1. 引言
本文中,采用了亚纯函数唯一性理论里面的基本符号和结论(参见 [1] [2])。若f与g为非常数亚纯函
数,以1为IM分担值,
表示f − 1与g − 1的公共零点、但f − 1的零点重数比g − 1的零点重数高者所成点列的精简密指量;
表示f − 1与g − 1的公共零点,但g − 1的零点重数比f − 1的零点重数高者所成点列的精简密指量;
表示当f − 1与g − 1的公共单零点列的密指量;
表示当f − 1与g − 1的重数相同且大于等于2的公共重零点者所成点列的精简密指量;
表示
的零点,但不是f(f −1)的零点,也不是f的极点者所成点列的密指量。
近百年来,亚纯函数在涉及分担值的研究,前人已经获得了许多研究成果。
1977年,L.A. Rubel和C.C. Yang首先研究了整函数与其一阶导数具有分担值时的关系,得到了以下结果:
定理A [3] 若非常数整函数f与
具有两个有穷的CM分担值,则
。
1979年,E. Mues和N. Steinmetz把定理A中的CM分担值的条件弱化为IM分担值,得到了下述结果:
定理B [4] 若非常数整函数f与
具有两个有穷的IM分担值,则
。
1980年,G.G. Gundersen把定理A中的整函数推广到亚纯函数,得到下述结果:
定理C [5] 若非常数亚纯函数f与
以0,
为CM分担值,其中
为非0的有穷复数,则
。
1983年,Mues和Steinmetz与Gundersen分别独立地把定理A扩展到亚纯函数,并且得到:
定理D [6] [7] 若非常数亚纯函数f与
具有两个有穷的CM分担值,则
。
1986年,G. Frank和G. Weissenborn将定理D中f的一阶导数变更为它的高阶导数并加强分担值条件,得到如下结果:
定理E [8] 若非常数亚纯函数f与
具有两个判别的异于零的有穷的CM分担值,则
。
同年,Frank和Weissenborn将定理E进一步推广,得到:
定理F [9] 若非常数亚纯函数f与
具有两个判别的有穷的CM分担值,则
。
1990年,杨连中推广了定理A,得到下述结果:
定理G [10] 若非常数整函数f与
具有两个判别的有穷的CM分担值,则
。
2000年,Li,P.和Yang把定理G中的CM分担值的条件改进为IM分担值,得到:
定理H [11] 若非常数整函数f与
具有两个有穷的IM分担值,则
。
在本文中,我们考虑将定理H中的整函数扩展到亚纯函数,并且在一定的约束条件下,证明了以下结果:
定理1 若f为非常数亚纯函数,若f与
(
为正整数)以0为CM分担值,以异于零的有穷复数
为IM分担值,
,则
。
定理2 若f与g是超越亚纯函数,
与
以1为IM分担值,
,
,则
或者
。
2. 引理
为了证明上述定理,需要做以下的准备:
引理1 [1] 若f为非常数亚纯函数,k为正整数,则
引理2 [12] 若f和g为非常数亚纯函数,1为f与g的IM分担值,则有
引理3 [1] 设
都是亚纯函数,
不为常数。如果
,且
,
其中
,
,
是
中具有无穷线性测度的一个集合,则
或
。
引理4 [1] 设f与g为两个非常数亚纯函数,若
为f与g的公共单重极点,则
。
3. 定理的证明
定理1的证明
不失一般性,不妨设
,假设
。
令
,则
我们断言
。事实上,若
,注意到如果
都为
与
的单重零点,由引理4得,
,从而有
(3.1)
由于
的极点只可能产生在f的极点、
与
的零点和
与
的重级不同的公共零点处,则
(3.2)
因为f与
以1为IM分担值,所以
由(3.1)及(3.2)得
而且
所以
由上式及Nevanlinna第二基本定理得:
由引理1,2得:
(3.3)
(3.4)
(3.5)
所以
可得
,即
,
与已知
矛盾。
所以
。
由于1为f与
的IM分担值可知,1为f与
的CM分担值。
即f与
以0,1为CM分担值,由定理F可知,结论得证。
定理2的证明
令
,即
,
则
。
由引理1,2得:
其中
。
因为
,所以
(3.6)
(3.7)
由(3.6)得
由(3.7)得
因为
,所以
所以
或者
。
若
,则
。
若
,则
。假设
,
则令
,
是一个至多为
次的多项式。
因为f与g是超越亚纯函数,由Nevanlinna第二基本定理得:
所以
可得
与已知
矛盾,于是
。