局域规范变换中协变导数D_μ的作用新探

A New Study on the Role of Covariant Derivative D_μ in Local Gauge Transformation

摘要: 局域规范变换通过协变导数引进规范场 体现电磁作用的理解是不准确的。其实，对自由带电粒子作局域规范变换时就引进了电磁场作用。通过协变导数引进规范场 是消除局域规范变换引进的电磁场作用。这是恢复带电粒子自由运动状态和洛仑兹协变，保证狄拉克方程形式不变性的物理数学操作。

Abstract: It is not accurate to say that electromagnetic action is represented by introducing gauge field through covariant derivative. In fact, the local gauge transformation of charged free particles in-troduces electromagnetic fields. The introduction of gauge field by covariant derivative eli-minates the effect of electromagnetic field introduced by local gauge transformation. This is a physical and mathematical operation to restore the free motion state of charged particles and Lo-rentz covariant to ensure the form invariance of Dirac equation.

1. 整体规范变换

对自由带电粒子 $\psi$ 、 $\bar{\psi }$ 和 ${\partial }_{\mu }\psi$ 做整体规范变换， $\alpha =$ 常数， ${\partial }_{\mu }\alpha =0$，有

$\psi \to {\psi }^{\prime }={\text{e}}^{-i\alpha }\psi$

$\bar{\psi }\to {\bar{\psi }}^{\prime }=\bar{\psi }{\text{e}}^i{}^{\alpha }$

${\partial }_{\mu }\psi \to {\partial }_{\mu }{\psi }^{\prime }={\text{e}}^{-i\alpha }{\partial }_{\mu }\psi$

$\psi$ 、 $\bar{\psi }$ 、 ${\partial }_{\mu }\psi$ 按相同规律变换。即可得到洛伦兹协变形式的狄拉克方程 [1]

$\left(i{r}^{\mu }{\partial }_{\mu }-m\right)\psi =0$

双4维时空量子力学中，波函数是物理波 [2] [3]。波函数乘上 $\alpha =$ 常数的相因子，实际就是在原来波函数相位上再加上一个固定的相因子 $\alpha$，得到的新波函数 ${\psi }^{\prime }$，波函数增加了一个初相，波函数之间(或叠加态本征态之间)仍然保持固定相差，是波函数全空间坐标平移。整体规范变换自由带电粒子不受力，仍作自由运动 [2]。波函数量子平行态的存在(量子测量前的U过程)，让狄拉克方程仍然成立。如果ψ(x)是自旋波函数，整体规范变换只是在自旋量子平行态之间增加一个固定相差，自旋与轨道没有偶合作用，电子仍然作自由运动。

2. 局域规范变换

上式中，若 $\alpha =\alpha \left(x\right)$，即所乘相位因子是时空坐标x的函数。对自由带电粒子的场量 $\psi$ 及其导数 ${\partial }_{\mu }\psi$ 做局域规范变换：

$\psi \to {\psi }^{\prime }={\text{e}}^{-i\alpha \left(x\right)}\psi$

$\bar{\psi }\to {\bar{\psi }}^{\prime }={\text{e}}^{i\alpha \left(x\right)}\bar{\psi }$

${\partial }_{\mu }\psi \to {\partial }_{\mu }{\psi }^{\prime }={\partial }_{\mu }\left[{\text{e}}^{-i\alpha \left(x\right)}\psi \right]={\text{e}}^{-i\alpha \left(x\right)}{\partial }_{\mu }\psi -i{\partial }_{\mu }\alpha \left(x\right){\text{e}}^{-i\alpha \left(x\right)}\psi \ne {\text{e}}^{-i\alpha \left(x\right)}{\partial }_{\mu }\psi$

由于 ${\partial }_{\mu }\alpha \left(x\right)\ne 0$，场量与场量导数的变换不一致，不能得到洛仑兹协变的狄拉克方程。分析发现，数学上，通过引入协变导数 $D_{\mu }$

${\partial }_{\mu }\to D_{\mu }={\partial }_{\mu }-ie{A}_{\mu }$

体现带电粒子与电磁场的作用，即可得到形式不变的狄拉克场方程：

$\left(i{r}^{\mu }{D}_{\mu }-m\right)\psi =0$

可见，通过协变导数引进规范场 $A_{\mu }$，体现电磁场与带电粒子之间的相互作用，就可实现局域规范变换规范不变性 [1]。

3. 规范变换协变导数的物理意义

我们认为，整体规范变换没有引进相互作用，带电粒子仍作自由运动。而作局域规范变换 $\alpha \left(x\right)\ne$ 常数，耦合势 $U={\text{e}}^{\alpha \left(x\right)}$ 就已经使自由带电粒子置于电磁场中，受到了相互作用 [2]。其实，局域规范变换就是一种量子测量作用。 $\alpha \left(x\right)\ne$ 常数， ${\text{e}}^{-i\alpha \left(x\right)}\psi$ 表明波函数之间(或叠加态本征态之间)固定相差不存在，纯态演变成混合态，相干性消失 [2]。自由带电粒子受到电磁力作用，作变速运动，在状态转变中，自由运动状态和洛仑兹协变遭到了破坏。量子测量的R过程即表现其中 [4]。因此，通过协变导数引进规范场 $A_{\mu }$ 是消除局域规范变换引进的电磁场作用，恢复带电粒子自由运动状态和洛仑兹协变，保证狄拉克场方程形式不变性的物理数学操作 [2]。这样，规范场论中通过协变导数引进规范场，保证流和荷的守恒，物理上也得到了合理解释 [5]。

对自旋波函数ψ(x)作局域规范变换，相当于自旋与轨道之间引进了偶合作用。氢原子轨道上电子在耦合势 $U={\text{e}}^{\alpha \left(x\right)}$ 的作用下，从自由电子纯态演变成自旋向上，自旋向下的混合态。测量中我们将观察到自旋向上，自旋向下的混合态电子轨道精细结构 [2] [5]。

对自旋波函数ψ(x)作局域规范变换就能体现自旋–轨道耦合作用。引进协变导数 $D_{\mu }$ 是消除自旋与轨道偶合作用。电子作自由运动，即可保证狄拉克场方程形式的不变性。狄拉克方程 [5] [6]

$\left(i{r}^{\mu }{D}_{\mu }-m\right)\psi =0$

成立。

量子色动力学也类似。在夸克与胶子场的作用中，数学上要用到群论。考虑到夸克、胶子场的物质实在性，及其相位的物理意义，量子色动力学完全可以做出相同的力学分析。夸克与胶子场的作用也是在局域规范变换中实现的，协变导数引进规范场也只是一种抵消作用 [1] [2]。夸克作自由运动，即可保证狄拉克场方程形式的不变性。

4. 结论

1) 通过协变导数引进规范场，让粒子作自由运动，能保证狄拉克方程形式不变。

2) 带电粒子作自由运动，就可以保证局域规范变换中封闭曲面流和荷的守恆。

3) 对自旋波函数ψ(x)作局域规范变换，自旋与轨道之间就引进了偶合作用。