1. 引言
盾构机是盾构工法中的关键装备，其刀盘驱动系统在掘进施工中驱动刀盘切割岩土，它包括液压马达、主减速器和小齿轮大齿圈减速单元，主减速器传递扭矩大而且传动比大，通常采用三级行星齿轮机构，由于主减速的工作环境空间狭小，因此要求主加速器体积小而且要满足大传动比、大扭矩的要求，故在设计过程中通常采用优化设计的方法来满足上述要求。现在有很多成熟的优化程序可供选择，但每一种优化方法都有自己的适用范围和特点，解决实际工程问题时很容易因为优化方法和初始参数选择不当而无法得到最优解。袁亚辉 [1] 等运用Matlab软件对三级斜齿轮减速器进行了可靠性优化设计，胡青春 [2] 等运用Matlab优化工具箱对二级行星齿轮减速器进行了多目标优化设计。由于齿数为整数，模数也为离散的数据，因此减速器的优化设计是一个整数非线性规划问题。Matlab没有整数非线性规划的功能，如果选用Matlab进行减速器的优化设计，在所得优化结果中必须圆整，这将导致所得结果并不是最优解，文献 [1] [2] 存在这样的问题。朱莉莉 [3] 等对三级直齿圆柱齿轮减速器进行了参数优化设计并开发了软件，但与文献 [1] [2] 存在相似的问题。由于Lingo软件具有整数非线性规划的功能，本文选用Lingo软件对三级行星齿轮减速器进行参数优化设计，所得结果不需圆整即可得到最优解。
2. 模型建立
盾构掘进机的主减速器采用的是三级串联NGW型行星齿轮机构，其结构简图如图1。盾构掘进机的主减速器的设计目标是使减速器轻量化，而且还有外形尺寸限制。因此选择太阳轮和行星轮的总体积为目标函数(密度一定，质量与体积成正比)；总传动比、配齿条件、齿轮强度条件、减速器外形尺寸限制等为约束条件；以各级行星齿轮的太阳轮齿数、齿圈齿数，名义齿宽、模数、行星轮个数为设计变量建立优化模型。
Figure 1. Structure diagram of main reducer star gear mechanism of shield tunneling machine
图1. 盾构掘进机主减速器星齿轮机构结构简图
2.1. 目标函数
太阳轮和行星轮的总体积为目标函数，因为密度一定，质量与体积成正比。建立的目标函数如式(1)：
(1)
zan(j = 1, 2, 3)第j级太阳轮齿数，zbn(j=1, 2, 3)第j级内齿圈齿数，mj第j级模数，npj是第j级行星轮个数，bj是第j级齿宽。
2.2. 设计变量
由式(1)可知三级行星齿轮的体积主要与结构参数有关。其中影响其体积的主要因素有各级行星齿轮机构的齿宽、模数、齿数以及行星轮的个数。所以选取[za1, zb1, b1, m1, np1, za2, zb2, b2, m2, np2, za3, zb3, b3, m3, np3]作为设计变量。
2.3. 约束条件
2.3.1. 齿数约束
为保证不发生根切，最小齿数大于等于17，而且齿数为整数。
(2)
(3)
在Lingo中使用@GIN()函数来定义zaj和zbj为整型变量。
2.3.2. 同心条件约束
选取合理的太阳轮齿数和齿圈齿数使得行星轮齿数zg满足不根切最小齿数条件和齿数为整数的条件，因为根据同心条件zg = (zb−za)/2，za和zb分别为太阳轮和内齿圈齿数，所以该约束条件可以表示为：
(4)
式(4)中，zgj为第j级行星轮轮齿数，在Lingo中使用@GIN()函数限定(zbj−zaj)/2为整数。
2.3.3. 模数约束
模数是离散变量。但在本设计中，该减速器为重型齿轮传动，一般取模数大于等于3，而且优先选用第一系列标准模数，第一系列标准模数从3之后为为整数，因此可将模数作为整型变量，以便得到最优解，在本设计中可将模数当作整型变量。
(5)
在Lingo中使用@GIN()函数限定mj为整型变量。
2.3.4. 装配条件约束
(6)
在Lingo中使用@GIN()函数定义Kj整型变量。
2.3.5. 邻接条件约束
(7)
式(7)中：
是齿顶高系数。
2.3.6. 齿宽系数约束
根据《机械设计手册》 [4] ，齿宽系数Φd选择为0.5 < Φd < 1。
(8)
式(8)中：Φdj为第j级齿宽系数。
2.3.7. 传动比约束
根据《机械设计手册》 [4] ，单级行星齿轮减速器传动比推荐值为i = 3~9。
(9)
总传动比的约束：
(10)
式(9)和(10)中，ij为第j级行星齿轮机构单级传动比，it为设计要求的总传动比，ei为允许的传动比误差。
2.3.8. 空间约束
径向空间限制通过约束内齿圈的直径来实现：
(11)
轴向空间限制通过约束总齿宽来实现：
(12)
式(11)和(12)中，dr和br分别为内齿圈和总齿宽的约束值。
2.3.9. 接触应力条件约束
因为NGW型行星齿轮传动的接触强度主要取决于太阳轮与行星轮的外啮合副，为减少约束条件以减少计算量，只将外啮合的齿面接触疲劳应力的限制作为约束条件。
(13)
式(13)中：ZEj、ZHj、Zεj和Kj分别为第j级外啮合副的弹性系数、节点区域系数、重合度系数和载荷系数，μj为第j级外啮合副的齿数比，为大齿轮数与小齿轮数之比，μj = max(zaj,zgj)/min(zaj,zgj)，zaj和zgj分别为第j级太阳轮和行星轮齿数，d1j为第j级外啮合的小齿轮直径，Tj为第j级外啮合的小齿轮所受到的力矩，[σH]j为第j级行星齿轮机构的外啮合副许用接触应力。
2.3.10. 弯曲应力条件约束
因为NGW型行星齿轮传动的强度主要取决于太阳轮与行星轮的外啮合副，为减少约束条件，只将外啮合副的齿根弯曲疲劳应力限制作为约束条件。
(14)
式(14)中：YFaj、YSaj、Zεj和Kj分别为第j级外啮合副的齿形系数、应力修正系数、重合度系数和载荷系数，Ftj为第j级外啮合副的齿轮所受到的切向应力，[σF]j为第j级外啮合副许用弯曲应力。
3. 应用举列
某盾构掘进机三级行星齿轮减速器的设计要求为：盾构减速器输入转矩T = 1489 N·m；盾构减速器输入转速n = 1145.6 r/min；循环次数N = 50 000 000；不均载系数Kp = 1.1；总传动比it = 51.4，允许传动比误差ei=1%；径向尺寸限制为490 mm，总齿宽限制为400 mm；太阳轮与行星轮的材料为18CrMnTi，渗碳淬火处理，硬度为58 HRC~62 HRC，内齿圈材料为40 Cr调质处理，硬度为250 HB~280 HB；齿轮精度为6级。
根据以上目标函数和限制条件，编写优化程序。在Lingo中运行以上程序可得优化后的设计结果：[17, 59, 46, 5, 4, 46, 116, 65, 3, 6, 33, 75, 102, 6, 6]，其太阳轮和行星轮总体积16966582 mm3。优化前设计值为[27, 75, 60, 4, 3, 23, 65, 85, 6, 4, 27, 69, 130, 7, 4]，其太阳轮和行星轮总体积为20238894 mm3，由此可见优化后体积减少16.17%，减重明显。
4. 结论
本文利用Lingo软件对盾构掘进机三级串联NGW型行星齿轮传动机构进行了参数优化设计。在综合考虑各种约束条件的情况下，分析三级行星齿轮传动机构中各参数之间的相互制约关系，提出以太阳轮和行星轮总体积最小为目标函数的优化设计数学模型，并采用Lingo软件进行优化设计。通过算例表明，采用Lingo软件进行优化设计问题求解，不用编写大量优化算法程序，提高了设计效率，而且所得到优化结果可以直接采用，不需要圆整，避免了圆整所得结果不是最优解的缺点，使优化结果更加准确。