1. 引言
由于传感器不可避免地有滞后效应,输出时滞问题在实际控制问题中几乎无处不在。目前有很多方法处理输出时滞补偿问题。例如: [1] [2] [3] 和 [4] 等。时滞本质上是一个由一阶传播方程决定的无穷维动态系统。文献 [5] 将时滞转化为一阶双曲系统,使得偏微分方程的数学工具在时滞处理中有了用武之地。时滞的无穷维动态表示可以将带有输出时滞的观测器设计问题变成ODE和传播方程组成的级联系统的观测问题。
令
,
且
。考虑如下系统的观测问题:
(1)
其中u是控制,y是输出,
是时滞。文献 [4] 曾经给出了系统(1)的观测器,并且证明了其适定性。然而 [4] 并没有给出观测器的设计过程,并且在观测器适定性证明中采用了Lyapunov函数的方法。本文将引入新的变换,给出系统(1)的观测器设计步骤,使得观测器变得简单易懂。此外,本文在观测器的适定性证明中摆脱了Lyapunov函数的构造,使得证明过程更加简单,更易于推广到其他ODE-PDE级联系统的观测问题。如果令
(2)
则系统(1)可以写成
(3)
我们在状态空间
中考虑系统(3),其内积定义为:
(4)
2. 观测器设计及其适定性
首先考虑如下Luenberger型观测器:
(5)
其中
是待定的观测器增益。定义观测误差
(6)
直接计算可得:
(7)
只需选择
和
使得系统(7)稳定即可。为此我们引入如下变换
(8)
其中
是待定的向量值函数,
,
。简单计算可得,
(9)
且
(10)
如果选择G和
使得
且
(11)
则(9)和(10)简化为
(12)
解(11)中的向量值函数可得
从而
(13)
综合(7),(8)和(13)可得
(14)
于是综合(12)和(14)可得
(15)
如果选择
使得
是Hurwitz阵,则系统(15)是由两个指数稳定系统构成的串联系统,从而也是稳定的。
定理2.1. 令
且
。若系统
可观,则存在
和
使得系统(3)的观测器(5)是适定的,即:对任意的
,
和
,观测器(5)存在唯一解
满足
当
(16)
其中
是与时间t无关的常数。此外,调节参数
和
可以按照如下规则选取:
· 选择
使得
是Hurwitz阵;
· 令
。
证明. 由于系统
可观且
可逆,因此系统
也是可观的。于是存在
使得
是Hurwitz阵。令
,则观测器(5)变为:
(17)
考虑误差系统
(18)
注意到(8)和(13),变换
(19)
可以将误差系统(18)化为(15)。对任意的
,系统(15)存在唯一解
满足
(20)
由于
是Hurwitz阵,存在
使得系统(15)的解(20)满足
当
(21)
注意到变换(19)可逆,
(22)
综合可逆变换(19),(21)以及系统(18)和系统(15)之间的等价性可知:对任意的
,系统(18)存在唯一解
使得
当
, (23)
其中
是与时间无关的常数。
对任意的
和
,设
是系统(18)关于初值
(24)
的解。另一方面,对任意的
和
,系统(3)存在唯一解
。若令
(25)
则直接计算可得(25)定义的
是观测器(5)的解且满足(16)。由于观测器以及系统(3)的线性性质,观测器(5)的解是唯一的。
注记2.1. 设
使得
是Hurwitz阵,若令
,则
也是Hurwitz阵。令
。此时,观测器(5)变为
(26)
其中
使得
是Hurwitz阵。观测器(26)和文献 [4] 中的观测器类似。
3. 数值模拟
为了更直观的说明理论结果,我们对系统(3)的观测器(17)进行了数值模拟。我们采用有限差分的方法离散系统。时间、空间离散步长分别为0.001和0.01。观测系统(3)对应的矩阵为:
观测器增益为
,其中
,简单计算可知
。时滞参数选为
。系统(3)的初值选为
和
。观测器(17)的初值选为
和
。观测误差的仿真结果见图1和图2。从仿真结果可以看出时滞动态
和系统状态
都得到了有效的估计,这说明我们的观测器是有效的。
4. 总结
本文考虑带有输出时滞的线性系统的观测问题,给出了完整的观测器设计过程,得到了新的观测器。通过引入新的变换,观测器的设计过程变得自然易行,并且使得观测器的适定性证明摆脱了Lyapunov函数的构造。本文证明了观测器的适定性,并通过数值模拟验证了所得的理论结果。
基金项目
山西省基础研究计划(自由探索类)青年项目(20210302124688);山西省高等学校科技创新项目(2021L416)。