量子磁流体方程弱解的全局存在性

Global Existence of Weak Solutions for Quantum Magnetohydrodynamic Equations

摘要: 本文研究了三维环面上粘性依赖密度的量子磁流体系统，通过引入冷压处理对流项，运用Fadeo-Galerkin方法和紧性定理等证明了该系统弱解的全局存在性。

Abstract: This paper investigates a density dependent quantum magneto fluid system on a three-dimensional torus, and proves the global existence of weak solutions of the system by introducing cold pressure convection terms and using Fadeo-Galerkin method and compactness theorem.

1. 引言

本文主要研究如下的三维粘性量子磁流体系统：

${\rho }_t+div\left(\rho u\right)=\mu \Delta \rho$ $x\in {\mathbb{T}}^3$ (1)

${\left(\rho u\right)}_t+div\left(\rho u\otimes u\right)+\nabla P\left(\rho \right)-\frac{{\hslash }^2}{2}\rho \nabla \left(\frac{\Delta \sqrt{\rho }}{\sqrt{\rho }}\right)=\left(\nabla \times B\right)\times B+\mu \Delta \left(\rho u\right)$ (2)

$B_t-\nabla \times \left(u\times B\right)=-\nabla \times \left(\nu \nabla \times B\right)$ (3)

$divB=0$ (4)

初始条件：

$\rho \left(x,0\right)={\rho }_0,\left(\rho u\right)\left(x,0\right)=m_0,B\left(x,0\right)=B_0$ (5)

相容性条件：

${\rho }_0\in L^{\gamma }\left({\mathbb{T}}^3\right),\frac{1}{{\rho }_0}\in L^2\left({\mathbb{T}}^3\right),\frac{{\left|m_0\right|}^2}{{\rho }_0}\in L^1\left({\mathbb{T}}^3\right),\nabla \sqrt{{\rho }_0}\in L^2\left({\mathbb{T}}^3\right),B_0\in L^2\left({\mathbb{T}}^3\right)$ (6)

其中， ${\mathbb{T}}^3$ 是一个三维环面，未知函数 $\rho =\rho \left(x,t\right),u=\left(u_1,u_2,u_3\right)$ 和 $B=\left(B_1,B_2,B_3\right)$ 分别表示流体粒子的质量密度，速度和磁场； $\hslash$ 是普朗克常数； $\frac{\Delta \sqrt{\rho }}{\sqrt{\rho }}$ 称为量子玻姆势；且物理参量 $\mu ,\nu >0$ ，压力 $P\left(\rho \right)$ 是两个分量组成的密度函数，假设 $P\left(\rho \right)=P_1\left(\rho \right)+P_2\left(\rho \right)$ ，其中等熵流

$P_1\left(\rho \right)=a^2{\rho }^{\gamma }\left(a\ne 0,\gamma >1\right)$ (7)

是由玻义耳定律给出的经典压力分量：

$P_2\left(\rho \right)=\frac{-3a^2ϵ}{2\left(\gamma -1\right){\rho }^2}\left(ϵ>0\right)$ (8)

是冷压分量且是一连续的奇异函数，其中冷压的负性可以看作数学假设也可以看做为了保持稳定性而人为假设的。该类模型可以用于描述超流体 [1] ，量子半导体 [2] ，弱相互作用的玻色气体 [3] 和Bohmian力学的量子轨迹 [4] 等。

若 $B=\mu =0$ 且动量方程(2)不含冷压项，方程组(1)~(4)称为量子流体力学(简称QHD)模型。现在关于QHD模型的研究相对成熟。Antonelli Paolo [5] 研究了QHD模型有限能量弱解的存在性，王光武和郭柏灵 [6] [7] 建立了该模型强解的全局存在性和爆破，Zhang [8] 等研究了在任意维空间中等熵可压缩QHD模型局部光滑解的初始密度具有紧支集时，其局部光滑解将在有限时间内爆破。

若 $B=\mu =0$ 且动量方程(2)不含冷压项，考虑动量方程(2)添加 $\mu div\left(\rho \frac{\nabla u+{\nabla }^{\top }u}{2}\right)$ 或 $\mu div\left(h\left(\rho \right)\frac{\nabla u+{\nabla }^{\top }u}{2}\right)+\lambda \nabla \left(g\left(\rho \right)divu\right)$ ，方程组(1)~(4)称为量子Navier-Stokes方程(简称量子NS方程)。Jüngel [9] 首先证明了当普朗克常数( $\hslash$ )大于粘性常数( $\mu$ )时，可压缩量子NS方程弱解的全局存在性。之后，Dong [10] 和Jiang [11] 分别证明了 $\hslash =\mu$ , $\hslash <\mu$ 时，可压缩量子NS方程弱解的全局存在性。上述弱解的存在性在 $n=3$ 时，需要绝热指数 $\gamma >3$ 。进一步，文献 [12] [13] [14] 通过添加额外的冷压力或阻尼项证明了量子NS方程弱解的全局存在性。董建伟和琚强昌 [15] 证明了当 $\hslash >\mu ,\gamma >1$ 时，可压缩量子NS方程光滑解在有限时刻爆破。Yang [16] 等通过引入不同的冷压 $P_2\left(\rho \right)=\frac{-3a^2ϵ}{2\left(\gamma -1\right){\rho }^2}$ ，证明了在标准定义的意义下三维正压可压缩量子NS方程弱解的全局存在性。

Antonelli Paolo [17] 等证明了具有非平凡远场行为的量子NS方程有限能量弱解的全局存在性。唐童和牛聪 [18] 通过构造含有冷压力与阻尼项的逼近系统证明了非单调压力情形下量子NS方程弱解的全局存在性。

关于量子磁流体方程的研究近几年有显著进展。2014年，Yang [19] 等利用Fadeo-Galerkin方法和紧性定理证明了三维粘性量子磁流体方程弱解的全局存在性。2017年，Li [20] 等证明了三维环面量子磁流体方程弱解的全局存在性及大时间行为。2019年，王光武和郭柏灵 [21] 将量子磁流体模型与Eicksen-Leslie模型耦合，证明了二维粘性量子磁流体–液晶方程有限能量弱解的全局存在性和光滑解的爆破。同时，王朋杰 [22] 研究了此模型经典解及其衰减。2020年，杨莹和周妤 [23] 等利用拓扑度理论和抛物正则化方法证明了量子磁流体方程周期解的存在性。

本文受文献 [16] 的启发，利用 Fadeo-Galerkin方法和消失粘性的方法证明了粘性量子磁流体方程组(1)~(4)弱解的全局存在性。值得指出的是，本文中我们将文献 [19] 定理1.1中的绝热指数 $\gamma >3$ 扩大到 $\gamma >1$ 。

2. 预备知识及主要定理

本节先给出一些符号说明。 $W^{m,p}\left({\mathbb{T}}^3\right)$ 和 $H^s\left({\mathbb{T}}^3\right)$ 是 Sobolev空间， $L^p\left(\left[0,T\right];L^q\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)$ 是带有时间的Sobolev空间，其中的元素关于时间变量p次可积，关于空间变量q次可积。然后给出了粘性量子磁流体模型弱解的定义及其主要定理。

引理1 (Aubin-Lions引理) [24] 假设Banach空间 $X,Y,Z$ 满足 $X\subset Y\subset Z$ 并且 $X\subset \subset Y$ ，则有

$\begin{array}{l}{L}^q\left(\left[0,T\right];X\right)\cap \left\{\phi :{\partial }_t\phi \in L^1\left(\left[0,T\right];Z\right)\right\}\subset \subset L^q\left(\left[0,T\right];Y\right),\forall 1\le q\le \infty \\ L^{\infty }\left(\left[0,T\right];X\right)\cap \left\{\phi :{\partial }_t\phi \in L^r\left(\left[0,T\right];Z\right)\right\}\subset \subset C\left(\left[0,T\right];Y\right),\forall 1\le r\le \infty \end{array}$

引理2 (Gagliardo-Nirenberg不等式) [25] 假设 $m\in \mathbb{N}$ 和 $1\le p,q,r\le +\infty$ ，那么存在常数 $C>0$ ，使得对 $\forall u\in W^{m,p}\left(\Omega \right)\cap L^q\left(\Omega \right)$ 有

${\Vert D^{\beta }u\Vert }_{L^r\left(\Omega \right)}\le C{\Vert u\Vert }_{W^{m,p}\left(\Omega \right)}^{\theta }{\Vert u\Vert }_{L^q\left(\Omega \right)}^{1-\theta }$

其中， $0\le \left|\beta \right|\le m-1,\theta =\frac{\left|\beta \right|}{m}$ 满足

$\frac{1}{r}=\frac{\left|\beta \right|}{3}+\theta \left(\frac{1}{p}-\frac{m}{3}\right)-\frac{1-\theta }{q}$

特别地， $m-\left|\beta \right|-\frac{3}{p}\cancel{\in }{\mathbb{N}}_0,\theta \in \left[\frac{\left|\beta \right|}{m},1\right]$ 上述不等式也成立。

定义1设 $\rho \ge 0$ ，称 $\left(\rho ,u,B\right)$ 是方程组(1)~(4)的弱解，如果满足下列条件

· $\begin{array}{l}\rho \in L^{\infty }\left(\left[0,T\right];L^{\gamma }\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)\\ \sqrt{\rho }u\in L^{\infty }\left(\left[0,T\right];L^2\left({\mathbb{T}}^3\right)\right),\sqrt{\rho }\nabla u\in L^2\left(\left[0,T\right];L^2\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)\\ \sqrt{\rho }\in L^{\infty }\left(\left[0,T\right];H^1\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)\cap L^2\left(\left[0,T\right];H^2\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)\\ \frac{1}{\rho }\in L^{\infty }\left(\left[0,T\right];L^2\left({\mathbb{T}}^3\right)\right),\nabla \left(\frac{1}{\rho }\right)\in L^2\left(\left[0,T\right];L^2\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)\\ B\in L^{\infty }\left(\left[0,T\right];L^2\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)\cap L^2\left(\left[0,T\right];H^1\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)\end{array}$

· $\left(\rho ,u,B\right)$ 在分布意义 ${\mathcal{D}}^{\prime }\left(\left(0,T\right)\times {\mathbb{T}}^3\right)$ 下满足连续方程

$\{\begin{array}{l}{\rho }_t+div\left(\sqrt{\rho }\sqrt{\rho }u\right)=\mu \Delta \rho \hfill \\ \rho \left(x,0\right)={\rho }_0\left(x\right)\hfill \end{array}$ (9)

对任意试验函数 $\varphi \in C_0^{\infty }\left({\mathbb{T}}^3\times \left[0,T\right]\right)$ 且 $\varphi \left(T,\cdot \right)=0$ 有

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}{\rho }_0}{u}_0\varphi \left(\cdot ,0\right)\text{d}x+{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}\rho }}u{\varphi }_t\text{d}x\text{d}t+{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}\rho }}u\otimes u:\nabla \varphi \text{d}x\text{d}t-{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}\mu }}\nabla \left(\rho u\right):\nabla \varphi \text{d}x\text{d}t\\ +{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}\left(P_1\left(\rho \right)+P_2\left(\rho \right)\right)div\varphi \text{d}x\text{d}t}}+{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}\left(\nabla \times B\right)}}\times B\cdot \varphi \text{d}x\text{d}t\\ +{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}\frac{{\hslash }^2}{2}}}\left(\sqrt{\rho }\nabla \sqrt{\rho }\cdot \nabla div\varphi +2\nabla \sqrt{\rho }\otimes \nabla \sqrt{\rho }:\nabla \varphi \right)\text{d}x\text{d}t=0\end{array}$

${\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}{B}_0}\varphi \left(\cdot ,0\right)\text{d}x+{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}B}}\cdot {\varphi }_t+\nabla \times \left(u\times B\right)\cdot \varphi \text{d}x\text{d}t-{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}\nu }}\nabla B:\nabla \varphi \text{d}x\text{d}t=0$

注1：为便于定义1的计算，量子项可以写成

$\begin{array}{c}\langle \rho \nabla \left(\frac{\Delta \sqrt{\rho }}{\sqrt{\rho }}\right),\varphi \rangle =\langle \nabla \left(\sqrt{\rho }\Delta \sqrt{\rho }\right),\varphi \rangle -\langle \frac{1}{\sqrt{\rho }}\nabla \rho \Delta \sqrt{\rho },\varphi \rangle \\ =\langle \nabla \left(\sqrt{\rho }\Delta \sqrt{\rho }\right),\varphi \rangle -\langle \frac{1}{\sqrt{\rho }}\nabla \rho \Delta \sqrt{\rho },\varphi \rangle \\ =-\langle \sqrt{\rho }\Delta \sqrt{\rho },div\varphi \rangle -2\langle \nabla \sqrt{\rho }\Delta \sqrt{\rho },\varphi \rangle \end{array}$

$\begin{array}{c}=-\langle \nabla \left(\sqrt{\rho }\nabla \sqrt{\rho }\right),div\varphi \rangle +\langle {\left|\nabla \sqrt{\rho }\right|}^2,div\varphi \rangle \\ -2\langle div\left(\nabla \sqrt{\rho }\otimes \nabla \sqrt{\rho }\right),\varphi \rangle +2\langle \left(\nabla \sqrt{\rho }\cdot \nabla \right)\nabla \sqrt{\rho },\varphi \rangle \\ =\langle \sqrt{\rho }\nabla \sqrt{\rho },\nabla div\varphi \rangle +\langle {\left|\nabla \sqrt{\rho }\right|}^2,div\varphi \rangle \\ +2\langle \nabla \sqrt{\rho }\otimes \nabla \sqrt{\rho },\nabla \varphi \rangle +\langle \nabla {\left|\nabla \sqrt{\rho }\right|}^2,\varphi \rangle \\ =\langle \sqrt{\rho }\nabla \sqrt{\rho },\nabla div\varphi \rangle +2\langle \nabla \sqrt{\rho }\otimes \nabla \sqrt{\rho },\nabla \varphi \rangle \end{array}$

定理1对任意 $T>0,\gamma >1$ 。假设初始值 $\left({\rho }_0,u_0,B_0\right)$ 满足条件(6)，则方程组(1)~(4)在区域 $\left[0,T\right]\times {\mathbb{T}}^3$ 上存在全局弱解 $\left(\rho ,u,B\right)$ 。

接下来，我们构造逼近系统。受到文献 [21] 的启发，运用Banach不动点定理得到方程组(10)~(13)近似解的存在性，在近似解一致先验估计的基础上，证明了近似解的极限就是方程组(1)~(4)的弱解，进而证明了定理1。

3. Fadeo-Galerkin近似

首先，由于方程组(1)~(4)缺乏紧性，所以我们在动量方程(2)的右边添加正则性项 $\delta \Delta u-\delta u$ 。即

${\rho }_t+div\left(\rho u\right)=\mu \Delta \rho$ (10)

${\left(\rho u\right)}_t+div\left(\rho u\otimes u\right)+\nabla \left(P_1\left(\rho \right)+P_2\left(\rho \right)\right)-\frac{{\hslash }^2}{2}\rho \nabla \left(\frac{\Delta \sqrt{\rho }}{\sqrt{\rho }}\right)=\left(\nabla \times B\right)\times B+\mu \Delta \left(\rho u\right)+\delta \Delta u-\delta u$ (11)

$B_t-\nabla \times \left(u\times B\right)=-\nabla \times \left(\nu \nabla \times B\right)$ (12)

$divB=0$ (13)

其中， $\delta$ 是一个很小的参数，初值 ${\rho }_0,m_0$ 按照文献 [26] 方法正则化

${\rho |}_{t=0}={\rho }_{0,\delta }\in C^3\left({\mathbb{T}}^3\right),{\left(\rho u\right)|}_{t=0}=m_{0,\delta }\in C^2\left({\mathbb{T}}^3\right),{B|}_{t=0}=B_0\in L^2\left({\mathbb{T}}^3\right)$ (14)

初值 ${\rho }_{0,\delta }$ 是 $C^3\left({\mathbb{T}}^3\right)$ 的光滑函数，且满足 ${\delta }^{-1}\ge {\rho }_{0,\delta }\ge \delta >0$ ， ${\rho }_{0,\delta }$ 在 $L^{\gamma }\left({\mathbb{T}}^3\right)$ 中强收敛于 ${\rho }_0$ ， $m_{0,\delta }$ 在 $L^1\left({\mathbb{T}}^3\right)$ 中收敛于 $m_0$ 。

接下来，我们利用 Fadeo-Galerkin方法构造方程组(10)~(13)的近似解。

设 $T>0$ ，定义有限维空间 $X_n\triangleq span{\left\{{\omega }_j\right\}}_{j=1}^n$ ， ${\omega }_j$ 是 ${ℍ}^1\left({\mathbb{T}}^3\right)$ 的标准正交基，方程组(10)~(13)的近似解定义为

$u_n\left(x,t\right)={\displaystyle \underset{s=1}{\overset{n}{\sum }}{\alpha }_{sn}}\left(t\right){\omega }_s\left(x\right),B_n\left(x,t\right)={\displaystyle \underset{s=1}{\overset{n}{\sum }}{\beta }_{sn}}\left(t\right){\omega }_s(\; x\; )$

未知函数 ${\alpha }_{sn}\left(t\right),{\beta }_{sn}\left(t\right),t\in {ℝ}^{+}\left(s=1,2,\cdots ,n;n=1,2,\cdots \right)$ 是连续函数，且 $u_n\left(x,t\right)$ 在 $C^0\left(\left[0,T\right];X_n\right)$ 中的范数可以表示为

${\Vert u_n\Vert }_{C^0\left(\left[0,T\right];X_n\right)}=\underset{t\in \left[0,T\right]}{\max }{\displaystyle \underset{s=1}{\overset{n}{\sum }}\left|{\alpha }_{sn}\left(t\right)\right|}$

因此，对任意 $k\in N$ ， $u_n$ 在 $C^0\left(\left[0,T\right];C^k\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)$ 中有界，并且存在常数 $C\left(k\right)>0$ ，有

${\Vert u_n\Vert }_{C^0\left(\left[0,T\right];C^k\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}\le C{\Vert u_n\Vert }_{C^0\left(\left[0,T\right];L^2\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}$ (15)

近似系统定义如下：设 $\rho \in C^1\left(\left[0,T\right];C^3\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)$ 是

$\{\begin{array}{l}{\rho }_t+div\left(\sqrt{\rho }\sqrt{\rho }u\right)=\mu \Delta \rho \hfill \\ \rho \left(x,0\right)={\rho }_{0,\delta }\left(x\right)\hfill \end{array}$ (16)

的经典解。由 ${\delta }^{-1}\ge {\rho }_{0,\delta }\left(x\right)\ge \delta >0$ 和不等式(15)以及 $\rho \left(x,t\right)>0$ ，根据最大值原理 [26] 可知，对任意 $\left(x,t\right)\in \left[0,T\right]\times {\mathbb{T}}^3$

$0<\delta \exp \left(-{{\displaystyle \int }}_0^t{\Vert divu\Vert }_{L^{\infty }\left({\mathbb{T}}^3\right)}\text{d}x\text{d}s\right)\le \rho \left(x,t\right)\le {\delta }^{-1}\exp \left(-{{\displaystyle \int }}_0^t{\Vert divu\Vert }_{L^{\infty }\left({\mathbb{T}}^3\right)}\text{d}x\text{d}s\right)$

设 $S_1\left(u\right)=\rho$ ，算子 $S_1:C^0\left(\left[0,T\right];X_n\right)\to C^0\left(\left[0,T\right];C^3\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)$ 且 $S_1\left(u\right)$ 满足Lipshitz连续条件：

${\Vert S_1\left(u_1\right)-S_1\left(u_2\right)\Vert }_{C^0\left(\left[0,T\right];C^k\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}\le C\left(n,k\right){\Vert u_1-u_2\Vert }_{C^0\left(\left[0,T\right];L^2\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}$ (17)

接下来我们在 $X_n$ 中求解方程组(11)~(13)。对于任意给定的 ${\bar{u}}_n\in C\left(\left[0,T\right];X_n\right)$ ，试验函数 $\varphi \in X_n$ 有 $S\left({\bar{u}}_n\right)={\rho }_n$ ，存在近似解 $\left(u_n,B_n\right)\in C\left(\left[0,T\right];X_n\right)$ 满足积分方程组

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}{\rho }_n}{\left(u_n\right)}_t\cdot \varphi +{\rho }_n{\bar{u}}_n\cdot \nabla u_n\varphi +\mu \Delta {\rho }_n{u}_n\varphi -\left(P_1\left({\rho }_n\right)+P_2\left({\rho }_n\right)\right)div\varphi \text{d}x\\ ={\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}\frac{{\hslash }^2}{2}\left(\sqrt{{\rho }_n}\nabla \sqrt{{\rho }_n}\cdot \nabla div\varphi +2\nabla \sqrt{{\rho }_n}\otimes \nabla \sqrt{{\rho }_n}:\nabla \varphi \right)}+\left(\nabla \times B_n\right)\times B_n\cdot \varphi \\ -\mu \nabla \left({\rho }_n{u}_n\right):\nabla \varphi -\delta \left(\nabla u_n:\nabla \varphi +u_n\cdot \varphi \right)\text{d}x\end{array}$ (18)

${\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}{\left(B_n\right)}_t}\cdot \varphi -\nabla \times \left({\bar{u}}_n\times B_n\right)\cdot \varphi \text{d}x={\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}-}\nabla \times \left(\nu \nabla \times B_n\right)\cdot \varphi \text{d}x$ (19)

初始条件：

${\beta }_{sn}\left(0\right)=\left(B_0,{\omega }_s\right)$ (20)

首先，令试验函数 $\varphi ={\omega }_j\left(j=1,2,\cdots ,n\right)$ 我们将磁方程(19)改写成初始条件为(20)的非线性常微分方程，根据常微分方程解的存在性定理可知，对任意给定的 ${\bar{u}}_n\in C\left(\left[0,T\right];X_n\right)$ ，磁方程(19)存在由 ${\bar{u}}_n$ 决定的唯一解 $B_n\in L^{\infty }\left(\left[0,T\right];L^2\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)\cap L^2\left(\left[0,T\right];H^1\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)$ ，其中 $T^{\prime }\le T$ 。

其次，动量方程(18)等价于

${\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}{\rho }_n}{\left(u_n\right)}_t\cdot \varphi +{\rho }_n{\bar{u}}_n\cdot \nabla u_n\varphi +\mu \Delta {\rho }_n{u}_n\varphi +\mu \nabla \left({\rho }_n{u}_n\right):\nabla \varphi +\delta \left(\nabla u_n:\nabla \varphi +u_n\cdot \varphi \right)\text{d}x={\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}G}\varphi \text{d}x$ (21)

其中

$G=\frac{{\hslash }^2}{2}{\rho }_n\nabla \left(\frac{\Delta \sqrt{{\rho }_n}}{\sqrt{{\rho }_n}}\right)+\nabla \left(P_1\left({\rho }_n\right)+P_2\left({\rho }_n\right)\right)+\left(\nabla \times B_n\right)\times B_n$ (22)

由 ${\rho }_n,B_n$ 有界，得 ${\Vert G\Vert }_{L^{\infty }\left(\left[0,T^{\prime }\right];L^1\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}\le C$ 。

设 $u_n\left(x,t\right)={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{\alpha }_j}\left(t\right){\omega }_j\left(x\right)$ ，其中 ${\alpha }_j\left(t\right)$ 为未知函数， ${\omega }_j\left(x\right)$ 为试验函数，利用Galerkin方法，方程(21)写成

$M\left(t\right){\alpha }^{\prime }\left(t\right)=A\left(t\right)\alpha \left(t\right)+B(\; t\; )$

其中，未知函数 $\alpha \left(t\right)={\left({\alpha }_1\left(t\right),{\alpha }_2\left(t\right),\cdots ,{\alpha }_n\left(t\right)\right)}^{\top }\in {ℝ}^n$ ， $M={\left(M_{i,j}\right)}_{n\times n}$ 和 $A={\left(A_{i,j}\right)}_{n\times n}$ 是 $n\times n$ 矩阵；向量 $B={\left(B_1,B_2,\cdots ,B_n\right)}^{\top }\in {ℝ}^n$ 且

$\begin{array}{l}{M}_{i,j}={\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}{\rho }_n}{\omega }_i\cdot {\omega }_j\text{d}x\\ A_{i,j}=-{\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}\left({\rho }_n{\bar{u}}_n\nabla {\omega }_i\right){\omega }_j}+\mu \Delta {\rho }_n{\omega }_i{\omega }_j+\mu \nabla \left({\rho }_n{\omega }_i\right):\nabla {\omega }_j+\delta \left(\nabla {\omega }_i:\nabla {\omega }_j+{\omega }_i{\omega }_j\right)\text{d}x\\ B_i={\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}G}\cdot {\omega }_i\text{d}x\end{array}$ (23)

因为 ${\rho }_n>\delta$ ， $\left\{{\omega }_j\right\}$ 线性无关，故对任意 $t\in \left[0,T^{\prime }\right]$ ， $M_{i,j}$ 可逆，由Peano存在定理得在 $\left[0,T^{\prime }\right]$ 存在唯一的 $\alpha \left(t\right)$ 连续。

设映射 ${\Theta }_n:C\left(\left[0,T^{\prime }\right];X_n\right)\to C\left(\left[0,T^{\prime }\right];X_n\right)$ 。下面我们证明映射 ${\Theta }_n$ 有且仅有一个点使得 ${\Theta }_n\left({\bar{u}}_n\right)=u_n$ 。

首先，设I为凸集，证明映射 ${\Theta }_n:I\to I$ 。令方程(18)的试验函数 $\varphi ={\omega }_i$ 同时乘 ${\alpha }_i$ ，且对 $i=1,2,\cdots ,n$ 时相加。

$\begin{array}{c}\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}{\rho }_n}\left(t\right){\left|u_n\right|}^2\text{d}x={\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}G}u\text{d}x-{\rho }_n{\bar{u}}_n\cdot \nabla u_n{u}_n-\mu \Delta {\rho }_n{u}_n{u}_n-\mu \nabla \left({\rho }_n{u}_n\right):\nabla u_n\\ -\delta \left(\nabla u_n:\nabla u_n+u_n\cdot u_n\right)\text{d}x\end{array}$

对 $\left[0,T\right]$ 积分，由有限维赋范线性空间中范数是等价的，我们可以得到

${\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}{\rho }_n}\left(t\right){\left|u_n\left(t\right)\right|}^2\text{d}x\le C\left(n\right){\displaystyle {\int }_0^t{\Vert G\Vert }_{L^1\left({\mathbb{T}}^3\right)}^2\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}{\rho }_{0,\delta }}{\left|u_{0,\delta }\right|}^2\text{d}x$

根据 ${\Vert G\Vert }_{L^{\infty }\left(\left[0,T^{\prime }\right];L^1\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}\le C$ 有界，在常数 $M_0$ 使得

$\frac{1}{\delta }\left({\Vert \sqrt{{\rho }_0}{u}_0\Vert }_{L^2\left({\mathbb{T}}^3\right)}+{\Vert B_0\Vert }_{L^2\left({\mathbb{T}}^3\right)}\right)<M_0$

当 $T\left(n\right)\le T^{\prime }$ 足够小时，对于任意 $t\in \left[0,T\left(n\right)\right]$ ，我们有 ${\Vert u_n\left(t\right)\Vert }_{L^2\left({\mathbb{T}}^3\right)}\le M_0$ 。定义

$I:=\left\{u_n\in C\left(\left[0,T\right];X_n\right);\underset{0\le t\le T\left(n\right)}{\sup }{\Vert u_n\Vert }_{L^2\left({\mathbb{T}}^3\right)}\le M_0\right\}$ 。易得到映射 ${\Theta }_n:I\to I$ ，得证。

然后，令 $\varphi ={\omega }_i$ 为试验函数，用 ${{\alpha }^{\prime }}_i$ 乘(18)式并对 $i=1,2,3,\cdots ,n$ 相加，由有限维赋范线性空间范数是等价性得

$\begin{array}{c}\delta {\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}{\left|{\left(u_n\right)}_t\right|}^2\text{d}x}\le {\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}G}\cdot {\left(u_n\right)}_t\text{d}x-{\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}{\rho }_n}{\bar{u}}_n\nabla u_n{\left(u_n\right)}_t+\mu \Delta {\rho }_n{u}_n{\left(u_n\right)}_t+\mu \nabla \left({\rho }_n{u}_n\right):\nabla {\left(u_n\right)}_t\\ +\delta \left(\nabla u_n:\nabla {\left(u_n\right)}_t+u_n{\left(u_n\right)}_t\right)\text{d}x\\ \le \frac{\delta }{2}{\Vert {\left(u_n\right)}_t\Vert }_{L^2\left({\mathbb{T}}^3\right)}^2+C\left(n,\delta ,\mu \right)\left({\Vert G\Vert }_{L^1\left({\mathbb{T}}^3\right)}^2+{\Vert {\bar{u}}_n\Vert }_{L^2\left({\mathbb{T}}^3\right)}^2{\Vert \nabla u_n\Vert }_{L^2\left({\mathbb{T}}^3\right)}^2+{\Vert u_n\Vert }_{L^2\left({\mathbb{T}}^3\right)}^2\right)\end{array}$

因此， ${\Vert \frac{\text{d}{u}_n}{\text{d}t}\Vert }_{L^{\infty }\left(\left[0,T\right];L^2\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}\le C$ 。根据Aubin-Lions引理知 ${\Theta }_n$ 将I映射到 $C\left(\left[0,T\left(n\right)\right];X_n\right)$ 的紧子集。

最后，我们证明 ${\Theta }_n$ 的连续性。假设当 $k\to \infty$ 时，在 $C\left(\left[0,T\left(n\right)\right];X_n\right)$ 中有 ${\left\{{\bar{u}}_n^k\right\}}_{k=1}^n\to {\bar{u}}_n$ 成立。

设 ${\rho }_n^k,u_n^k,B_n^k$ 为方程组(18)~(19)的解，且 ${\Theta }_n\left({\bar{u}}_n^k\right)=u_n^k$ 。借助Aubin-Lions引理知 ${\rho }_n^k$ 在 $C\left(\left[0,T\left(n\right)\right]\times {\mathbb{T}}^3\right)$ 中强收敛于 ${\rho }_n$ ， $u_n^k,B_n^k$ 在 $C\left(\left[0,T\left(n\right)\right];X_n\right)$ 中强收敛于 $u_n,B_n$ 。由方程的线性与解的唯一性推出 $\left\{u_n^k\right\}\to u_n$ ，且 $u_n=\Theta \left({\bar{u}}_n\right)$ 。根据Banach不动点定理可知，I中存在一点是近似方程组(10)~(13)的解，记为 $\left({\rho }_n,u_n,B_n\right)$ 。然而，方程的解与 $\delta$ 有关，令 $\left({\rho }_n^{\delta },u_n^{\delta },B_n^{\delta }\right)$ 为逼近系统(10)~(13)的解。为了计算方便我们先省略上标 $\delta$ ，下标n。同时，我们可将时间t延拓到 $\left[0,T\right]$ 。

4. 先验估计

在本节，我们将推导出一系列的先验估计，即能量估计。目的是为了获得弱解的紧性。

定理2 对任意 $0<t<T$ ，假设 $\left(\rho ,u,B\right)$ 是方程组(10)~(13)的弱解，我们有

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}}{\text{d}t}E\left(\rho ,u,B\right)+{\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}\left({H^{″}}_1\left(\rho \right)+{H^{″}}_2\left(\rho \right)\right)}{\left|\nabla \rho \right|}^2+\frac{{\hslash }^2}{4}\mu \rho {\left|{\nabla }^2\log \rho \right|}^2\\ +\mu \rho {\left|\nabla u\right|}^2+\nu {\left|\nabla B\right|}^2+\delta {\left|\nabla u\right|}^2+\delta {\left|u\right|}^2\text{d}x=0\end{array}$ (24)

其中

$E\left(\rho ,u,B\right)={\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}\left(\frac{1}{2}\rho {\left|u\right|}^2+H_1\left(\rho \right)+H_2\left(\rho \right)+\frac{{\hslash }^2}{2}{\left|\nabla \sqrt{\rho }\right|}^2+\frac{1}{2}{\left|B\right|}^2\right)\text{d}x}$ (25)

证明：首先，动量方程(11)两边同乘u，然后进行分部积分，利用连续性方程(10)，可以得到

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}\frac{1}{2}\rho {\left|u\right|}^2}+H_1\left(\rho \right)+H_2\left(\rho \right)+\frac{{\hslash }^2}{2}{\left|\nabla \sqrt{\rho }\right|}^2\text{d}x+{\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}\left({H^{″}}_1\left(\rho \right)+{H^{″}}_2\left(\rho \right)\right)}{\left|\nabla \rho \right|}^2\text{d}x\\ +{\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}\left(\frac{{\hslash }^2}{4}\mu \rho {\left|{\nabla }^2\log \rho \right|}^2+\mu \rho |\nabla u{|}^2-\left(\nabla \times B\right)\times B\cdot u+\delta {\left|\nabla u\right|}^2+\delta {\left|u\right|}^2\right)\text{d}x}=0\end{array}$ (26)

下面我们只考虑压力项，其余项的证明过程参考文献 [19]

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}\nabla }P\cdot u\text{d}x={\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}\nabla }{P}_1\cdot u\text{d}x+{\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}\nabla }{P}_2\cdot u\text{d}x\\ ={\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}\frac{a^2\gamma }{\gamma -1}\nabla {\rho }^{\gamma -1}\left(\rho u\right)\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}\frac{3a^2ϵ}{\gamma -1}{\rho }^{-3}\nabla \rho u\text{d}x}\\ ={\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}-a^2\frac{\gamma }{\gamma -1}{\rho }^{\gamma -1}\nabla \cdot \left(\rho u\right)\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}\frac{a^2ϵ}{\gamma -1}{\rho }^{-3}\nabla \cdot \left(\rho u\right)\text{d}x}\\ ={\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}\frac{-a^2\gamma }{\gamma -1}{\rho }^{\gamma -1}\left(\mu \Delta \rho -{\rho }_t\right)\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}\frac{a^2ϵ}{\gamma -1}{\rho }^{-3}\left(\mu \Delta \rho -{\rho }_t\right)\text{d}x}\\ =\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}\frac{a^2}{\gamma -1}{\rho }^{\gamma }}+\frac{a^2ϵ}{2\left(\gamma -1\right)}\frac{1}{{\rho }^2}\text{d}x+{\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}\left(a^2\gamma \mu {\rho }^{\gamma -2}+\frac{3a^2ϵ\mu }{\gamma -1}{\rho }^{-4}\right)}{\left|\nabla \rho \right|}^2\text{d}x\\ =\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}\left(H_1\left(\rho \right)+H_2\left(\rho \right)\right)\text{d}x}+{\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}\left({H^{″}}_1\left(\rho \right)+{H^{″}}_2\left(\rho \right)\right){\left|\nabla \rho \right|}^2\text{d}x}\end{array}$

磁方程(12)两边同乘B，详细过程参见文献 [19] ，将所有的估计都代入(26)，我们就能够得到能量等式(24)。

引理3 根据定理2，用Gronwall不等式易得出如下结论：

${\Vert \sqrt{\rho }u\Vert }_{L^{\infty }\left(\left[0,T\right];L^2\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}+{\Vert \sqrt{\rho }\nabla u\Vert }_{L^2\left(\left[0,T\right];L^2\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}\le C$ (27)

${\Vert B\Vert }_{L^{\infty }\left(\left[0,T\right];L^2\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}+{\Vert B\Vert }_{L^2\left(\left[0,T\right];H^1\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}\le C$ (28)

$L^{\infty }\left(\left[0,T\right];H^1\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)$ (29)

${\Vert \sqrt{\rho }{\nabla }^2\log \rho \Vert }_{L^2\left(\left[0,T\right];L^2\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}\le C$ (30)

$\sqrt{\delta }{\Vert u\Vert }_{L^2\left(\left[0,T\right];H^1\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}\le C$ (31)

${\Vert \rho \Vert }_{L^{\infty }\left(\left[0,T\right];L^{\gamma }\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}\le C$ (32)

${\Vert \frac{1}{\rho }\Vert }_{L^{\infty }\left(\left[0,T\right];L^2\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}\le C$ (33)

${\Vert {\rho }^{\frac{\gamma }{2}}\Vert }_{L^2\left(\left[0,T\right];H^1\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}+{\Vert \nabla \left(\frac{1}{\rho }\right)\Vert }_{L^2\left(\left[0,T\right];L^2\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}\le C$ (34)

证明：这里我们仅给出(34)式的证明过程

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}{H}^{″}}}\left(\rho \right){\left|\nabla \rho \right|}^2\text{d}x\text{d}t={\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}\left({H^{″}}_1\left(\rho \right)+{H^{″}}_2\left(\rho \right)\right)}}{\left|\nabla \rho \right|}^2\text{d}x\text{d}t\\ ={\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}\frac{{P^{\prime }}_1\left(\rho \right)}{\rho }}}{\left|\nabla \rho \right|}^2+\frac{{P^{\prime }}_2\left(\rho \right)}{\rho }{\left|\nabla \rho \right|}^2\text{d}x\text{d}t\\ ={\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}{a}^2}}\gamma \mu {\rho }^{\gamma -2}{\left|\nabla \rho \right|}^2+\frac{3a^2ϵ\mu }{\gamma -1}{\rho }^{-4}{\left|\nabla \rho \right|}^2\text{d}x\text{d}t\\ ={\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}\frac{4a^2\mu }{\gamma }}}{\left|\nabla {\rho }^{\frac{\gamma }{2}}\right|}^2+\frac{3a^2ϵ\mu }{\gamma -1}{\left|\nabla \left(\frac{1}{\rho }\right)\right|}^2\text{d}x\text{d}t\le C\end{array}$

引理4 假设定理2的条件成立，则有下列不等式成立。

${\Vert \sqrt{\rho }\Vert }_{L^2\left(\left[0,T\right];H^2\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}+{\Vert \sqrt[4]{\rho }\Vert }_{L^2\left(\left[0,T\right];W^{1,4}\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}\le C$ (35)

证明：根据 ${\Vert \sqrt{\rho }{\nabla }^2\log \rho \Vert }_{L^2\left(\left[0,T\right];L^2\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}\le C$ 可知

$\frac{1}{4}{\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}\rho }{\left|{\nabla }^2\log \rho \right|}^2\text{d}x\ge \frac{11}{15}{\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}{\left|{\nabla }^2\sqrt{\rho }\right|}^2\text{d}x}$

${\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}\rho }{\left|{\nabla }^2\log \rho \right|}^2\text{d}x\ge \frac{176}{25}{\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}{\left|\nabla \sqrt[4]{\rho }\right|}^4\text{d}x}$

证明过程见参考文献 [9] 附录。

引理5假设定理2的条件成立，则有下列不等式成立。

${\Vert P_1\left(\rho \right)\Vert }_{L^{\frac{5}{3}}\left(\left[0,T\right];L^{\frac{5}{3}}\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}+{\Vert P_2\left(\rho \right)\Vert }_{L^{\frac{5}{3}}\left(\left[0,T\right];L^{\frac{5}{3}}\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}\le C$ (36)

${\Vert \frac{1}{\sqrt{\rho }}\Vert }_{L^{\frac{20}{3}}\left(\left[0,T\right];L^{\frac{20}{3}}\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}\le C$ (37)

证明：根据(32)，(34)，运用Gagliadro-Nirenberg不等式，取 $\theta =\frac{3}{5},p=\frac{10}{3}$

$\begin{array}{c}{\Vert {\rho }^{\frac{\gamma }{2}}\Vert }_{L^p\left(\left[0,T\right];L^p\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}^p\le C{\displaystyle {\int }_0^T{\Vert {\rho }^{\frac{\gamma }{2}}\Vert }_{H^1\left({\mathbb{T}}^3\right)}^{p\theta }}{\Vert {\rho }^{\frac{\gamma }{2}}\Vert }_{L^2\left({\mathbb{T}}^3\right)}^{p\left(1-\theta \right)}\text{d}t\\ \le C{\Vert {\rho }^{\frac{\gamma }{2}}\Vert }_{L^{\infty }\left(\left[0,T\right];L^2\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}^{p\left(1-\theta \right)}{\displaystyle {\int }_0^T{\Vert {\rho }^{\frac{\gamma }{2}}\Vert }_{H^1\left({\mathbb{T}}^3\right)}^2\text{d}t}\end{array}$ (38)

可以得到 ${\rho }^{\gamma }$ 在 $L^{\frac{5}{3}}\left(\left[0,T\right];L^{\frac{5}{3}}\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)$ 中有界。

根据(33)，(34)，运用Gagliadro-Nirenberg不等式，取 $\theta =\frac{3}{5},p=\frac{10}{3}$

$\begin{array}{c}{\Vert \frac{1}{\rho }\Vert }_{L^p\left(\left[0,T\right];L^q\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}^p\le C{\displaystyle {\int }_0^T{\Vert \frac{1}{\rho }\Vert }_{H^1\left({\mathbb{T}}^3\right)}^{p\theta }}{\Vert \frac{1}{\rho }\Vert }_{L^2\left({\mathbb{T}}^3\right)}^{p\left(1-\theta \right)}\text{d}t\\ \le C{\Vert \frac{1}{\rho }\Vert }_{L^{\infty }\left(\left[0,T\right];L^2\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}^{p\left(1-\theta \right)}{\displaystyle {\int }_0^T{\Vert \frac{1}{\rho }\Vert }_{H^1\left({\mathbb{T}}^3\right)}^2}\text{d}t\end{array}$ (39)

可以得到 $\frac{1}{{\rho }^2}$ 在 $L^{\frac{5}{3}}\left(\left[0,T\right];L^{\frac{5}{3}}\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)$ 中有界，同时还可以得到 $\frac{1}{\sqrt{\rho }}$ 在 $L^{\frac{20}{3}}\left(\left[0,T\right];L^{\frac{20}{3}}\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)$ 中有界。

根据(38)，(39)，可知 $P_1\left(\rho \right),P_2\left(\rho \right)$ 在 $L^{\frac{5}{3}}\left(\left[0,T\right];L^{\frac{5}{3}}\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)$ 中有界。

引理6 假设定理2的条件成立，则有下列不等式成立。

${\Vert \nabla u\Vert }_{L^{\frac{20}{13}}\left(\left[0,T\right];L^{\frac{20}{13}}\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}\le C$ (39)

${\Vert u\Vert }_{L^{\frac{20}{9}}\left(\left[0,T\right];L^{\frac{20}{9}}\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}\le C$ (40)

证明：对引理3和不等式(37)，利用Hölder不等式有

${\Vert \nabla u\Vert }_{L^{\frac{20}{13}}\left(\left[0,T\right];L^{\frac{20}{13}}\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}\le {\Vert \frac{1}{\sqrt{\rho }}\Vert }_{L^{\frac{20}{3}}\left(\left[0,T\right];L^{\frac{20}{3}}\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}{\Vert \sqrt{\rho }\nabla u\Vert }_{L^2\left(\left[0,T\right];L^2\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}\le C$ (41)

${\Vert u\Vert }_{L^{\infty }\left(\left[0,T\right];L^{\frac{4}{3}}\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}\le {\Vert \frac{1}{\sqrt{\rho }}\Vert }_{L^{\infty }\left(\left[0,T\right];L^4\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}{\Vert \sqrt{\rho }u\Vert }_{L^{\infty }\left(\left[0,T\right];L^2\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}\le C$ (42)

根据Sobolev嵌入定理知u在 $L^{\frac{20}{13}}\left(\left[0,T\right];W^{1,\frac{20}{13}}\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)$ 中一致有界，对(41)和(42)利用Gagliadro-Nirenberg不等式，取 ${\theta }^{\prime }=\frac{9}{13},q=\frac{20}{9}$ 有

$\begin{array}{c}{\Vert u\Vert }_{L^q\left(\left[0,T\right];L^q\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}^q\le C{\displaystyle {\int }_0^T{\Vert u\Vert }_{W^{1,\frac{20}{13}}\left({\mathbb{T}}^3\right)}^{q{\theta }^{\prime }}}{\Vert u\Vert }_{L^{\frac{4}{3}}\left({\mathbb{T}}^3\right)}^{q\left(1-{\theta }^{\prime }\right)}\text{d}t\\ \le C{\Vert u\Vert }_{L^{\infty }\left(\left[0,T\right];L^{\frac{4}{3}}\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}^{q\left(1-{\theta }^{\prime }\right)}{\displaystyle {\int }_0^T{\Vert u\Vert }_{W^{1,\frac{20}{13}}\left({\mathbb{T}}^3\right)}^2}\text{d}t\end{array}$

即证得(40)式。

引理7 假设定理2的条件成立，则有下列不等式成立。

${\Vert {\left(\rho u\right)}_t\Vert }_{L^{\frac{20}{19}}\left(\left[0,T\right];{\left(H^s\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}^{*}\right)}\le C$ (43)

证明：动量方程

${\left(\rho u\right)}_t=\mu \Delta \left(\rho u\right)-div\left(\rho u\otimes u\right)-\nabla P\left(\rho \right)+\frac{{\hslash }^2}{2}\rho \nabla \left(\frac{\Delta \sqrt{\rho }}{\sqrt{\rho }}\right)+\left(\nabla \times B\right)\times B+\delta \Delta u-\delta u$

根据引理3，(40)以及 $H^2\left({\mathbb{T}}^3\right)$ 连续地嵌入 $L^{\infty }(\; T\; 3\; )$

${\Vert \rho u\otimes u\Vert }_{L^{\frac{20}{19}}\left(\left[0,T\right];L^{\frac{20}{19}}\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}\le {\Vert \sqrt{\rho }\Vert }_{L^2\left(\left[0,T\right];L^{\infty }\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}{\Vert \sqrt{\rho }u\Vert }_{L^{\infty }\left(\left[0,T\right];L^2\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}{\Vert u\Vert }_{L^{\frac{20}{9}}\left(\left[0,T\right];L^{\frac{20}{9}}\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}$

推导出 $div\left(\rho u\otimes u\right)$ 在 $L^{\frac{20}{19}}\left(\left[0,T\right];{\left(H^s\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}^{*}\right)$ 中有界，由(29)，(30)可知 $\frac{{\hslash }^2}{2}\rho \nabla \left(\frac{\Delta \sqrt{\rho }}{\sqrt{\rho }}\right)$ 在 $L^2\left(\left[0,T\right];{\left(W^{1,3}\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}^{*}\right)\subset L^2\left(\left[0,T\right];{\left(H^s\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}^{*}\right)$ 中有界。

任意试验函数 $\varphi \in L^2\left(\left[0,T\right];W^{1,3}\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)$ 有

$\begin{array}{c}\left|{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}\Delta }}\left(\rho u\right)\cdot \varphi \text{d}x\text{d}t\right|=\left|{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}\nabla }}\left(\rho u\right)\cdot \nabla \varphi \text{d}x\text{d}t\right|\\ =\left|{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{{\mathbb{T}}^3}\left(\sqrt{\rho }\sqrt{\rho }\nabla u+2\sqrt{\rho }u\nabla \sqrt{\rho }\right)}}\nabla \varphi \text{d}x\text{d}t\right|\\ \le ({\Vert \sqrt{\rho }\Vert }_{L^{\infty }\left(\left[0,T\right];L^6\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}{\Vert \sqrt{\rho }\nabla u\Vert }_{L^2\left(\left[0,T\right];L^2\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}\\ +2{\Vert \sqrt{\rho }u\Vert }_{L^{\infty }\left(\left[0,T\right];L^2\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}{\Vert \nabla \sqrt{\rho }\Vert }_{L^2\left(\left[0,T\right];L^6\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}){\Vert \nabla \varphi \Vert }_{L^2\left(\left[0,T\right];L^3\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}\\ \le C{\Vert \varphi \Vert }_{L^2\left(\left[0,T\right];W^{1,3}\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}\end{array}$

可知， $\Delta \left(\rho u\right)$ 在 $L^2\left(\left[0,T\right];{\left(W^{1,3}\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}^{*}\right)\subset L^2\left(\left[0,T\right];{\left(H^s\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}^{*}\right)$ 中有界， $\Delta u$ 在 $L^2\left(\left[0,T\right];{\left(H^1\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}^{*}\right)$ 中有界， $P\left(\rho \right)$ 在 $L^{\frac{5}{3}}\left(\left[0,T\right];{\left(W^{1,\frac{5}{3}}\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}^{*}\right)\subset L^{\frac{5}{3}}\left(\left[0,T\right];{\left(H^s\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}^{*}\right)$ 中有界。 $\left(\nabla \times B\right)\times B=\left(B\cdot \nabla \right)B-\frac{1}{2}\nabla \left({\left|B\right|}^2\right)$ 在 $L^2\left(\left[0,T\right];L^1\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)$ 中有界。根据以上估计及Sobolev嵌入定理知 ${\left(\rho u\right)}_t$ 在 $L^{\frac{20}{19}}\left(\left[0,T\right];{\left(H^s\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}^{*}\right)$ 有界，得证。

引理8 假设定理2的条件成立，则有下列不等式成立。

${\Vert {\left(\frac{1}{\rho }\right)}_t\Vert }_{L^{\frac{20}{19}}\left(\left[0,T\right];L^{\frac{20}{19}}\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}\le C$ (44)

证明：连续性方程(10)两边同时除以 $-{\rho }^2$

${\partial }_t\left(\frac{1}{\rho }\right)=\frac{1}{\rho }divu-\nabla \left(\frac{1}{\rho }\right)u+\frac{2\mu \left(△\sqrt{\rho }+4{\left|\nabla \sqrt[4]{\rho }\right|}^2\right)}{-{\rho }^{3/2}}$

由引理3和(40)利用Hölder推导出

${\Vert \nabla \left(\frac{1}{\rho }\right)u\Vert }_{L^{\frac{20}{19}}\left[0,T\right];L^{\frac{20}{19}}\left(\Omega \right)}\le {\Vert \nabla \left(\frac{1}{\rho }\right)\Vert }_{L^2\left(\left[0,T\right];L^2\left(\Omega \right)\right)}{\Vert u\Vert }_{L^{\frac{20}{9}}\left(\left[0,T\right];L^{\frac{20}{9}}\left(\Omega \right)\right)}\le C$

有界。同理得到其余项在 $L^{\frac{20}{19}}\left(\left[0,T\right];L^{\frac{20}{19}}\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)$ 有界。

引理9 [19] 假设定理2的条件成立，则有下列不等式成立。

${\Vert B\Vert }_{L^{\frac{10}{3}}\left(\left[0,T\right];L^{\frac{10}{3}}\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}\le C$ (45)

${\Vert {\partial }_{t}B\Vert }_{L^{\frac{4}{3}}\left(\left[0,T\right];{\left(H^s\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}^{*}\right)}\le C$ (46)

其中 $s>\frac{5}{2}$ 。

5. 敛散性

根据在前一节先验估计的基础上，本节我们根据Sobolev嵌入定理，紧性理论和Aubin-Lions引理求近似解 $\left({\rho }_n^{\delta },u_n^{\delta },B_n^{\delta }\right),n\to \infty ,\delta \to 0$ 的极限。首先令 $\delta >0$ ，求 $n\to \infty$ 时极限，然后再求 $\delta \to 0$ 的极限。由上述估计，易得到下述收敛。

定理3 在定理2的假设下，当 $n\to \infty$ 时，

$\sqrt{{\rho }_n^{\delta }}\to \sqrt{{\rho }^{\delta }}$ 在 $L^2\left(\left[0,T\right];H^1\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)$ 中强收敛；

$P_1\left({\rho }_n^{\delta }\right)\to P_1\left({\rho }^{\delta }\right)$ 在 $L^1\left(\left[0,T\right];L^1\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)$ 中强收敛；

$P_2\left({\rho }_n^{\delta }\right)\to P_2\left({\rho }^{\delta }\right)$ 在 $L^1\left(\left[0,T\right];L^1\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)$ 中强收敛；

$\frac{1}{{\rho }_n^{\delta }}\to \frac{1}{{\rho }^{\delta }}$ 在 $C\left(\left[0,T\right];L^2\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)$ 中强收敛；

${\rho }_n^{\delta }{u}_n^{\delta }\to {\rho }^{\delta }{u}^{\delta }$ 在 $L^2\left(\left[0,T\right];L^2\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)$ 中强收敛；

${\rho }_n^{\delta }\to {\rho }^{\delta }$ 在 $C\left(\left[0,T\right];L^2\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)$ 中强收敛；

$u_n^{\delta }\to u^{\delta }$ 在 $L^{\frac{20}{9}}\left(\left[0,T\right];L^{\frac{20}{9}}\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)$ 中弱收敛；

$\nabla u_n^{\delta }\to \nabla u^{\delta }$ 在 $L^{\frac{20}{13}}\left(\left[0,T\right];L^{\frac{20}{13}}\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)$ 中弱收敛；

$B_n^{\delta }\to B^{\delta }$ 在 $L^2\left(\left[0,T\right];H^1\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)$ 中弱收敛；

$B_n^{\delta }\to B^{\delta }$ 在 $L^{\infty }\left(\left[0,T\right];L^2\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)$ 中弱*收敛；

$B_n^{\delta }\to B^{\delta }$ 在 $L^2\left(\left[0,T\right];L^2\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)$ 中强收敛。

证明：连续性方程(10) 除以 $\sqrt{{\rho }_n^{\delta }}$

${\partial }_t\sqrt{{\rho }_n^{\delta }}=-div\left(\sqrt{{\rho }_n^{\delta }}{u}_n^{\delta }\right)+\frac{1}{2}\sqrt{{\rho }_n^{\delta }}div{u}_n^{\delta }+\mu △\sqrt{{\rho }_n^{\delta }}+\mu \frac{{\left|\nabla \sqrt{{\rho }_n^{\delta }}\right|}^2}{\sqrt{{\rho }_n^{\delta }}}$

由引理3推导出右边第一项在 $L^2\left(\left[0,T\right];{\left(H^1\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}^{*}\right)$ 中有界。根据引理3及(35)知其余项在 $L^2\left(\left[0,T\right];L^2\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)$ 中有界，因此可以得到 ${\Vert {\partial }_t\sqrt{{\rho }_n^{\delta }}\Vert }_{L^2\left(\left[0,T\right];{\left(H^1\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)}^{*}\right)}\le C$ 。(35)及上式运用Aubin-Lions引理推导出 $\sqrt{{\rho }_n^{\delta }}$ 强收敛于 $\sqrt{{\rho }^{\delta }}$ 。

首先， $H^1\left({\mathbb{T}}^3\right)$ 到 $L^2\left({\mathbb{T}}^3\right)$ 的插入是紧的，而 $L^p\left({\mathbb{T}}^3\right)$ 的基本列 $f_n$ 可选取子序列几乎处处收敛于 $f\in L^p\left({\mathbb{T}}^3\right)$ ，故存在序列 $\left\{{\rho }_n^{\delta }\right\}$ 在 $L^1\left(\left[0,T\right];L^1\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)$ 几乎处处收敛。其次，由(36)知 $P_1\left({\rho }_n^{\delta }\right),P_2\left({\rho }_n^{\delta }\right)$ 在 $L^{\frac{5}{3}}\left(\left[0,T\right];L^{\frac{5}{3}}\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)$ 弱收敛。因此 $P_1\left({\rho }_n^{\delta }\right),P_2\left({\rho }_n^{\delta }\right)$ 在 $L^1\left(\left[0,T\right];L^1\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)$ 强收敛。

引理3和(44)运用Aubin-Lions引理推导出 $\frac{1}{{\rho }_n^{\delta }}$ 强收敛。

$\nabla \left({\rho }_n^{\delta }{u}_n^{\delta }\right)={\rho }_n^{\delta }\nabla u_n^{\delta }+u_n^{\delta }\nabla {\rho }_n^{\delta }=\sqrt{{\rho }_n^{\delta }}\sqrt{{\rho }_n^{\delta }}\nabla u_n^{\delta }+2\sqrt{{\rho }_n^{\delta }}{u}_n^{\delta }\nabla \left(\sqrt{{\rho }_n^{\delta }}\right)$ (47)

推导出 ${\rho }_n^{\delta }{u}_n^{\delta }\in L^2\left(\left[0,T\right];W^{1,\frac{3}{2}}\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)$ 结合(43)，借助Aubin-Lions引理得到 ${\rho }_n^{\delta }{u}_n^{\delta }$ 在 $L^2\left(\left[0,T\right];L^2\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)$ 强收敛于 ${\rho }^{\delta }{u}^{\delta }$ 。

引理3和(47)推导出 ${\rho }_n^{\delta }$ 在 $L^{\infty }\left(\left[0,T\right];L^3\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)$ 有界和 ${\partial }_t{\rho }_n^{\delta }$ 在 $L^2\left(\left[0,T\right];L^{\frac{3}{2}}\left(\Omega \right)\right)$ 有界，借助Aubin-Lions引理可得到 ${\rho }_n^{\delta }$ 在 $C\left(\left[0,T\right];L^2\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)$ 强收敛于 ${\rho }^{\delta }$ 。

定理3最后一项的证明见参考文献 [19] 。

$\sqrt{{\rho }_n^{\delta }}{u}_n^{\delta }\to \sqrt{{\rho }^{\delta }}{u}^{\delta }$ 在 $L^2\left(\left[0,T\right];L^2\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)$ 中强收敛。

(40)和 $u_n^{\delta }$ 几乎处处收敛推导出 $u_n^{\delta }$ 在 $L^2\left(\left[0,T\right];L^2\left(\Omega \right)\right)$ 强收敛，以及 ${\rho }_n^{\delta }{u}_n^{\delta }$ 在 $L^2\left(\left[0,T\right];L^2\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)$ 中强收敛且几乎处处收敛，通过Aubin-Simon’s引理可知 $\sqrt{{\rho }_n^{\delta }}{u}_n^{\delta }$ 在 $L^2\left(\left[0,T\right];L^2\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)$ 中强收敛。

接下来，在近似系统(10)~(13)中求 $n\to \infty$ 的极限且 $\rho ={\rho }_n^{\delta },u=u_n^{\delta },B=B_n^{\delta },{\bar{u}}_n=u_n^{\delta }$ 。在弱解的意义上得到 ${\partial }_t{\rho }^{\delta }+div\left({\rho }^{\delta }{u}^{\delta }\right)=\mu \Delta {\rho }^{\delta }$ 。然后，我们逐项考虑方程组(11)~(13)。

根据定理3可知 $\sqrt{{\rho }_n^{\delta }}$ 在 $L^2\left(\left[0,T\right];H^1\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)$ 中强收敛，从而推断出量子项 $\sqrt{{\rho }_n^{\delta }}\nabla \sqrt{{\rho }_n^{\delta }}$ ， $\nabla \sqrt{{\rho }_n^{\delta }}\otimes \nabla \sqrt{{\rho }_n^{\delta }}$ 在 $L^1\left(\left[0,T\right];L^1\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)$ 中弱收敛。

接下来，我们考虑非线性项。根据定理3知 $\sqrt{{\rho }_n^{\delta }}{u}_n^{\delta }$ 在 $L^2\left(\left[0,T\right];L^2\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)$ 强收敛， $\sqrt{{\rho }_n^{\delta }}$ 在 $L^2\left(\left[0,T\right];H^1\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)$ 强收敛结合引理3推导出

${\rho }_n^{\delta }{u}_n^{\delta }\otimes u_n^{\delta }\to {\rho }^{\delta }{u}^{\delta }\otimes u^{\delta }$ 在 $L^1\left(\left[0,T\right];L^1\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)$ 中弱收敛；

${\rho }_n^{\delta }{u}_n^{\delta }\to {\rho }^{\delta }{u}^{\delta }$ 在 $L^1\left(\left[0,T\right];L^1\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)$ 中弱收敛。

定理3中B分别在 $L^2\left(\left[0,T\right];H^1\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)$ 弱收敛， $L^2\left(\left[0,T\right];L^2\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)$ 强收敛结合引理3推得：

$\left(\nabla \times B_n^{\delta }\right)\times B_n^{\delta }\to \left(\nabla \times B^{\delta }\right)\times B^{\delta }$ 在 $L^1\left(\left[0,T\right];L^1\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)$ 中弱收敛；

$u_n^{\delta }\times B_n^{\delta }\to u^{\delta }\times B^{\delta }$ 在 $L^1\left(\left[0,T\right];L^1\left({\mathbb{T}}^3\right)\right)$ 中弱收敛。

根据上述收敛，我们得到逼近系统(10)~(13)的弱解 $\left({\rho }^{\delta },u^{\delta },B^{\delta }\right)$ 。我们可以利用同样的方式，证明当 $\delta \to 0$ 时，存在解为 $\left(\rho ,u,B\right)$ 且满足初始条件(5)和相容性条件(6)的系统(1)~(4)。定理1得证。

6. 总结与展望

本文研究了三维粘性量子磁流体系统，通过引入冷压处理对流项证明了该系统全局弱解的存在性。首先，利用Galerkin方法构造了逼近系统，其次通过能量不等式推导出一系列的先验估计，最后运用Sobolev嵌入定理，Aubin-Lions引理等证明了近似解 $\left({\rho }_n^{\delta },u_n^{\delta },B_n^{\delta }\right)$ ， $n\to \infty ,\delta \to 0$ 时，即原系统的弱解。

本文的创新点在于通过引入不同的冷压处理对流项，将文献 [19] 定理1.1中的绝热指数 $\gamma >3$ 扩大到 $\gamma >1$ 。接下来可以考虑将冷压引入不同的粘性系统求解其弱解的存在性。

基金项目

山西省国际合作基地与平台项目(202104041101019)。

NOTES

^*通讯作者。