1. 引言
在高等数学中函数的不定积分的主要方法有直接积分法、第一类换元积分法、第二类换元积分法及分部积分法等 [1] [2] [3]。
在掌握了基本积分公式及上述方法的基础上,可以求解出绝大部分函数的不定积分,但也存在少数函数的不定积分不易求得,需将上述方法、一些重要公式及技巧相结合,使得问题容易解决。
2. 三角函数积分方法的探究
由于三角函数的公式非常多,从而使得关于这类函数的积分将变得更加困难。本文将总结出关于三角函数的不定积分的规律,主要的积分方法如下:
1) 第一类换元积分法(凑微分法)。适用于
、
、
、
等形式的函数积分,例如
.
其中这里的C和后面将出现的均为任意实数。
2) 降幂方法(二倍角公式方法)。适用于
型函数的积分,主要利用
和
化成
函数,例如
.
3) 分部积分法。适用于一类幂函数与三角函数、或幂函数与反三角函数的积分,例如
.
4) 积化和差方法。适用于不同角的三角函数乘积的积分,例如
.
5) 利用和“1”有关的公式的方法。通常利用公式
、
、
化简被积表达式,例如
.
6) 万能公式法。适用于上述方法不易求解出的关于三角函数的有理函数积分的问题,例如
.
7) 商的不定积分公式 [4]
定理:设函数
在区间I上有连续导数,且在区间I上
,则有
. (1)
例如
.
8) 其他技巧。通常在被积表达式中同加减某一项、同乘除某一项、或者通过积分抵消掉不易积分得到的积分等方法,例如
.
3. 经典实例
本文将依据上述方法以及结合使用,对 [1] 中的一道关于三角函数的有理函数的不定积分
,
给出七种不同解法。
解法1将函数化成关于
的三角函数,以及
并利用第一类换元积分法,可得
解法2 将函数化成关于的三角函数,并利用第一类换元积分法和分部积分法结合,可得
解法3 通过将分子同时加减1的技巧,然后利用第一类换元积分法,可得
解法4 利用公式
,基本积分公式,可得
解法5 先将
凑到微分里,再利用分部积分法,可得
解法6 利用万能公式将被积函数化成关于u的有理函数积分,令
,则
,
,
,
通过有理函数积分,可得
解法7 令
,
,利用商的不定积分公式(1),可得
上述结果形式上有一点差别,但是经过三角函数的公式进行简化,可见这些结果之间只差一个常数,这也正是不定积分的结果不是唯一的原因所在。
4. 结论
通过上述经典例子的求解看出,在不定积分的计算过程中要求我们善于总结和归纳,熟练掌握各种方法和技巧,尽量做到换元积分法和分部积分法等结合使用,并融会贯通。计算不定积分的选择方法的顺序通常为:基本公式、第一类换元积分法、分部积分法、第二类换元积分法、以及一些技巧等等。只有轻松地应对不定积分的计算,才能为后面的重积分和线面积分的学习打下良好的基础。
基金项目
国家自然科学基金(61973261);河北省高等教育教学改革研究与实践项目(2019GJJG090);燕山大学教学研究与改革项目(2018ZXKC01)。