三次对称群和四次对称群子群的求解

The Solution of Subgroups of Cubic Symmetric Group and Quartic Symmetric Group

摘要: 凯莱定理告诉我们研究群的重点在于研究置换群，因此对于有限群来说，对对称群的研究是必要的。本文主要利用有限群论中的一些基本定理来具体阐述对三次对称群和四次对称群子群的求解。

Abstract: Kelley’s theorem tells us that the focus of studying groups is to study permutation groups, and for finite groups, it is necessary to study symmetric groups. In this paper, some basic theorems in finite group theory are used to explain the solution of subgroups of cubic symmetric group and quartic symmetric group.

1. 引言

随着现代数学的不断发展，群已成为数学中一个十分重要的基本概念，并且渗透到数学的各个分支，而对有限群的研究更是对群研究的基础。文章利用群论中的一些基本定理来较为严谨，详细地推导出两个简单的对称群S₃和S₄的子群。

2. 涉及的定理及其推论

定理1(Lagrange定理)设G是有限群，H是G的子群，则有 $\left|G\right|=\left[G:H\right]\left|H\right|$。从而G的子群H的阶是G的阶的因子 [1]。

推论1设G是有限群，则G中元素的阶是群G的阶的因子 [1]。

定理2有限群G的阶为m(m为正整数)，若G中有m阶元，则G必为m阶循环群。

结合定理1和定理2有以下两个推论：

推论24阶群只有两种结构。即4阶群要么与4阶循环群同构，要么与Klein四元数群同构，故四阶群是交换群 [2]。

推论36阶群也只有两种结构。即6阶群要么与6阶循环群同构，要么与S₃同构 [2]。

定理3(Sylow定理) $\left|G\right|=p^{i}m$ (p为素数, i为正整数)， $\left(p,m\right)=1$，则对 $k\le i$ (k为正整数)，则G中一定有p^k阶子群 [3]。

定理4H，K是群G的有限子群，则有： $\left|HK\right|=\left(\left|H\right|\left|K\right|\right)/\left(H\cap K\right)$ [4]。

定理5H是群G的子群，若 $\left[G:H\right]=2$，则H还是G的不变子群 [5]。

定理6群G中的不变子群的交仍是不变子群。

定理7群G中两个不变子群的乘积还是不变子群。

3. 对S₃子群的求解

$S_3=\left\{\left(1\right),\left(12\right),\left(13\right),\left(23\right),\left(123\right),\left(132\right)\right\}$，其中有1个1阶元，3个2阶元和1对互逆的3阶元，共6个元素，故S₃的阶数为6。S₃有两个平凡子群，分别是{(1)}和S₃，由Lagrange定理可知S₃的非平凡子群可能的阶数为2或3。为了讨论方便不妨将S₃中由所有i阶子群组成的j个元素的集合记为 $\left\{H_{i1},H_{i2},\cdots ,H_{ij}\right\}$，其中i，j均为正整数。

命题1S₃有且仅有3个2阶子群和1个3阶非平凡子群。

证明：有 $\left|S_3\right|=6=2^1\ast 3^1$，而且 $\left(2,3\right)=1$，满足Sylow定理条件，故可判定S₃中必然存在2阶和3阶非平凡子群。而2阶群中的元素由Lagrange定理可知只能是1阶或2阶元，由于幺群为1阶群，所以2阶群中必含有2阶元，又定理2知2阶群必为2阶循环群，所以S₃共有3个2阶子群它们分别是 $H_{21}=\left\{\left(1\right),\left(12\right)\right\}$， $H_{22}=\left\{\left(1\right),\left(13\right)\right\}$， $H_{23}=\left\{\left(1\right),\left(23\right)\right\}$。同理可得3阶群必为3阶循环群，所以S₃共有1个3阶子群它是 $H_{31}=\left\{\left(1\right),\left(123\right),\left(132\right)\right\}$。证毕

由上述分析可以推出5阶群必是5阶循环群，从而是交换群，在S₃中显然有 $\left(12\right)\left(13\right)\ne \left(13\right)\left(12\right)$，故S₃是非交换群，再结合推论2可知S₃是阶数最小的非交换群。

4. 对S₄子群的求解

$\begin{array}{l}{S}_4=\{\left(1\right),\left(12\right),\left(13\right),\left(14\right),\left(23\right),\left(24\right),\left(34\right),\left(12\right)\left(34\right),\left(13\right)\left(24\right),\left(14\right)\left(23\right),\left(123\right),\left(132\right),\left(234\right),\\ \left(243\right),\left(124\right),\left(142\right),\left(134\right),\left(143\right),\left(1234\right),\left(1432\right),\left(1324\right),\left(1243\right),\left(1342\right),\left(1423\right)\}\end{array}$，其中有1个

1阶元，9个2阶元，4对互逆的3阶元，3对互逆的4阶元，共24个元素，即S₄的阶数为24。S₄有两个平凡子群{(1)}和S₄，由Lagrange定理可知S₄的非平凡子群可能的阶数为2, 3, 4, 6, 8, 12。为了讨论方便不妨将S₄中由所有i阶子群组成的j个元素的集合记为 $\left\{N_{i1},N_{i2},\cdots ,N_{ij}\right\}$，其中i，j均为正整数。

命题2S₄有且仅有9个2阶子群，4个3阶子群，3个4阶循环群和4个与Klein四元数群同构的4阶群，4个与S₃同构的6阶群，3个8阶群，这些都是非平凡子群。

证明：有 $\left|S_4\right|=24=2^3\ast 3$，且 $\left(\text{2},\text{3}\right)=\text{1}$，由Sylow定理可知S₄必有2阶，3阶，4阶，8阶子群。与S₃相同的分析的方法可知S₄有9个2阶子群，即 $N_{21}=\left\{\left(1\right),\left(12\right)\right\}$， $N_{22}=\left\{\left(1\right),\left(13\right)\right\}$， $N_{23}=\left\{\left(1\right),\left(14\right)\right\}$， $N_{24}=\left\{\left(1\right),\left(23\right)\right\}$， $N_{25}=\left\{\left(1\right),\left(24\right)\right\}$， $N_{26}=\left\{\left(1\right),\left(34\right)\right\}$， $N_{27}=\left\{\left(1\right),\left(12\right)\left(34\right)\right\}$， $N_{28}=\left\{\left(1\right),\left(13\right)\left(24\right)\right\}$， $N_{29}=\left\{\left(1\right),\left(14\right)\left(23\right)\right\}$。以及4个3阶子群，分别为 $N_{31}=\left\{\left(1\right),\left(123\right),\left(132\right)\right\}$， $N_{32}=\left\{\left(1\right),\left(234\right),\left(243\right)\right\}$， $N_{33}=\left\{\left(1\right),\left(134\right),\left(143\right)\right\}$， $N_{34}=\left\{\left(1\right),\left(124\right),\left(142\right)\right\}$。

S₄的4阶子群据推论2可知只有两种结构即4阶群中有4阶元时，则该4阶群与4阶循环群同构；4阶群中没有4阶元时，该4阶群与Klein四元数群同构。经过检验，S₄中共有3个4阶循 $N_{41}=\langle \left(1234\right)\rangle =\left\{\left(1\right),\left(13\right)\left(24\right),\left(1234\right),\left(1432\right)\right\}$， $N_{42}=\langle \left(1324\right)\rangle =\left\{\left(1\right),\left(12\right)\left(34\right),\left(1324\right),\left(1423\right)\right\}$， $N_{43}=\langle \left(1342\right)\rangle =\left\{\left(1\right),\left(14\right)\left(23\right),\left(1243\right)，\left(1342\right)\right\}$ ；考虑与Klein四元数群同构的4阶群，由Lagrange定理可知，这种4阶群中的元素由幺元与S₄中的2阶元构成，经过检验共有4个分别为 $N_{44}=\left\{\left(1\right),\left(12\right),\left(34\right),\left(12\right)\left(34\right)\right\}$， $N_{45}=\left\{\left(1\right),\left(13\right),\left(24\right),\left(13\right)\left(24\right)\right\}$， $N_{46}=\left\{\left(1\right),\left(14\right),\left(23\right),\left(14\right)\left(23\right)\right\}$， $N_{47}=\left\{\left(1\right),\left(12\right)\left(34\right),\left(13\right)\left(24\right),\left(14\right)\left(23\right)\right\}$。

由推论3知6阶群只有6阶循环群和S₃这两种结构，由于S₄中没有6阶元，故S₄中的6阶群都与已知结构的S₃同构，经过验算，S₄中共有4个6阶群，分别是 $N_{61}=\left\{\left(1\right),\left(12\right),\left(13\right),\left(23\right),\left(123\right),\left(132\right)\right\}$， $N_{62}=\left\{\left(1\right),\left(12\right),\left(14\right),\left(24\right),\left(124\right),\left(142\right)\right\}$， $N_{63}=\left\{\left(1\right),\left(13\right),\left(14\right),\left(34\right),\left(134\right),\left(143\right)\right\}$， $N_{64}=\{\left(1\right),\left(23\right),\left(24\right),\left(34\right),\left(234\right),\left(243\right)\}$。

由Sylow定理可以知道8阶子群中至少有一个4阶子群，可利用已经求得的S₄的每个4阶子群中添加合适的4个S₄中的2阶元，这样的8个元素才有可能构成S₄的8阶子群；经过检验S₄中共有3个8阶子群，分别是 $N_{81}=\left\{\left(1\right),\left(13\right),\left(24\right),\left(13\right)\left(24\right),\left(12\right)\left(34\right),\left(14\right)\left(23\right),\left(1234\right),\left(1432\right)\right\}$， $N_{82}=\left\{\left(1\right),\left(12\right),\left(34\right),\left(12\right)\left(34\right),\left(13\right)\left(24\right),\left(14\right)\left(23\right),\left(1324\right),\left(1423\right)\right\}$， $N_{83}=\left\{\left(1\right),\left(14\right),\left(23\right),\left(14\right)\left(23\right),\left(12\right)\left(34\right),\left(13\right)\left(24\right),\left(1234\right),\left(1342\right)\right\}$。证毕

命题3S₄中有且仅有1个12阶群。

证明：经过验算得S₄中的全体偶置换 $A_4=\left\{\left(1\right),\left(12\right)\left(34\right),\left(13\right)\left(24\right),\left(14\right)\left(23\right),\left(123\right),\left(132\right),\left(134\right),\left(143\right),\left(124\right),\left(142\right),\left(234\right),\left(243\right)\right\}$ 是S₄的一个12阶子群。下面再证唯一性；不妨假设S₄中存在1个12阶子群M( $M\ne A_4$ )，于是有定理4知A₄和M满足下述关系：

$\left|A_{4}M\right|=\left(\left|A_4\right|\left|M\right|\right)/\left|A_4\cap M\right|$，且 $\left|A_{4}M\right|\ge 12$

根据假设得A₄和M为S₄中的12阶子群，故它们在S₄中的指数都是2，根据定理5得A₄和M皆是S₄的不变子群，有定理6得 $A_4\cap M$ 也是S₄的不变子群，又定理7知A₄和M之积是S₄的不变子群，根据推论4以及Lagrange定理得 $\left|A_{4}M\right|=12$ 或24。若 $\left|A_{4}M\right|=12$，即可得到 $\left|A_4\cap M\right|=12$，即有 $A_4=M$，矛盾；若 $\left|A_{4}M\right|=24$，则 $\left|A_4\cap M\right|=6$，故由假设可推出 $A_4\cap M$ 是A₄的6阶子群，同时也是S₄的6阶子群，然而S₄中所有的6阶子群共有4个，而且 $\left|A_4\cap N_{61}\right|=\left|\left\{\left(1\right),\left(123\right),\left(132\right)\right\}\right|$， $\left|A_4\cap N_{62}\right|=\left|\left\{\left(1\right),\left(124\right),\left(142\right)\right\}\right|$， $\left|A_4\cap N_{63}\right|=\left|\left\{\left(1\right),\left(134\right),\left(143\right)\right\}\right|$， $\left|A_4\cap N_{64}\right|=\left|\left\{\left(1\right),\left(234\right),\left(243\right)\right\}\right|$，即 $\left|A_4\cap N_{61}\right|=\left|A_4\cap N_{62}\right|=\left|A_4\cap N_{63}\right|=\left|A_4\cap N_{64}\right|=3\ne 6$，可推出A₄中不存在6阶子群，矛盾；故假设矛盾。证毕

5. 结论

综合上述命题我们知道，S₃有且仅有3个2阶子群和1个3阶子群，还有两个平凡子群；S₄中有且仅有9个2阶子群，4个3阶子群，3个4阶循环群和4个与Klein四元数群同构的4阶群，4个与S₃同构的6阶群，3个8阶群和1个12阶子群，还有两个平凡子群。

致谢

本文是在导师郭继东教授的精心指导和悉心教导下完成的，从选题到材料收集以及写作过程中遇到的问题都得到了郭老师的热心帮助，在此表示感谢。

基金项目

新疆维吾尔自治区高校科研计划自然科学重点项目(XJEDU2020I018)。

NOTES

^*第一作者。

^#通讯作者。