1. 引言
考虑到自然界中的随机扰动,在确定性模型的基础上,众多学者添加各种随机因素,构建更符合实际动力学性态的随机离散模型进行研究,在生物种群、流行病等方面取得了许多成果 [1] - [8] 。例如,Leonid-Shaikhet [6] 研究了一类带有对数的随机差分方程解的渐近行为,得到平衡点的稳定性条件;Peter Palmer [7] 使用Euler-Maruyama法将1-维随机方程线性化,应用伊藤公式研究随机差分方程解的稳定性;Anqi Miao [8] 等分析了一类随机SIS传染病模型,将确定性系统与随机系统进行比较,发现随机扰动有着不可忽视的影响。
在市场行为中,经济活动也会受到不同程度的随机干扰,然而目前动力系统在经济模型中的应用还处于初级阶段 [9] [10] [11] ,其模型建立及算法需要人们更进一步的探索和研究。本文研究一类差分方程经济模型,在一定随机干扰的影响下,模型平衡解的稳定性。
2. 建立模型
随着中国经济的飞速发展,各种新产品层出不穷,为了让它们更快地进入大众视野,广告成为一种重要的营销手段。许多学者致力于广告量-购物水平的研究 [12] [13] [14] ,然而他们大多忽略了经济活动中随机干扰这一因素。
首先,我们考虑下面传统的广告量-购物水平模型 [12] :
(1)
其中
、
、
是正系数,
表示t时刻的购物水平,
表示t时刻的广告投入量,
是最大购物水平,
是最大广告量;当广告量不超过一定额度时,随着广告投放量的增加销售量也会增加,当广告量超过一定额度时,可能会引起人们的逆反心理,广告量的增加反而会影响销售量。从方程(1)中我们容易求出系统存在两个平衡点
和
。
在市场行为中,各种随机因素也会影响广告的效果,因此本文对模型(1)引入随机干扰项,通过欧拉离散方法,得到下面的随机差分方程:
(2)
其中
表示随机干扰强度;n表示离散的时间,
,
;
表示相互独立的随机变量序列,且满足
,
,
。
考虑到模型的实际情况,本文中我们只讨论正平衡点的稳定性。令
,
,在平衡点
处,对模型(2)进行Jacobi线性化,得到下面线性方程:
(3)
显然,模型(2)正解的局部稳定性等价于模型(3)在零解处的稳定性。
设
,模型(3)可以写成下面这种形式:
(4)
其中:
,
3. 平衡点的稳定性
为了讨论方程(3)在零解处的稳定性,我们还需要下面一些定义与引理。
定义1. [15] 如果任意的
,存在
,使得对任意的初始函数
,有
,
,则称方程(3)的零解是均方稳定的;如果解是均方稳定的且对任意初始函数
,方程的解满足条件
,则称方程(3)的零解是渐近均方稳定的。
定义2. [16] 设P、Q均为实对称正定矩阵,若
也为实对称正定矩阵,即有
,则称P大于Q,记作
。
引理1. [15] 如果存在一个非负函数
满足下面的条件:
,
,
是正常数,
,那么方程(3)的解是渐近均方稳定的。
定理1. 对于一些二维正定矩阵P,矩阵方程:
(5)
解为半正定矩阵D,那么方程(3)的零解是渐近均方稳定的。
证明:首先我们构造一个Lyapunov函数:
其中
是一个半正定矩阵。
计算
的期望,我们可以得到下面的式子:
其中
。
因此:
其中
,c是一个大于零的常数。于是根据引理1,定理得证。
4. 数值模拟
由第2节中我们知道:
,
因此矩阵方程(5)可以写成下面这种形式:
,
,
其中
,
。
理论上P和D存在多个解,在此我们只给出一个具体的例子。令
,
,
,
,平衡点
,
,矩阵
,通过MATLAB计算可以得到一个正定矩阵P:
。
根据定理1,方程(3)在零解处渐近均方稳定,因此方程(2)在正解
处是局部渐近均方稳定。设初值为
,通过数值仿真得到方程解的稳定性图像如下图1和图2。
![](//html.hanspub.org/file/5-2620730x77_hanspub.png)
Figure 1. Asymptotically mean square stability of Equation (3) at the zero point
图1. 方程(3)在零点渐近均方稳定
![](//html.hanspub.org/file/5-2620730x78_hanspub.png)
Figure 2. Asymptotically mean square stability of Equation (2) at the positive equilibrium point
图2. 方程(2)在正平衡点处局部渐近均方稳定
5. 总结
本文通过构造Lyapunov函数的方法研究一类随机经济模型解的稳定性问题。首先我们建立一个随机模型,经过欧拉离散化方法,得到了随机差分方程,然后将随机差分方程在正平衡点处线性化得到线性随机差分方程,证明当线性方程满足一定条件时,在零点处是渐进均方稳定的,由此得出方程在正平衡点处的局部渐进均方稳定性充分条件,并通过数值仿真验证了结论的正确性。本文研究的经济模型只考虑了随机扰动这一影响,如果还能得到方程解在时滞影响下的稳定性将更有现实意义,这也是我们今后所要研究的方向。
基金项目
湖南省自然科学基金(2016JJ2104)资助。
NOTES
*通讯作者。