N股Montesinos纽结的着色Jones多项式

The Colored Jones Polynomial of N-String Montesinos Knots

摘要: 本文运用纽结三价图计算了当n≥4时，n股Montesinos纽结的着色Jones多项式。算法的关键是构造从θ图到n股Montesinos纽结的三价图变换过程，该算法与n=3的情况有着本质不同。

Abstract: In this paper we calculate the colored Jones polynomial of n-string Montesinos knots for n≥4 us-ing knotted trivalent graphs. The key point of the algorithm is to construct the operations from a θ graph to a Montesinos knot, and the algorithm has essential difference with the case n=3 .

1. 引言

纽结可看作 $S^1$ 在 $E^3$ 中的嵌入，它的分类问题是三维流形中的重要课题，而多项式不变量在这其中发挥了重要作用。1984年，V. Jones [1] 在算子代数的研究中意外发现了著名的Jones多项式，作为它的推广，着色Jones多项式(colored Jones polynomial)在1986年E. Witten [2] 运用拓扑量子场论率先发现，后由N. Reshetikhin等人 [3] 给出其数学上严格的定义：一般地，对任一半单复李代数g，对其泛包络代数进行形变从而得到对应的量子群，它上面存在一种特殊的Hopf代数结构使得人们能够通过表示论构造相应的纽结不变量。当 $g=s{l}_2$ ，取N维表示时，对应着色Jones多项式。这种由量子群构造不变量的方法具有重要理论意义，但其具体计算往往复杂。对于着色Jones多项式，R. van der Veen等人 [4] 率先采用纽结三价图(knotted trivalent graph，下文简称KTG)针对三股排叉结的情形进行了计算，其算法大意如下：着色Jones多项式可以推广到KTG上，而纽结可看作是一种特殊的KTG，且任一KTG可由 $\theta$ 图经过三种基本变换得到，所以只要利用着色Jones多项式在这三种KTG变换下的变换公式，就能得到相应纽结的着色Jones多项式。本文的目的就是运用这种方法得到n股Montesinos纽结( $n\ge 4$ )的着色Jones多项式，而该算法的核心部分与 $n=3$ 的情况 [5] 有着本质不同，并不能看作后者的简单推广。

2. 预备知识

定义2.1

1) 一个标价图是一个一维单纯复形 $\gamma$ 连同其嵌入 $\gamma \to \Sigma$ ，其中 $\Sigma$ 是一个带边曲面，且此嵌入的像是 $\Sigma$ 的脊(spine)。

2) 一个纽结三价图(KTG)是一个嵌入在 ${ℝ}^3$ 里的三价标架图(作为曲面)。

3) 设 $\Gamma$ 是一个纽结三价图， $E\left(\Gamma \right)$ 是它的所有边组成的集合，V是它所有顶点组成的集合。一个 $\Gamma$ 的允许着色是一个映射 $\sigma :E\left(\Gamma \right)\to \mathbb{N}$ ，其中 $\forall v\in V$ ，其中 $a_v,b_v,c_v$ 是顶点v相邻的三个着色满足如下两个条件：

① $a_v+b_v+c_v$ 是偶数。

② $a_v+b_v\ge c_v,b_v+c_v\ge a_v,c_v+a_v\ge b_v$ (三角不等式)。

纽结三价图的特点在于其上存在一些有用的变换。这里我们主要用到如下三种变换:扭转 $F{e}_{\pm }$ ，分裂 $U^e$ 和三角变换 $A^{\omega }$ ，如图1，在边e上进行扭转F和分裂U，在顶点 $\omega$ 上进行三角形变换 $A^{\omega }$ 。

引理2.1 [6] 任意一个纽结三价图都可以由 $\theta$ 图通过反复运用扭转，分裂和三角变换而得到。

由此，我们一旦定义了 $\theta$ 图的着色Jones多项式，并且能描述它如何随着以上三个变换而变换，那我们就能定义任意一个纽结三价图的着色Jones多项式。

定义2.2 [4] 一个带有允许着色 $\sigma$ 的纽结三价图 $\Gamma$ 的着色Jones多项式 $\langle \Gamma ,\sigma \rangle$ 是由如下关于 $\theta$ 图和KTG变换的公式定义的。

$\langle \theta ;a,b,c\rangle =o^{\frac{a+b+c}{2}}\left[\begin{array}{ccc}& \frac{a+b+c}{2}& \\ \frac{-a+b+c}{2}& \frac{a-b+c}{2}& \frac{a+b-c}{2}\end{array}\right]$ ，

Figure 1. Operations on KTGs

图1. 纽结三价图上的三种变换

$\langle F_{\pm }^e\left(\Gamma \right),\sigma \rangle =f{\left(\sigma \left(e\right)\right)}^{\pm 1}\langle \Gamma ,\sigma \rangle$ ，

$\langle U^e\left(\Gamma \right),\sigma \rangle ={\displaystyle \underset{\sigma \left(e\right)}{\sum }\frac{O^{\sigma \left(e\right)}}{\langle \theta ;\sigma \left(e\right),\sigma \left(b\right),\sigma \left(d\right)\rangle }\langle \Gamma ,\sigma \rangle }$ ，

$\langle A^{\omega }\left(\Gamma \right),\sigma \rangle =\langle \Gamma ,\sigma \rangle \Delta \left(a,b,c,\alpha ,\beta ,\gamma \right)$ .

其中对称多项式系数定义如下：

$\left[\begin{array}{c}{a}_1+a_2+\cdots +a_r\\ a_1,a_2,\cdots ,a_r\end{array}\right]=\frac{\left[a_1+a_2+\cdots +a_r\right]!}{\left[a_1\right]!\cdots \left[a_r\right]!}$ ，

量子整数定义为

$\left[k\right]=\frac{v^{2k}-v^{-2k}}{v^2-v^{-2}},\left[k\right]!=\left[k\right]\left[k-1\right]\cdots \left[1\right]$ .

k-着色的平凡结的Jones多项式定义如下：

$O^k={\left(-1\right)}^k\left[k+1\right]=\langle O,k\rangle$ .

扭转变换f定义如下：

$f\left(a\right)={\left(\sqrt{-1}\right)}^{-a}{v}^{-\frac{1}{2}a\left(a+2\right)}$ .

在分裂变换的公式中，求和的范围是取尽被分裂的边e的所有可能的允许着色(由 $\left(\sigma \left(e\right),\sigma \left(b\right),\sigma \left(d\right)\right)$ 之间的三角不等式推出)。

$\Delta \left(a,b,c,\alpha ,\beta ,\gamma \right)={\displaystyle \underset{z}{\sum }\frac{{\left(-1\right)}^z}{{\left(-1\right)}^{\frac{a+b+c}{2}}}}\left[\begin{array}{c}z+1\\ \frac{a+b+c}{2}+1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\frac{-a+b+c}{2}\\ z-\frac{a+\beta +\gamma }{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\frac{a-b+c}{2}\\ z-\frac{\alpha +b+\gamma }{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\frac{a+b-c}{2}\\ z-\frac{\alpha +\beta +c}{2}\end{array}\right]$ ，

其中，求和指标z的取值范围由二项式系数给出，且有

$\left[\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right]=\frac{\left[n\right]!}{\left[k\right]!\left[n-k\right]!}$ .

特别地，一个纽结是一个没有顶点的0-标架(0-framed)纽结三价图。这里我们将纽结K的着色Jones多项式重新定义为 $J_K\left(n+1\right)={\left(-1\right)}^n\langle K,n\rangle$ ，其中n是纽结K的单独边上的着色，且 ${\left(-1\right)}^n$ 是用来将平凡结的值规范成 $J_O\left(n\right)=\left[n\right]$ 。

3. Montesinos纽结的着色Jones多项式

Montesinos纽结是一类具有代表性的纽结，它由若干个有理缠结(rational tangle)排成一圈相连生成，本文我们研究n股Montesinos纽结 $K=M\left(\left[r_1^0,\cdots ,r_1^{m_1}\right],\left[r_2^0,\cdots ,r_2^{m_2}\right],\cdots ,\left[r_n^0,\cdots ,r_n^{m_n}\right]\right)$ ，如图2。

Figure 2. Montesinos knot

图2. Montesinos纽结

定理3.1 设K是Montesinos纽结 $M\left(\left[r_1^0,\cdots ,r_1^{m_1}\right],\left[r_2^0,\cdots ,r_2^{m_2}\right],\cdots ,\left[r_n^0,\cdots ,r_n^{m_n}\right]\right)$ ，其中 $n\ge 4$ ， $m_1,m_2,\cdots ,m_n\ge 1$ ，则K的着色Jones多项式为

$\begin{array}{l}{J}_K\left(n+1\right)={\left(-1\right)}^{n}f{\left(n\right)}_{}^{-2\left({\displaystyle \underset{i=0}{\overset{m_1}{\sum }}{r}_1^i}+{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{m_2}{\sum }}{r}_2^j}+\cdots +{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{m_n}{\sum }}{r}_n^k}\right)-2\left({\displaystyle \underset{i=0}{\overset{m_1}{\sum }}{\left(-1\right)}^{i+1}{r}_1^i}+{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{m_2}{\sum }}{\left(-1\right)}^{j+1}{r}_2^j}+\cdots +{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{m_n}{\sum }}{\left(-1\right)}^{k+1}{r}_n^k}\right)}\\ {\displaystyle \underset{{\alpha }_{n-1}^0}{\sum }\frac{O^{{\alpha }_{n-1}^0}}{\langle \theta ;{\alpha }_{n-1}^0,a_{n-1}^0,a_n^0\rangle }{\Delta }^2}\left({\alpha }_{n-1}^0,n,n,n,a_{n-1}^0,a_n^0\right){\displaystyle \underset{{\alpha }_{n-2}^0}{\sum }\frac{O^{{\alpha }_{n-2}^0}}{\langle \theta ;{\alpha }_{n-2}^0,a_{n-2}^0,a_{n-1}^0\rangle }{\Delta }^2\left({\alpha }_{n-2}^0,n,n,n,a_{n-2}^0,{\alpha }_{n-1}^0\right)\cdots }\\ \cdots {\displaystyle \underset{{\alpha }_3^0}{\sum }\frac{O^{{\alpha }_3^0}}{\langle \theta ;{\alpha }_3^0,a_3^0,{\alpha }_4^0\rangle }{\Delta }^2}\left({\alpha }_3^0,n,n,n,a_3^0,{\alpha }_4^0\right){\Delta }^2\left(a_1^0,a_2^0,{\alpha }_3^0,n,n,n\right)\langle \theta ;a_1^0,a_2^0,{\alpha }_3^0\rangle \\ {\displaystyle \underset{i=0}{\overset{m_1-1}{\prod }}\Delta \left(a_1^i,n,n,a_1^{i+1},n,n\right)}{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{m_2-1}{\prod }}\Delta \left(a_2^j,n,n,a_2^{j+1},n,n\right)}\cdots {\displaystyle \underset{k=0}{\overset{m_n-1}{\prod }}\Delta \left(a_n^k,n,n,a_n^{k+1},n,n\right)}\\ {\displaystyle \underset{i=0}{\overset{m_1}{\prod }}{f}^{r_1^i}\left(a_1^i\right)}{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{m_2}{\prod }}{f}^{r_2^j}\left(a_2^j\right)}\cdots {\displaystyle \underset{k=0}{\overset{m_n}{\prod }}{f}^{r_n^k}\left(a_n^k\right)}{\displaystyle \underset{i=0}{\overset{m_1}{\prod }}{\displaystyle \underset{a_1^i}{\sum }\frac{O^{a_1^i}}{\langle \theta ;a_1^i,n,n\rangle }{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{m_2}{\prod }}{\displaystyle \underset{a_2^j}{\sum }\frac{O^{a_2^j}}{\langle \theta ;a_2^j,n,n\rangle }}}}}\cdots {\displaystyle \underset{k=0}{\overset{m_n}{\prod }}{\displaystyle \underset{a_n^k}{\sum }\frac{O^{a_n^k}}{\langle \theta ;a_n^k,n,n\rangle }}}\end{array}$

其中 $a_i^j$ ， ${\alpha }_i^0$ 都是偶数且满足：

$\left|a_i^0-{\alpha }_{i+1}^0\right|<{\alpha }_i^0<a_i^0+{\alpha }_{i+1}^0\left(i=3,5,\cdots ,n-2\right)$ ，

$\left|a_{n-1}^0-a_n^0\right|<{\alpha }_{n-1}^0<a_{n-1}^0+a_n^0$ ， $0<a_i^j<2n\left(i=1,2,\cdots ,n;j=1,2,\cdots ,r^{m_i}\right)$ .

证明：如图3，注意，图中没有被标记着色的边默认用n着色。从 $\theta$ 图开始，我们先在两个顶点处各做一个三角变换得到图 ${\Gamma }_2$ ，且有

$\langle {\Gamma }_2\rangle ={\Delta }^2\left(a_1^0,a_2^0,{\alpha }_3^0,n,n,n\right)\langle \theta ;a_1^0,a_2^0,{\alpha }_3^0\rangle$ .

在 ${\Gamma }_2$ 的两个三角形的右侧顶点分别做一次三角变换得到图 ${\Gamma }_3$ ，再对 ${\alpha }_3^0$ 进行分裂得到图 ${\Gamma }_4$ ，且有 $\langle {\Gamma }_3\rangle ={\Delta }^2\left({\alpha }_3^0,n,n,n,a_3^0,{\alpha }_4^0\right)\langle {\Gamma }_2\rangle$ 。

$\langle {\Gamma }_4\rangle ={\displaystyle \underset{{\alpha }_3^0}{\sum }\frac{O^{{\alpha }_3^0}}{\langle \theta ;{\alpha }_3^0,a_3^0,{\alpha }_4^0\rangle }}\langle {\Gamma }_3\rangle$

然后对最右侧的两个顶点做三角变换，再对 ${\alpha }_4^0$ 进行分裂，依次做下去得到图 ${\Gamma }_n$ ，则有

(a) (b) (c) (d)

Figure 3. Operations from a $\theta$ graph to a Montesinos knot

图3. 从 $\theta$ 图到Montesinos纽结的变换

$\begin{array}{l}\langle {\Gamma }_n\rangle ={\displaystyle \underset{{\alpha }_{n-1}^0}{\sum }\frac{O^{{\alpha }_{n-1}^0}}{\langle \theta ;{\alpha }_{n-1}^0,a_{n-1}^0,a_n^0\rangle }{\Delta }^2\left({\alpha }_{n-1}^0,n,n,n,a_{n-1}^0,a_n^0\right){\displaystyle \underset{{\alpha }_{n-2}^0}{\sum }\frac{O^{{\alpha }_{n-2}^0}}{\langle \theta ;{\alpha }_{n-2}^0,a_{n-2}^0,{\alpha }_{n-1}^0\rangle }}}\\ {\Delta }^2\left({\alpha }_{n-2}^0,n,n,n,a_{n-2}^0,{\alpha }_{n-1}^0\right)\cdots {\displaystyle \underset{{\alpha }_3^0}{\sum }\frac{O^{{\alpha }_3^0}}{\langle \theta ;{\alpha }_3^0,a_3^0,{\alpha }_4^0\rangle }{\Delta }^2}\left({\alpha }_3^0,n,n,n,a_3^0,{\alpha }_4^0\right)\\ {\Delta }^2\left(a_1^0,a_2^0,{\alpha }_3^0,n,n,n\right)\langle \theta ;a_1^0,a_2^0,{\alpha }_3^0\rangle \end{array}$

在 ${\Gamma }_n$ 中每个 $a_i^0$ 所在边的下顶点进行 $r_{m_i}$ 次三角变换得到图 ${{\Gamma }^{\prime }}_n$ ，同时有

$\langle {{\Gamma }^{\prime }}_n\rangle ={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{m_1-1}{\prod }}\Delta \left(a_1^i,n,n,a_1^{i+1},n,n\right)}{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{m_2-1}{\prod }}\Delta \left(a_2^j,n,n,a_2^{j+1},n,n\right)}\cdots {\displaystyle \underset{k=0}{\overset{m_n-1}{\prod }}\Delta \left(a_n^k,n,n,a_n^{k+1},n,n\right)\langle {\Gamma }_n\rangle }$ .

然后在 ${{\Gamma }^{\prime }}_n$ 中对对每个被标记的边做相应的扭转，最后对这些扭转的边做分裂变换就得到了纽结K。注意对一个扭转的边做一个分裂变换会生成两个扭转的边，且两个边保持相同的扭转数。需要注意的是，为了得到Montesinos纽结的着色Jones多项式，我们需要消去由变换产生的标架 $F\left(K\right)$ 和由拧数产生的标架 $writhe\left(K\right)$ 。

$F\left(K\right)={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{m_1}{\sum }}{r}_1^i}+{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{m_2}{\sum }}{r}_2^j}+\cdots +{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{m_n}{\sum }}{r}_n^k}$ ，

$writhe\left(K\right)={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{m_1}{\sum }}{\left(-1\right)}^{i+1}{r}_1^i}+{\displaystyle \underset{j=0}{\overset{m_2}{\sum }}{\left(-1\right)}^{j+1}{r}_2^j}+\cdots +{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{m_n}{\sum }}{\left(-1\right)}^{k+1}{r}_n^k}$ .

所以最终的结果应该乘上因子 $f{\left(n\right)}^{-2F\left(K\right)-2writhe\left(K\right)}$ 。□

我们看到，在 $n\ge 4$ 的情形中，运用纽结三价图计算着色Jones多项式需要通过更多的三角和分裂变换引入一类新的指标 ${\alpha }_i^0$ ，这与 $n=3$ 的情形有着本质不同，故这一算法的计算效率有待进一步研究。此外，我们注意到S. Garoufalidis等人 [7] 为了处理此类 $n\ge 4$ 的情形采用了聚变(fusion)和拆接(skein)理论的方法。

基金项目

国家自然科学基金项目(12001255)。

NOTES

^*通讯作者。