拟三次Bézier曲线及其在管道拼接中的应用

Cubic Quasi-Bezier Curve and Its Application in Surface Blending

摘要: 本文利用带有形状参数α,β,γ的拟三次Bézier曲线对于特定控制顶点附近曲线的形状具有调控特性，在光滑拼接两个半径相同的轴线异面圆管道的轴线的基础上，构造了光滑拼接两个轴线异面的圆管道，得到了新的轴线异面管道的拼接管道，扩大了应用范围。

Abstract: Cubic quasi-Bézier curves with three shape parameters α,β,γ can adjust the shape of curves near specific control points. In this study, given two pipes of same radius and non-coplanar axes, we first blend the axes of the two pipes using the property of quasi-Bézier curves and further construct the surface that blends the two pipes.

1. 引言

曲面拼接是计算机辅助几何设计中的一个基本问题，而轴线异面的管道拼接是几何造型中难点基础问题。对于轴线异面管道光滑拼接问题，经典的曲面拼接方法 [1] [2] [3] [4] [5] 很难奏效，已有成果不多。我们提出了基于轴线光滑拼接的轴线异面管道光滑拼接方法 [6] - [11] 。在 [6] 我们用空间Bézier曲线光滑拼接两个异面的轴线，构造了拼接两个轴线异面的管道，在 [11] 中我们用有理Bézier曲线光滑拼接两个异面的轴线，构造了两个轴线异面的管道。由于Bézier曲线的形状完全取决于控制多边形顶点的选取，Bézier曲线形状的修改要通过修改控制多边形的顶点来实现。有理Bézier曲线通过引入权因子，不用修改控制多边形的顶点，通过调控权因子改变曲线形状，有利于曲线形状的控制和修改。但如何选取有理Bézier曲线的权因子以及权因子对于个别顶点处曲线形状的影响还不是十分清楚。秦新强等 [12] 引入了带形状参数 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 的四次多项式基函数，定义了CE-Bézier曲线。在不改变三次Bézier曲线的控制多边形顶点的情况下，得到了拟三次Bézier曲线，且对于个别顶点处曲线形状的调控具有明显的作用。这对于拼接两个异面轴线，构造轴线异面的管道的拼接曲面提供了有利的工具。

设

${\Phi }_1:\{\begin{array}{l}x=X_1+a\cos \phi +a\sin \phi ,\\ y=Y_1+B_{1}s+a\cos \phi +a\sin \phi ,\\ z=a\cos \phi +a\sin \phi .\end{array}$ 和 ${\Phi }_2:\{\begin{array}{l}x=a\cos \phi +a\sin \phi ,\\ y=Y_2+a\cos \phi +a\sin \phi ,\\ z=Z_2+C_{2}s+a\cos \phi +a\sin \phi .\end{array}\phi \in \left[0,2\text{π}\right]$ (1)

是两个轴线异面的圆管道的参数表示，其中a是圆管道的半径。

$L_1:\{\begin{array}{l}x=X_1+0\cdot s,\\ y=Y_1+B_{1}s,\\ z=0+0\cdot s,\end{array}$ 和 $L_2:\{\begin{array}{l}x=0+0\cdot s,\\ y=Y_2+0\cdot s,\\ z=Z_2+C_{2}s.\end{array}$ (2)

为两个管道的轴线，分别位于OXY平面上，且与Y轴平行和位于OYZ平面上与Y轴垂直。

定义1 [12] 对于任意 $t\in \left[0,1\right]$ ， $\alpha ,\gamma \in \left[-3,1\right],\beta \in \left[-3,3\right]$ 称关于t的多项式

为带形状参数的四次多项式基函数。

定义2 [12] 给定四个控制顶点，对于，定义曲线

为带形状参数的拟三次Bézier曲线，简称三次CE-Bézier曲线。

拟Bézier曲线和Bézier曲线一样通过首、末顶点并和特征多边形的首、末两条边相切。除此之外，适当调整参数的值，对于个别控制顶点附近曲线的形状具有调空作用。

在上述假设下，构造光滑拼接两个异面轴线的拟三次Bézier曲线，并进一步构造光滑拼接两个轴线异面的粗细相同的管道。

2. 构造光滑拼接两个异面直线的拟三次空间Bézier曲线

设是上的两个点，是上的两个点，以这四个点为控制顶点构成了与三次Bézier曲线对应的特征多边形。由带形状参数的四次多项式基函数的定义和带形状参数拟三次空间Bézier曲线的定义，可以得到光滑拼接轴线异面的圆管道的轴线的拟三次空间Bézier曲线。其参数表示为

(3)

例1时，轴线异面管道的参数表示为

和

其中是圆管道的半径。其轴线的参数表示为

和

则光滑拼接两个轴线的拟三次空间Bézier曲线的参数表示为

如图1。

3. 构造光滑拼接粗细相同的轴线异面的管道

设给定的两个轴线异面的管道的参数表示为式(1)，其轴线的参数表示式为(2)，光滑拼接两个轴线的拟三次Bézier曲线的参数表示为(3)。

这样，可以构造轴线异面的管道和在通过点和并与和垂直的平面处光滑拼接的管道。其拼接管道的参数表示为

(4)

其中a为拼接管道的半径，和分别为拼接管道在点处的法矢和副法矢。

例2 设两个轴线异面的管道的参数表示为

和

当时，光滑拼接两个异面轴线的参数表示为

则基于轴线光滑拼接的两个轴线异面的管道的管道如图2。

4. 结束语

本文利用带有参数的拟三次Bézier曲线光滑拼接两个轴线异面的圆管道的轴线和，在此基础上实现了两个半径相同的轴线异面圆管道的光滑拼接。拼接管道的走向与形状参数的选取有关，适当选取参数可以满足不同的需要。

Figure 1. When, the cubic quasi-Bézier curve blending two non-coplanar axes

图1.时，光滑拼接异面轴线的拟三次空间Bézier曲线

Figure 2. When, the surface that blends the two pipes based on the blending of their axes

图2.时，基于轴线光滑拼接的管道拼接效果图

基金项目

国家自然科学基金项目资助(11561052)，浙江省教育厅一般项目资助Y (201636628)。

NOTES

^*通讯作者。