1. 引言
近似有效解一直是学者研究的重要邻域,自凌晨 [1] 在赋范向量空间引入ε-超有效解的概念以来,已有众多学者取得了一定的研究成果。邵建英 [2] 讨论了ε-超有效点在赋范线性空间的性质并证明了ε-超有效解集连通性;戎卫东,高彩霞 [3] 在广义锥次类凸的条件下讨论了赋范向量空间中ε-超有效点(解)集的连通性;刘涛 [4] 在目标映射为锥拟凸的条件下研究了ε-超有效解集的连通性;曹敏,汪洋 [5] 等在目标映射为C-弧连通且约束条件下证明了超有效解集的连通性。
可以看出,大部分学者都是研究ε-超有效解的连通性,且集值映射大多为无约束或由约束映射构成,在参数扰动下连通性的研究目前发现文献 [6] 有所涉及,本文主要研究在参数扰动下ε-超有效点集的连通性。文献 [3] 在近似广义C-次类凸的条件下建立了ε-超有效点的标量化定理,文献 [6] 研究了在参数扰动下强有效点的连通性,故本文借助文献 [3] ε-超有效点标量化的建立以及文献 [6] 如何在参数扰动下证明有效点的连通性,结合两篇文献的基础进行改进,在可行域为弧连通紧的,目标映射为弧连通的情况下且在参数扰动下,证明了带参数的ε-超有效点集的连通性。本文第一节介绍了几种常见的凸性假设以及所需的定义,第二节证明了ε-超有效点的标量化定理在参数扰动下仍旧成立并得到了带参数的ε-超有效点集非空且连通。
2. 基本知识
本文始终假设
为局部凸的Hausdorff拓扑线性空间,
为Y的拓扑对偶空间,
为Y的零点邻域基。
为具有非空内部的点闭凸锥,定义C的正对偶锥
,拟内部
。
为非空子集,
,
,
分别为D的闭包,内部,生成锥,并定义生成锥
。
锥C的凸子集B称为C的基,若满足两个条件:
(i)
;
(ii)
。
显然,(i)
且有基底的锥一定为点锥;
(ii)
有基;
(iii)
具有有界基。
接下来介绍几种常见的凸性假设。
定义1.1 设
为非空子集,
为点闭凸锥且
,集值映射
,
1) 若
,
,满足
,
则称F在A上为C-凸 [7] 的。
2) 若
,
,满足
,
则称F在A上为C-类凸 [8] 的。
3) 若
,
,
,
,满足
,
则称F在A上为C-次类凸 [9] 的。
4) 若
,
,
,
,
,满足
,
则称F在A上为广义C-次类凸 [10] 的。
5) 若
为凸集,则称F在A上为近似C-类凸 [11] 的。
6) 若
为凸集,则称F在A上为近似广义C-次类凸 [12] 的。
引理1.1 (i) F为C-类凸的
为凸集 [13]。
(ii) F为C-次类凸的
为凸集 [11]。
注1.1 若
为凸集,则C-类凸必为近似广义C-次类凸,且有以下推导关系:
为凸集
F为C-类凸
F为C-次类凸
F为近似C-类凸
F为近似C-次类凸。
证明:因为
为凸集,由引理1.1(i)可知F为C-类凸,而
,因此
也为凸集,因此F为C-次类凸的(由引理1.1(ii)可知)。同理,
为凸集可推得
为凸集,根据定义1.1(5)可知F为近似C-类凸,又因为
为凸集,因此
也为凸集,根据定义1.1(6)可知F为近似广义C-次类凸。
定义1.2 [14] 若
,存在连续映射
,使得
,
,则集合
被称为弧连通的。
定义1.3 [15] 设
是非空的弧连通集,若对于
,
,有
,则集值映射
称为C-弧连通的。
若对于
,
,有
,则集值映射
称为
-弧连通的。
引理1.2 [16] (i) 若集值映射
为C-弧连通的,则
为凸集。
(ii) F为C-弧连通
F为C-类凸。
引理1.3 [17] 设
均为弧连通空间,则积空间
也是弧连通空间。
定义1.4 [18] 假设
为拓扑空间,
为集值映射,
,若对于Y中的任意开集V,都有
,存在x在X中的开邻域U,对于
有
,则称F在x处为上半连续的,若F对于X上每一点都是上半连续的,则称F在X上是上半连续的。
同理,若对于Y中的任意开集V,且
,存在x在X中的开邻域U,对于
有
,则称F在x处为下半连续的,若F对于X上每一点都是下半连续的,则称F在X上是下半连续的。
显然,若F在x处既为上半连续的又为上半连续的,则称F在x处为连续的;F在X上每一点都是连续的,则称F在X上是连续的。
引理1.4 [18] 假设
均为集值映射,若F和G在X上都是上半连续的,则
在X上也为上半连续的;同理,若F和G在X上都是下半连续的,则
在X上也为下半连续的。很显然,若F和G在X上都是连续的,则
在X上也为连续的。
引理1.5 [19]
为连通集,若满足以下条件:
(i)
为非空的连通集;
(ii) 对于
,连通集
非空;
(iii) 集值映射
在U上是上半连续的。
引理1.6 [20] 令
是Hausdorff拓扑空间,当X是紧的,集值映射
上半连续,并且对于任意的
,
为紧的,则
是紧的。
引理1.7 [17] 设X是局部凸空间,则
有界的充分必要条件是
有界,其中
为X上弱拓扑相应的局部凸空间。
3. 带参数的ε-超有效点集的连通性
设
,
分别为非空子集,
为集值映射,
为含有参数
的集值映射,且对于
,
,
,
。
考虑以下带参数的集值向量优化问题(SVOP):
.
令
,且无特别说明,
,
均定义在
上。
定义2.1 [4] 设
,
,B是C中的有界基,若
,
,使得
,
则称
为D的关于锥C的ε-超有效点,记为
。
定义2.2 设
,
且为具有有界基B的点闭凸锥,
为Y中的零点邻域基,
,若
,
使得
则称
为(SVOP)中的含参ε-超有效解,
为(SVOP)中的含参ε-超有效点,并且(SVOP)中含参ε-超有效点全体记作
。
接下来考虑由(SVOP)诱导的标量优化问题
:
,
.
定义2.3 [21] 设
,
,
,
称为
的ε-最优解,
称为
的ε-最优元,如果存在
,使得
,
, (1)
将所有满足(1)式的点的集合称为(SVOP)的最优点集,用
表示。
引理2.1 [3] 设
,
,B是C的有界基且C为点闭凸锥,若
在A上为近似广义C-次类凸,则
.
引理2.2 [2] 设
为C中有有界基的闭锥,
为非空的弱紧集,则
,
。
引理2.3 设
是局部凸Hausdoff拓扑线性空间,C为Y中的点闭凸锥且具有有界基B,
,
均为非空的弧连通集,同时E为紧子集。若满足以下条件:
(i)
是上半连续的集值映射且在
上取弱紧值。(Y上的拓扑为弱拓扑
)。
(ii)
为集值映射,且
,
是非空的紧子集。
(iii) F与H均为C-弧连通的。
则
,
,
且
非空。
证明:由于
均为弧连通集,根据引理1.3可知
为弧连通集,同理
也为弧连通集。又因为集值映射F在
上为C-弧连通集,故F在
也为C-弧连通集,根据引理1.2(i)可知
为凸集,且F在
为C-类凸,再根据注1.1可推得F在
为近似广义C-次类凸,因此
在
也为近似广义C-次类凸,根据引理2.1可知
.
再证
非空。
因为集值映射
为上半连续的,故
也是上半连续的。又因为F在
上取弱紧值,故F在
上也取弱紧值,根据引理1.6可知
为拓扑空间
上的弱紧集,又因为
为凸集,因此
是C-凸集,故
非空,即
为非空弱紧集。由引理2.1可知
,
。
引理2.4 设
等均与引理2.3一致,则
,
为非空的连通集。
证明:引理2.3已经证得
,故只需证明其为连通集。
定义集值映射
,
,则
.
根据引理1.5分以下三部分证明:
(i) 证明
为非空的连通集。
因为凸集一定为连通集,因此证明
为连通集,只需证明其为凸集即可。令
,
,
,
,使得
,
,有
,
.
再令
,对于
,
,有
因此
,故
为凸集,很显然
,故
为非空的连通集。
(ii) 证明
,
为连通集。
设
,存在
,
,使得
,
,
. (2)
因为
是弧连通集,故存在一个连续映射
,使得
,
。
又因为
在
上是弧连通的,故
,
,
,
,使得
,由
,
及(2)式可知,
有
,
故
,有
,因此
为凸集,即为连通集。
(iii) 证明集值映射
是上半连续的(其中
的拓扑为强拓扑
)。
由于
为弱紧集,易知对于
,
。(其中
上的拓扑为强拓扑
),假设T在
上不是上半连续的,则存在
,使得T在
上不是上半连续的。根据定义1.4可知存在
的邻域V,使得对
的任意邻域U,都存在
,满足
。
以及存在网
,使得
,满足
(关于强拓扑
),且有
,
。于是存在网
,有
,且
,
。由于
可以取
,使得
。又因为
为弱紧集,网
有收敛子序列,故取网
收敛,使得
。而V是开集,故
,由
可知
且
,
有
. (3)
又因为
在Hausdoff空间中为弱紧集,故
是闭集,因此有
。令(3)中的
得到
,
.
故
,与
矛盾,因此
在
为上半连续。
根据引理1.5,引理2.3及上述证明可以得出
为非空连通集。
定理2.1 设
是局部凸Hausdoff拓扑线性空间,
为非空的弧连通紧子集,
为非空的弧连通集,C为Y中的点闭凸锥且具有有界基B,若满足以下条件:
(i)
是上半连续的集值映射且在
上取弱紧值。(Y上的拓扑为弱拓扑
)。
(ii)
为集值映射,且
,
是非空的紧子集。
(iii) F与H均为C-弧连通的。
(iv)
,
,(
为关于强拓扑
的紧子集),则
是非空的连通集。
证明:首先引理2.3已证得
,
,故
.
再证
的连通性,定义集值映射
,使得
.
由引理2.4已知
是连通集,故
是连通的,又因为
是弧连通的,因此
也是连通的,根据引理1.5只需再证得
是上半连续的即可证明
是连通集。
使用反证法证明,假设
,使得映射
不是上半连续的。则存在
的弱开邻域
及网
,且有
,使得
,
,
因此存在网
,使得
,
,
. (4)
因为
是紧的且网
,故假设
使得
。由于
和
是连续的集值映射,则
和
均上半连续且下半连续,根据引理1.4可知
,
上半连续且下半连续,因此
,
,满足
。又因为
,因此
,使
成立,根据定义2.3,
,有
. (5)
由引理2.3可知
是弱紧的,故
也是弱紧的。又因为
是上半连续的,因此假设
,使得
。设
,易知Q也是弱紧的,且弱有界,由引理1.7可知Q为有界集。记
,
,
其中
为
上的连续半范。由
可知,
,当
时,有
.
故
,
,有
。由(5)得
,
. (6)
又由于
,故
,使得
,
. (7)
结合(6)和(7),
,
,有
,
因此有
,
同理可得
.
对(5)式两边同时取极限可得
,
,
故
。由于
是弱开邻域,
,因此
,使得
,
,与(4)式相矛盾,故
在
上是上半连续的。
综上所述,根据引理1.5可知
为连通集。
基金项目
国家自然科学基金(11061023);江西省自然科学基金(2010GZS0176)。
NOTES
*通讯作者。