1. 从一般到特殊看矩阵
在C (或其子域)上的矩阵A,及多项式
。故在考查关于某个矩阵A的命题时,可设其为若尔当标准形式。即
,
,
。
另外,有时根据需要,也将A设为可逆或有几个互异特征值,只要把A中每个元素添一些有极限的数列,变为
,
满足题设,
。这样任意的A也满足要求。就完成证明了。这就是从一般到特殊的观点,有时候特殊情况下我们更容易处理。比如若尔当标准下,不仅能分块还是一对角的,可逆下,有可逆矩阵方便处理而特殊情况解决了,有时候更一般问题也迎刃而解 [1] [2]。
例1
,
,
,
。
则
不妨设
,
其中
,
这里用到,因
,故
,而
。
故
另一方面
时,
要说明这一点,设
为
的
重根。
若
,则
若
,d和f关于
的根的重数相同,比较因式分解,则直接有
例2 (Hamilton-Caylay定理) [3]
,
是A的特征多项式,则
若是只要求
一定存在与A任意接近且有互异特征根的矩阵B,构造
使
每个
有n个互异特征根,记
,其中
是
中元素的多项式函数,且是诸元素的连续函数,同
,下有
,
是A的特征多项式系数,
从而
因
的特征根互异时,结论是容易的,而在有重根时,只需一个极限过程,逼近时,因而可以在一开始不妨设A特征根互异。
但在
下,没有定义距离也就没有收敛,这时要更本质的证明如下:
设
的伴随矩阵
,则
两边都在
环中,将A代入
中,左边=0,右边为
,
即
。
2. 利用多项式的性质
例3 根子空间分解定理的加强命题:
设
,且
互素,
,有
,
的意义如上例,显然
。
取
,则
。
容易得到若
得
。
在解决矩阵多项式有关的问题时,通常也要借助多项式本身的性质,如整除,辗转相除法。
例1的另证:
用
,故
。
同有
,使
。
又
,则
。
故
,证毕。