支冲突分析相关工作由Lang于2017年 [12] 与2020年 [13] 完成，Du [14] 于2022年将一种新的冲突距离与冲突方程引入勾股模糊信息系统(Pythagorean Fuzzy Information System)的三支冲突分析中，并提出了一种三支冲突解决(Three-Way Conflict Resolution)模型。另一方面，不完备信息系统(Incomplete Information System)于1998年被提出 [15] ，是三值信息系统中存在未知值的推广形式。为不完备信息系统设计冲突分析模型的关键在于对未知值构造相似性或者差异性度量，Peng等 [16] 根据信息系统内连续型数据与离散型数据的特点，分别构建了两种基于取值概率的相似性度量。不完备信息系统上的三支冲突分析相关工作由杨文听 [17] 于2022年完成，文中给出了处理正常值与未知值的相似距离度量公式与基于决策粗糙集理论的代理三划分模型。进一步，Suo与Yang于2022年 [18] 完成了在不完备三值信息系统、不完备多值信息系统、不完备区间值信息系统上的三支冲突分析的探索，在每一个信息系统上提出了基于相似性度量的model-1与基于最大可能性取值以填充未知值的model-2。

除了以上工作外，不完备的正交模糊信息系统的相似性度量/差异性度量方法与三支决策等相关内容并无太多参考。考虑到正交模糊信息系统对于不确定性描述的丰富语义以及广泛的应用场景，开展对不完备的正交模糊信息系统的理论研究相关工作是具有实用意义的。本文对不完备的勾股模糊信息系统，即q = 2的正交模糊信息系统，进行了三支冲突分析模型的建立。首先，定义了可能具有未知值的勾股模糊数、勾股模糊数的+/−区域角与未知值数量函数。其次，在不完备勾股模糊信息系统下定义了可能含有未知值的勾股数之间的差异度计算方式，以此作为冲突度并建立了代理人之间关系的三划分模型。最后，根据可能含有未知值的勾股模糊数的概率描述的特点，设计了对代理集的三划分模型。相关理论与公式皆进行了数据实验以证明可行性与有效性。

2. 预备知识

本节介绍完备的三值信息系统上的冲突分析 [1] 和勾股模糊数 [8] 。

2.1. 三值信息系统的冲突分析

称 $S=\left(U,A,V,f\right)$ 为三值信息系统 [1] ，其中 $U=\left\{x_1,x_2,\cdots ,x_n\right\}$ 是非空有限代理集， $A=\left\{a_1,a_2,\cdots ,a_m\right\}$ 是非空有限事件集， $f:U\times A\to V$ ， $V=\left\{-1,0,+1\right\}$ ， $f\left(x,a\right)=1$ 表示代理人x对事件a采取支持态度， $f\left(x,a\right)=-1$ 表示代理人x对事件a采取反对态度， $f\left(x,a\right)=0$ 表示代理人x对事件a持中立态度。

定义1 [1] 对每一个事件 $a\in A$ ，代理人x与y间的二元关系 ${\phi }_a:U^2\to \left\{-1,0,+1\right\}$ 定义为

${\phi }_a\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}1\hfill & f\left(x,a\right)f\left(y,a\right)=1或x=y,\hfill \\ 0\hfill & f\left(x,a\right)f\left(y,a\right)=0且x\ne y,\hfill \\ -1\hfill & f\left(x,a\right)f\left(y,a\right)=-1.\hfill \end{array}$

${\phi }_a\left(x,y\right)=1$ 表示代理人x与y对事件a持相同态度， ${\phi }_a\left(x,y\right)=-1$ 表示代理人x与y对事件a持相反态度， ${\phi }_a\left(x,y\right)=0$ 表示代理人x与y中至少一方对事件a持中立态度。

对于事件子集 $B\subseteq A$ ，代理人x与y关于B的距离为 ${\rho }_B^{*}\left(x,y\right)=\frac{{\displaystyle {\sum }_{a\in B}{\phi }_a^{*}}\left(x,y\right)}{\left|B\right|}$ ，其中：

${\phi }_a^{*}\left(x,y\right)=\frac{1-{\phi }_a\left(x,y\right)}{2}=\{\begin{array}{ll}0\hfill & f\left(x,a\right)f\left(y,a\right)=1或x=y,\hfill \\ 0.5\hfill & f\left(x,a\right)f\left(y,a\right)=0且x\ne y,\hfill \\ 1\hfill & f\left(x,a\right)f\left(y,a\right)=-1.\hfill \end{array}$

定义2 [3] 设 $S=\left(U,A,V,f\right)$ 是三值信息系统，非空事件子集 $B\subseteq A$ ，阈值 $\alpha$ 和 $\beta$ 满足 $0\le \beta <\alpha \le 1$ .代理人 $x,y$ 关于事件子集B的关系如下：

1) ${\rho }_B^{*}\left(x,y\right)\ge \alpha$ ，代表x与y是冲突关系；

2) $\beta <{\rho }_B^{*}\left(x,y\right)<\alpha$ ，代表x与y是中立关系；

3) ${\rho }_B^{*}\left(x,y\right)\le \beta$ ，代表x与y是联盟关系。

进一步，代理人x的冲突集、中立集和联盟集分别为：

1) $C{O}_{\beta }^{\alpha }\left(x,B\right)=\left\{y\in U|{\rho }_B^{*}\left(x,y\right)\ge \alpha \right\}$ ；

2) $N{E}_{\beta }^{\alpha }\left(x,B\right)=\left\{y\in U|\beta <{\rho }_B^{*}\left(x,y\right)<\alpha \right\}$ ；

3) $A{L}_{\beta }^{\alpha }\left(x,B\right)=\left\{y\in U|{\rho }_B^{*}\left(x,y\right)\le \beta \right\}$ 。

2.2. 勾股模糊数

定义3 [8] 设U是任意非空集合，勾股模糊集P表示为：

$P=\left\{\langle x,{\mu }_P\left(x\right),{\nu }_P\left(x\right)\rangle |x\in U\right\}$ ，

其中 ${\mu }_P\left(x\right),{\nu }_P\left(x\right)\in \left[0,1\right]$ ，且满足 ${\mu }_P{\left(x\right)}^2+{\nu }_P{\left(x\right)}^2\le 1$ ，对任意 $x\in U$ ， ${\mu }_P\left(x\right)$ 和 ${\nu }_P\left(x\right)$ 分别表示元素x属于集合P的隶属度和非隶属度，另有犹豫度 ${\pi }_p\left(x\right)=\sqrt{1-{\mu }_p{\left(x\right)}^2-{\nu }_p{\left(x\right)}^2}$ 。记 $p=\langle {\mu }_p,{\nu }_p\rangle$ 为勾股模糊数(PFN, Pythagorean Fuzzy Number)。

根据文献 [8] ，对任意勾股模糊数 $p=\langle {\mu }_p,{\nu }_p\rangle$ ，存在一对值 $r_p\in \left[0,1\right]$ 和 ${\theta }_p\in \left[0,\pi /2\right]$ ，使得：

$\begin{array}{l}{\mu }_p=r_p\cos \left({\theta }_p\right)\\ {\nu }_p=r_p\sin (\; \theta \; p\; )\end{array}$

其中， $r_p$ 代表p的置信度， ${\theta }_p$ 代表p的方向角。同时，易得如下转换关系：

$\begin{array}{l}{r}_p=\sqrt{{\mu }_p^2+{\nu }_p^2}=\sqrt{1-{\pi }_p^2}\\ {\theta }_p=\arccos \left(\frac{{\mu }_p}{\sqrt{{\mu }_p^2+{\nu }_p^2}}\right)\end{array}$

PFN可以描述为一个定义在第一象限的点，其坐标分别为隶属度和非隶属度，隶属度代表元素属于集合的程度，非隶属度代表元素不属于集合的程度；与原点的距离为置信度，与横轴的夹角为方向角。 $r_p$ 的大小决定了PFN的可信程度， $r_p$ 越大，p的犹豫度越小，则p取值越可信，见图1。 ${\theta }_p$ 的大小决定了PFN的倾向， ${\theta }_p$ 越小，PFN的位置越贴近隶属度轴，则p更倾向于表达“隶属”。

Figure 1. Range of the Pythagorean fuzzy numbers

图1. PFN的值域

3. 可能含有未知值的勾股模糊数

本节引入可能含有未知值的勾股模糊数的概念，并讨论该类型勾股模糊数的差异性度量方式。

定义4 称 $p^{*}=\langle {\mu }_p^{*},{\nu }_p^{*}\rangle$ 为可能含有未知值的勾股模糊数， ${\mu }_p^{*}\in \left[0,1\right]\cup \{*\}$ ， ${\nu }_p^{*}\in \left[0,1\right]\cup \{*\}$ ，满足 ${\left({\mu }_p^{*}\right)}^2+{\left({\nu }_p^{*}\right)}^2\le 1$ 。其中，无未知值的PFN为 $p^{*}=\langle {\mu }_p,{\nu }_p\rangle$ 的形式，含有未知值的PFN有以下三种形式： $p^{*}=\langle {\mu }_p,*\rangle$ ， $p^{*}=\langle *,{\nu }_p\rangle$ ， $p^{*}=\langle *,*\rangle$ 。

定义5 称 $I\left(p^{*}\right)$ 为未知值的数量函数，如果对于可能含有未知值的PFN $p^{*}=\langle {\mu }^{*},{\nu }^{*}\rangle$ 有：

$I\left(p^{*}\right)=\{\begin{array}{ll}0,\hfill & \text{if}{\mu }_p^{*},{\nu }_p^{*}\ne *\hfill \\ 2,\hfill & \text{if}{\mu }_p^{*},{\nu }_p^{*}=*\hfill \\ 1,\hfill & \text{else}\hfill \end{array}$

通过数量函数 $I\left(p^{*}\right)$ 我们可以得到一个含有未知值的PFN中具有的未知值个数。

PFN的方向角可以描述隶属度与非隶属度之间的相对关系。方向角越小越倾向表达“属于”，方向角越大越倾向于表达“不属于”。要对值域进行三划分，需要方向角的下限与上限，当方向角小于下限，认为该PFN表达“属于”；当方向角大于上限，认为表达“属于”；当方向角在上下限之间，认为该PFN对表达内容延迟决定。

定义6设 ${\theta }^{+}$ ， ${\theta }^{-}$ 分别为“+区域角”和“−区域角”，满足 ${\theta }^{+}+{\theta }^{-}\le \frac{\pi }{2}$ 。对于PFN $p=\langle {\mu }_p,{\nu }_p\rangle$ ，如果：

1) $\tan \left({\theta }_p\right)=\frac{{\nu }_p}{{\mu }_p}\le \tan \left({\theta }^{+}\right)$ ，则称p落在“+区域”，记为 $p\in +$ ；

2) $\tan \left({\theta }_p\right)=\frac{{\nu }_p}{{\mu }_p}\ge \tan \left(\frac{\pi }{2}-{\theta }^{-}\right)$ ，则称p落在“−区域”，记为 $p\in -$ ；

3) 否则，称p落在“ $○$ 区域”，记为 $p\in ○$ 。

${\theta }^{+}$ 和 $\frac{\pi }{2}-{\theta }^{-}$ 是方向角的下限与上限，由决策者主观获得，见图2。+区域，−区域和 $○$ 区域的面积分别为：

$S(+)=\frac{1}{2}{\theta }^{+}$ ， $S(-)=\frac{1}{2}{\theta }^{-}$ ， $S(○)=\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}\left({\theta }^{+}+{\theta }^{-}\right)$ 。

Figure 2. + range and − range

图2. +区域与−区域

对于可能含有未知值的PFN可以通过落入区域的概率来描述：

1) 当 $I\left(p^{*}\right)=0$ ，即 $p^{*}=\langle {\mu }_p,{\nu }_p\rangle$ 。PFN取值确定。若 $p^{*}\in +$ ，则 $P\left(p^{*}\in +\right)=1$ ， $P\left(p^{*}\in -\right)=P\left(p^{*}\in ○\right)=0$ ，以此类推。

2) 当 $I\left(p^{*}\right)=1$ ，即 $p^{*}=\langle {\mu }_p,*\rangle \text{or}\langle *,{\nu }_p\rangle$ ，见图3。

(a) 对于 $p^{*}=\langle {\mu }_p,*\rangle$ ，未知值的取值在 $\left[0,\sqrt{1-{\mu }_p^2}\right]$ 。若 ${\mu }_p\ge \cos {\theta }^{+}$ ，则 $p^{*}\in +$ 恒成立；否则，有：

$P\left(p^{*}\in +\right)=\frac{\mu \tan {\theta }^{+}}{\sqrt{1-{\mu }^2}}$

$P\left(p^{*}\in ○\right)=\frac{\min \left\{\mu \cot {\theta }^{-},\sqrt{1-{\mu }^2}\right\}-\mu \tan {\theta }^{+}}{\sqrt{1-{\mu }^2}}$

$P\left(p^{*}\in -\right)=\max \left\{1-\frac{\mu \cot {\theta }^{-}}{\sqrt{1-{\mu }^2}},0\right\}$

(b) 对于 $p^{*}=\langle *,{\nu }_p\rangle$ ，未知值的取值在 $\left[0,\sqrt{1-{\nu }_p^2}\right]$ 。若 ${\nu }_p\ge \cos {\theta }^{-}$ ，则 $p^{*}\in -$ 恒成立；否则，有：

$P\left(p^{*}\in -\right)=\frac{\nu \tan {\theta }^{-}}{\sqrt{1-{\nu }^2}}$

$P\left(p^{*}\in ○\right)=\frac{\min \left\{\nu \cot {\theta }^{+},\sqrt{1-{\nu }^2}\right\}-\nu \tan {\theta }^{-}}{\sqrt{1-{\nu }^2}}$

$P\left(p^{*}\in +\right)=\max \left\{1-\frac{\nu \cot {\theta }^{+}}{\sqrt{1-{\nu }^2}},0\right\}$

Figure 3. Range of $\langle {\mu }_p,*\rangle$

图3. $\langle {\mu }_p,*\rangle$ 的值域

3) 对于 $p^{*}=\langle *,*\rangle$ ，即 $I\left(p^{*}\right)=2$ 的情况。隶属度和非隶属度皆未知，认为是在值域内随机点，即：

$P\left(p^{*}\in +\right)=\frac{S(+)}{S(+)+S(-)+S(○)}=\frac{2}{\pi }{\theta }^{+}$

$P\left(p^{*}\in -\right)=\frac{S(-)}{S(+)+S(-)+S(○)}=\frac{2}{\pi }{\theta }^{-}$

$P\left(p^{*}\in ○\right)=\frac{S(○)}{S(+)+S(-)+S(○)}=1-\frac{2}{\pi }\left({\theta }^{+}+{\theta }^{-}\right)$

接下来考虑两个PFN的差异性。当两个PFN落在明确“属于”或“不属于”的同一个区域时差异最小，落在态度相反的区域时差异最大，当落在延迟决策的区域时其差异性应处于中间。对于两个PFN $p_1$ 和 $p_2$ ， $p_1$ 有3个可能的状态，分别为 $\left\{p_1\in +,p_1\in -,p_1\in ○\right\}$ ， $p_2$ 亦然。根据不同的所述情况，由决策者或专家给出PFN的差异性矩阵，如表1所示。

Table 1. Dissimilarity matrix

表1. 差异性矩阵

其中， ${\lambda }_{++}$ ， ${\lambda }_{+-}$ 和 ${\lambda }_{+○}$ 表示：当 $p_1$ 落在+区域的状态下， $p_2$ 落在+，−， $○$ 三个区域时所造成的差异性，且 $0\le {\lambda }_{++}\le {\lambda }_{+○}\le {\lambda }_{+-}\le 1$ 。同理， ${\lambda }_{++}$ ， ${\lambda }_{+-}$ 和 ${\lambda }_{+○}$ 表示当 $p_1$ 落在−区域的状态下， $p_2$ 落在−， $○$ 三个区域时所造成的差异性，且 $0\le {\lambda }_{--}\le {\lambda }_{-○}\le {\lambda }_{-+}\le 1$ 。由于 $p_1$ 和 $p_2$ 选取的任意性，位置交换不影响结果，故该矩阵是对称矩阵。

在上表中， ${\lambda }_{○+}$ 代表了一方延迟决策而另一方表达属于时的差异程度。如果将其视为中立情况下对于支持态度的强烈程度，中立情况下支持态度引起的差异性越大，则支持程度越强烈；同理 ${\lambda }_{○-}$ 。前文中 ${\theta }^{+}$ 与 ${\theta }^{-}$ 可以反应属于(支持)与不属于(反对)的占比，两者之间可以进行如下的转化：

$\frac{S(+)}{S(+)+S(-)+S(○)}=\frac{2{\theta }^{+}}{\pi }=\frac{{\lambda }_{○+}}{{\lambda }_{○+}+{\lambda }_{○-}+{\lambda }_{○○}}$ ，

$\frac{S(-)}{S(+)+S(-)+S(○)}=\frac{2{\theta }^{-}}{\pi }=\frac{{\lambda }_{○-}}{{\lambda }_{○+}+{\lambda }_{○-}+{\lambda }_{○○}}$ ，

则：

${\theta }^{+}=\frac{\pi }{2}\times \frac{{\lambda }_{○+}}{{\lambda }_{○+}+{\lambda }_{○-}+{\lambda }_{○○}}$ ， ${\theta }^{-}=\frac{\pi }{2}\times \frac{{\lambda }_{○-}}{{\lambda }_{○+}+{\lambda }_{○-}+{\lambda }_{○○}}$ 。

4. 不完备勾股模糊信息系统的三支冲突分析

4.1. 不完备勾股模糊信息系统

称 $S=\left(U,A,V,f\right)$ 为不完备勾股模糊信息系统(IPFIS, Incomplete Pythagorean Fuzzy Information System)，其中 $U=\left\{x_1,x_2,\cdots ,x_n\right\}$ 是非空有限代理集， $A=\left\{a_1,a_2,\cdots ,a_m\right\}$ 是非空有限事件集， $V=\left\{V_a^{*}|a\in A\right\}$ ， $V_a^{*}$ 是事件 $a\in A$ 的值域. $f:U\times A\to V$ ， $f\left(x,a\right)$ 为代理人x对事件a的态度，是一个可能含有未知值的PFN。表2为不完备勾股模糊信息系统的案例。

定义7设 $S=\left(U,A,V,f\right)$ 是不完备勾股模糊信息系统。 $\forall x,y\in U$ ， $a\in A$ ，代理人x，y对单事件a的冲突度为 $C_a\left(x,y\right)$ ，且

$\begin{array}{c}{C}_a\left(x,y\right)=\left[\begin{array}{ccc}P\left(f\left(x,a\right)\in +\right)& P\left(f\left(x,a\right)\in -\right)& P\left(f\left(x,a\right)\in ○\right)\end{array}\right]\\ \times \left[\begin{array}{ccc}{\lambda }_{++}& {\lambda }_{+-}& {\lambda }_{+○}\\ {\lambda }_{-+}& {\lambda }_{--}& {\lambda }_{-○}\\ {\lambda }_{○+}& {\lambda }_{○-}& {\lambda }_{○○}\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}P\left(f\left(y,a\right)\in +\right)\\ P\left(f\left(y,a\right)\in -\right)\\ P\left(f\left(y,a\right)\in ○\right)\end{array}\right]\end{array}$ 。

Table 2. Incomplete Pythagorean fuzzy information system

表2. 不完备勾股模糊信息系统

根据上式，可以将 $C_a\left(x,y\right)$ 的计算归纳为以下三种：

1) $I\left(f\left(x,a\right)\right)=0$ ， $I\left(f\left(y,a\right)\right)=0$ 。假设 $f\left(x,a\right)\in +$ ， $f\left(y,a\right)\in -$ ，则， $C_a\left(x,y\right)={\lambda }_{+-}$ ，其余以此类推。

2) $I\left(f\left(x,a\right)\right)=0$ ， $I\left(f\left(y,a\right)\right)\ne 0$ ，根据落在区域的概率以及对应状态的差异性，我们计算其差异性的数学期望来作为两个代理人对该事件的冲突度：

如果 $f\left(x,a\right)\in +$ ，

$C_a\left(x,y\right)=\left({\lambda }_{++},{\lambda }_{+-},{\lambda }_{+○}\right)\left[\begin{array}{c}P\left(f\left(y,a\right)\in +\right)\\ P\left(f\left(y,a\right)\in -\right)\\ P\left(f\left(y,a\right)\in ○\right)\end{array}\right]$ ；

如果 $f\left(x,a\right)\in -$ ，

$C_a\left(x,y\right)=\left({\lambda }_{-+},{\lambda }_{--},{\lambda }_{-○}\right)\left[\begin{array}{c}P\left(f\left(y,a\right)\in +\right)\\ P\left(f\left(y,a\right)\in -\right)\\ P\left(f\left(y,a\right)\in ○\right)\end{array}\right]$ ；

如果 $f\left(x,a\right)\in ○$ ，

$C_a\left(x,y\right)=\left({\lambda }_{○+},{\lambda }_{○-},{\lambda }_{○○}\right)\left[\begin{array}{c}P\left(f\left(y,a\right)\in +\right)\\ P\left(f\left(y,a\right)\in -\right)\\ P\left(f\left(y,a\right)\in ○\right)\end{array}\right]$ 。

3) $I\left(f\left(x,a\right)\right)\ne 0$ ， $I\left(f\left(y,a\right)\right)\ne 0$ ，依据上式计算所有可能状态下的差异性的数学期望，以此作为两个代理人对该事件的冲突度。

性质3易得 $C_a\left(x,y\right)$ 满足以下三条性质：

(a) 有界性： $0\le C_a\left(x,y\right)\le 1$ ，

(b) 自反性： $C_a\left(x,x\right)=0$ ，

(c) 对称性： $C_a\left(x,y\right)=C_a\left(y,x\right)$ 。

4.2. 三支冲突分析

根据文献 [19] 的结论，求取多事件的冲突分析应当先计算代理人之间对每个事件的冲突度，再将冲突度聚合成为对该事件集合的冲突度。

定义8设 $S=\left(U,A,V,f\right)$ 是不完备勾股模糊信息系统。 $\forall x,y\in U$ ， $B\subseteq A$ ，权重向量 ${\omega }_B=\left({\omega }_a|a\in B\right)$

满足 ${\displaystyle \underset{a\in B}{\sum }{\omega }_a}=1$ 代表了事件的重要性程度。代理人x，y关于事件子集B的冲突度为 $C_B\left(x,y\right)$ ，且

$C_B\left(x,y\right)={\displaystyle \underset{a\in B}{\sum }{\omega }_a*C_a\left(x,y\right)}$ 。

定义9 设 $S=\left(U,A,V,f\right)$ 是不完备勾股模糊信息系统， $\forall x,y\in U$ ， $B\subseteq A$ ，给定阈值 $\alpha$ 和 $\beta$ 且 $0\le \beta \le \alpha \le 1$ ，代理人x和y关于事件子集B的冲突度为 $C_B\left(x,y\right)$ 。x与y在事件子集B上的关系如下：

1) x与y冲突： $C_B\left(x,y\right)\ge \alpha$ ；

2) x与y中立： $\beta <C_B\left(x,y\right)<\alpha$ ；

3) x与y联盟： $C_B\left(x,y\right)\le \beta$ 。

定义10 设 $S=\left(U,A,V,f\right)$ 是不完备勾股模糊信息系统， $\forall x\in U$ ， $B\subseteq A$ ，给定阈值 $\alpha$ 和 $\beta$ 且 $0\le \beta \le \alpha \le 1$ ，则代理人x的冲突集、中立集和联盟集的定义如下：

1) $C{O}_{\beta }^{\alpha }\left(x,B\right)=\left\{y\in U|C_B\left(x,y\right)\ge \alpha \right\}$ ；

2) $N{E}_{\beta }^{\alpha }\left(x,B\right)=\left\{y\in U|\beta <C_B\left(x,y\right)<\alpha \right\}$ ；

3) $A{L}_{\beta }^{\alpha }\left(x,B\right)=\left\{y\in U|C_B\left(x,y\right)\le \beta \right\}$ 。

4.3. 代理集的三划分

前文为所有可能含有未知值的PFN赋予了概率描述。本章首先根据概率化的描述以明确代理人对事件集的态度，进而完成对于代理集的三划分。

定义11 设 $S=\left(U,A,V,f\right)$ 是不完备勾股模糊信息系统， $\forall x\in U$ ， $B\subseteq A$ ，权重向量 ${\omega }_B=\left({\omega }_a|a\in B\right)$ ，

${\displaystyle \underset{a\in B}{\sum }{\omega }_a}=1$ 代表事件的重要性程度。称 $f\left(x,B\right)$ 为代理人x对事件子集B的整体态度，其中：

$P\left(f\left(x,B\right)\in +\right)={\displaystyle \underset{a\in B}{\sum }{\omega }_{a}P\left(f\left(x,a\right)\in +\right)}$ ，

$P\left(f\left(x,B\right)\in -\right)={\displaystyle \underset{a\in B}{\sum }{\omega }_{a}P\left(f\left(x,a\right)\in -\right)}$ ，

$P\left(f\left(x,B\right)\in ○\right)={\displaystyle \underset{a\in B}{\sum }{\omega }_{a}P\left(f\left(x,a\right)\in ○\right)}$ 。

对于代理人x对事件子集B可能性最大的态度，有以下三种情况：

1) $P\left(f\left(x,B\right)\in +\right)\ge P\left(f\left(x,B\right)\in -\right)$ 且 $P\left(f\left(x,B\right)\in +\right)\ge P\left(f\left(x,B\right)\in ○\right)$ ，认为代理人支持事件子集，记 $f\left(x,B\right)\in +$ ；

2) $P\left(f\left(x,B\right)\in ○\right)\ge P\left(f\left(x,B\right)\in +\right)$ 且 $P\left(f\left(x,B\right)\in ○\right)\ge P\left(f\left(x,B\right)\in -\right)$ ，认为代理人对事件子集保持中立，记 $f\left(x,B\right)\in ○$ ；

3) $P\left(f\left(x,B\right)\in -\right)\ge P\left(f\left(x,B\right)\in +\right)$ 且 $P\left(f\left(x,B\right)\in -\right)\ge P\left(f\left(x,B\right)\in ○\right)$ ，认为代理人反对事件子集，记 $f\left(x,B\right)\in -$ 。

定义12设 $S=\left(U,A,V,f\right)$ 是不完备勾股模糊信息系统， $x\in U$ ， $B\subseteq A$ ， $f\left(x,B\right)$ 为代理人x对事件子集B的整体态度，则代理人对事件子集B的支持集、中立集与反对集分别为：

1) $POS\left(U,B\right)=\left\{x\in U|f\left(x,B\right)\in +\right\}$ ；

2) $NEU\left(U,B\right)=\left\{x\in U|f\left(x,B\right)\in ○\right\}$ ；

3) $NEG\left(U,B\right)=\left\{x\in U|f\left(x,B\right)\in -\right\}$ 。

至此，本章完成了在不完备勾股模糊信息系统上根据事件集将代理人之间的关系划分的冲突集、中立集和联盟集，以及根据代理人对事件集的态度划分的支持集、中立集和联盟集。表3为不完备勾股模糊信息系统的三支冲突分析算法。

4.4. 实例分析

本节我们对中东冲突的不完备勾股模糊信息系统执行算法，并给出该例的相关分析。表4为中东冲突的不完备勾股模糊信息系统，表5为中东冲突的差异性矩阵。

Table 3. Three-way conflict analysis on incomplete Pythagorean fuzzy information system

表3. 不完备勾股模糊信息系统的三支冲突分析

Table 4. Incomplete Pythagorean fuzzy information system of mid-east conflict

表4. 中东冲突的不完备勾股模糊信息系统

Table 5. The dissimilarity matrix for mid-east conflict

表5. 中东冲突的差异性矩阵

首先，选取事件子集 $B=\left\{a_3,a_4,a_5\right\}$ ，并为各事件赋予权重 ${\omega }_B=\left(0.4,0.3,0.3\right)$ 。将代理人对事件子集中事件的态度取值转化为概率形式。表6~8为代理人对事件的态度的概率描述。

Table 6. Agents’ attitude toward issue a3

表6. 代理人关于事件a₃的态度

Table 7. Agents’ attitude toward issue a4

表7. 代理人关于事件a₄的态度

Table 8. Agents’ attitude toward issue a5

表8. 代理人关于事件a₅的态度

计算代理人之间关于事件的冲突度(表9~11)。最后得到代理人之间关于事件集的总冲突度，如表12所示。如，在事件a₅中，因为有未知值的存在，x₂和x₃根据定义7计算冲突度：

$P\left(f\left(x_2,a_5\right)\in +\right)=0$ ， $P\left(f\left(x_2,a_5\right)\in -\right)=\begin{array}{l}0.925\hfill \end{array}$ ， $P\left(f\left(x_2,a_5\right)\in ○\right)=\begin{array}{r}\hfill 0.075\end{array}$

$P\left(f\left(x_3,a_5\right)\in +\right)=\begin{array}{r}\hfill 0.633\end{array}$ ， $P\left(f\left(x_3,a_5\right)\in -\right)=\begin{array}{l}0\hfill \end{array}$ ， $P\left(f\left(x_3,a_5\right)\in ○\right)=\begin{array}{r}\hfill 0.367\end{array}$

$C_{a_5}\left(x_2,x_3\right)=\left[\begin{array}{ccc}0& 0.925& 0.075\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0.5\\ 1& 0& 0.5\\ 0.5& 0.5& 0.5\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}0.633\\ 0\\ 0.367\end{array}\right]=0.793$

即x₂和x₃关于事件a₅的冲突度为0.793。

根据给定的阈值， $\alpha =0.6$ ， $\beta =0.4$ ，参考表12求出代理人之间关于事件子集冲突集、中立集和联盟集。如表13所示。

Table 9. Conflict degrees of issue a3 between agents

表9. 代理人之间关于a₃的冲突度

Table 10. Conflict degrees of issue a4 between agents

表10. 代理人之间关于a₄的冲突度

Table 11. Conflict degrees of issue a5 between agents

表11. 代理人之间关于a₅的冲突度

Table 12. Conflict degrees of issue B between agents

表12. 代理人之间关于B的冲突度

Table 13. Conflict set, neutrality sets and alliance set about B

表13. 代理人关于事件子集B的冲突集、中立集和联盟集

通过以上给出的权重，计算代理人关于事件子集B的整体态度，如表14所示。进一步给出代理人对事件子集B的支持集、中立集和反对集，如表15所示。

Table 14. Agents’ attitude toward B

表14. 代理人关于事件子集B的态度

Table 15. Positive set, neutral set and negative set of B

表15. 代理人关于事件子集B的支持集、中立集和反对集

我们可以得知，从态度的概率上讲对代理人x₁倾向于支持事件集B， $x_2,x_3,x_5,x_6$ 对事件集整体持有消极态度，故倾向于反对。

在此事件中，可以得到对代理人的三划分，即使在不完备的环境下，通过充分考虑整个事件所持有的信息数据以预测代理人间冲突演化的结果，从中提取有效的信息。这有效地避免了在信息不完备的情况下无法完成运算的问题，也减小了在该环境下可能面临的决策风险，具有应用价值。

5. 总结与展望

本文研究了不完备勾股模糊信息系统，并提出在该信息系统下的三支冲突分析模型。对于可能含有未知值的勾股模糊数，我们通过区域角对其提炼信息，并获得了概率描述形式。下一步，通过计算差异性的数学期望，我们给出了不完备勾股模糊信息系统的冲突度计算方式，以及代理人之间根据冲突度的划分的冲突集、中立集和联盟集。根据代理人对多个事件的整体态度，我们定义了代理人对事件集的支持集、中立集和反对集。其运算的可行性与有效性都在实例分析中得到展示。其中针对具有未知值的勾股模糊数的差异性度量不仅在广义正交模糊数的计算领域做出探索，还体现了三支决策“三的思想”在相应领域的指导意义。

我们的下一步工作将着眼于开发直接填充未知值的方法，对填充后完备的勾股模糊信息系统进行三支冲突分析模型的构建。另一方面，我们将尝试在其他不完备的正交模糊信息系统上进行三支冲突分析，拟根据不同类型的正交模糊信息系统的特性设计差异性度量，并据此进一步设计其相应的冲突分析模型。