1. 引言
在自然界中,细菌种群的运动与其生存环境密切相关。特别地,周围环境中化学物质的代谢、液体的流动以及空气–液体接触面的物质交换等对细菌种群运动的方向、速率和稳态行为有相当复杂的影响。通过细致观察和分析悬浮液中好氧细菌的趋化运动现象,Tuval等 [1] 2005年报告了一种有趣的“趋化抵制效应”(chemotactic Boycott effect)机制,该机制说明悬浮液中细菌的集体运动可以提高种群的生存能力,并得到如下趋化–流体耦合方程组
(1)
其中
,未知函数n表示细菌种群密度,c表示化学信号浓度,
和P分别表示流体速度场和相应的标量压力,参数
刻画了非线性对流项的强度,S表示趋化灵敏度函数并且可能依赖于变量n,c和x的取值。
和
分别表示给定的重力势函数和氧气消耗率。
由于生物背景的多样性和重要性,许多学者致力于结合不同的生物背景研究方程组(1)在不同的初边值条件下解的性质,并且已经取得了重大的进展。当
是一个边界光滑的有界区域,考虑方程组(1)在Neumann-Neumann-Dirichlet边界条件下的初边值问题,即未知函数满足(
为边界
上的单位外法向量)
. (2)
当
时,Winkler [2] 已经证明
时方程组(1)经典解整体存在且唯一;
且
时,方程组(1)弱解整体存在。之后,模型(1)~(2)及其变体解的整体有界性、最终光滑性和大时间渐近行为等被广泛研究 [3] [4] [5] [6] 。特别地,Painter和Hillen [7] 发现细菌的趋化运动存在“体积填充”效应(volume-filling effect),此时趋化灵敏度函数
满足代数衰减条件
。文献 [8] 基于该衰减条件证明得到
时,对任意的
,模型(1)~(2)存在整体经典解。进一步地,文献 [9] 将文献 [8] 的指标范围提升到
。另外,当
,灵敏度函数S为矩阵值函数时,Cao [10] 证得小初值条件下,模型(1)~(2)有整体经典解。
上述研究均是在Neumann信号边界条件下进行。然而,某些情况下,Dirichlet信号边界条件更能反映客观实际。由于氧气在空气中的扩散速率比在水中强,所以文献 [1] 的理论和数值分析都假定在空气–液体接触面(区域边界部分)有一个固定的氧气浓度。因此,学者们开始考虑方程组(1)在Neumann-Dirichlet-Dirichlet型边界条件
(3)
下解的性质。Wang等 [11] 2021年证明
且
时,方程组(1)在条件(3)下存在整体广义解。之后,Tian和Xiang [12] 在2023年讨论方程组(1)中
被
替换时,弱解的整体存在性。此外,文献 [13] 中证明
时,若
足够小,则方程组(1)存在整体经典解。受上述工作的启发,本文考虑如下一类边界上具有规定化学信号浓度的趋化–流体耦合模型
(4)
解的整体存在性和有界性,其中
是一个具有光滑边界的有界区域,
是固定的非负常数,
为大于零的数,重力势函数
满足
。另外,假定初始函数
满足
(5)
2. 局部存在性和预备引理
为了处理模型(4)的非线性边界条件
,根据文献 [14] 中正则化处理方式14],我们定义截断函数族
和函数
分别满足
,
,
(
)和
,
,
(
)。令
,
那么对任意的
,模型(4)相应的正则化模型为
(6)
引理1 [13] 假设(5)式成立,
,那么对任意的
,模型(6)存在经典解
使得
成立,其中
和
在
上均是非负的,
的定义参见文献 [15] 。此外,如果
,那么当
时,有
成立。并且对任意的
和
有
,
成立。
引理2 [16] 设
是正则化模型(6)的经典解。对任意的
和
,存在常数
,有
成立。
引理3 假设
是一个具有光滑边界的有界区域,
,
,
。则存在正常数C和M,只要
且满足
和
,那么不等式
成立,其中
表示
的Hessian矩阵。
证明 根据文献 [16] 中的引理2.7和条件
可得结论成立。
3. 经典解的整体存在性和有界性
为证得模型(6)存在整体有界的经典解,还需要建立
和
更高的正则性估计。
引理4 设
是正则化模型(6)的经典解。对任意的
,
,
,
和
,存在常数
,有
成立。
证明 在模型(6)第一个方程两端同乘
并在
上积分,利用分部积分公式和条件
有等式
成立,再由截断函数的性质和Young不等式可得
. (7)
根据Hölder不等式,存在
和
使得当
(8)
时,有
(9)
成立。应用Gagliardo-Nirenberg不等式和引理1的质量守恒式
,存在常数
使得
(10)
成立。接下来处理(9)式中
项,做变换
,则
且满足
,
,根据引理1和引理3可得当
(11)
时,有
, (12)
其中
,
和
。结合(9),(10)和(12)式以及Young不等式可得当
(13)
时,对任意的
有
(14)
成立,其中常数
。由文献 [17] 中引理5.7可得对任意的
有
(15)
利用引理2和Hölder不等式,Gagliardo-Nirenberg不等式,Young不等式可得当
时,对任意的
有
(16)
成立,其中常数
,
和
。再结合文献 [17] 中引理5.9,做变换
可得对任意的
有
(17)
成立,其中常数
。将(17)式代入(16)式并结合引理2.1,存在常数
使得
(18)
成立。之后,类似(14)式的构造,由Hölder不等式,Gagliardo-Nirenberg不等式,引理1,引理3和Young不等式可得当
和
(19)
时,存在常数
,
,
和
使得对任意的
有
(20)
其中
,
,
,
,
。
由文献 [17] 中边界上的逐点不等式(引理5.8)和引理5.10,结合引理1可得对任意的
有
, (21)
其中常数
。利用文献 [16] 中的引理2.8可知存在满足(8),(11),(13)和(19)式的参数,因此联立(7),(14),(15),(18),(20)和(21)式,存在常数
使得
(22)
成立。由
的任意性,可取
,故整理(22)式可得
. (23)
由Gagliardo-Nirenberg不等式和引理1,存在常数
,
。再由文献 [17] 中引理5.9和本文引理1,存在常数
,
。因此整理(23)式可得
,
令
,则有
,故
.
引理5 设
是正则化模型(6)的经典解。对任意的
,
和
,存在常数
,有不等式
成立。
证明 结合引理1和引理4,存在常数
,对任意的
,
和
有
。若引理4中选取
,根据文献 [14] 的推论3.4,存在常数
,使得
。再由文献 [18] 引理A.1中Moser迭代方法,可得
有界。最后,根据文献 [19] 中引理3.7,可得
有界。
定理1 假设
是具有光滑边界的有界区域,
,重力势函数
和初值函数
满足(5)式。则对任意的
,模型(4)存在整体经典解
,并且存在常数
,使得对任意的
,有
.
证明 由引理1和引理5,正则化模型(6)的经典解整体有界。根据文献 [9] 的引理6.3,该经典解收敛到原模型(4)的弱解,再由抛物型方程的Schauder理论,存在
,使得
,
,
成立。上述n,c和
是模型(4)的整体有界的经典解。详细的证明过程请参见文献 [19] 中引理4.2和文献 [20] 中引理10.1。
4. 结论
本文讨论一类边界上具有规定信号浓度的趋化–流体耦合方程组解的性质。此前,当方程组中信号浓度满足齐次Neumann边界条件时,通常采用构造能量泛函的方法进行一系列的先验估计。但由于本文中信号浓度满足非齐次Dirichlet边界条件,处理边界项时会产生困难。因此,需要引入边界上的逐点不等式,即文献 [17] 引理5.8,获得所需的先验估计。进一步,借助Moser迭代方法、逼近理论和抛物型方程的Schauder理论,证得二维情形下,边界上具有规定信号浓度的趋化–流体耦合方程组存在整体有界的经典解。
NOTES
*通讯作者。