1. 引言
弱链对角占优矩阵在现代经济学、网络、信息论和算法设计等领域都有着广泛的应用。从1974年开始,众多学者对弱链对角占优M-矩阵的逆矩阵的无穷范数的上界估计进行了广泛研究,得到了一些不同的估计结果并将其进行了应用(见文献 [1] - [8])。本文将通过定义关于弱链对角占优M-矩阵A的元素的新参数,同时结合
的元素,从新的角度给出弱链对角占优M-矩阵
的新上界估计式,并验证结果的有效性。
表示n阶复(实)矩阵集,设
,
,为方便叙述给出下列符号:
定义1 [1] 设
,若
,有
,
,且
,
,有
,(
),
,
,则称A为弱链对角占优矩阵。
定义2 [1] 设
,若
,则称A为M-矩阵;若
,有
,则称A为L-矩阵。弱链对角占优L-矩阵为M-矩阵。
定义3 [1] 设
,A为弱链对角占优矩阵,若
,
,则称A为弱链对角占优矩阵M-矩阵。
引理1 [1] 设A为n阶弱链对角占优M-矩阵,则
为弱链对角占优M-矩阵。
引理2 [1] 若
为弱链对角占优M-矩阵,
,
,
,则
引理3 [1] 若
为弱链对角占优M-矩阵,
,则
,
,有
引理4 [2] 若
为弱链对角占优M-矩阵,且
,那么存在一个N的置换
,使得对所有的
,有
引理5 若
为弱链对角占优M-矩阵,
,
,满足
,则
证明
因A为M-矩阵,则
,设
,其中
,
,因为
,
,则
对
,
,有
当
时,
;当
时,
,即
再由
,
,有
引理6 设
为弱链对角占优M-矩阵,且
,对
,
,有
证明
根据引理3,设
其中
足够小,使得
。
设
显然,当
时,
是弱链对角占优矩阵,且当
时,
是严格对角占优矩阵,所以,
一定是一个弱链对角占优矩阵,从而
也就是
当
时,得
2. 主要结果
1974年,P N Shivakumar在文献 [1] 中给出弱链对角占优M-矩阵A的
的上界:
(1)
2012年,潘淑珍在文献 [3] 中给出优于文献 [1] 的弱链对角占优M-矩阵A的
的上界估计式:
(2)
其中
本文继续给出弱链对角占优M-矩阵A的
的新上界估计式。
2.1. 定理1
设
为弱链对角占优M-矩阵,
,
,
,
,满足
,则
证明
记
,
,
,即
,
,由引理2和引理5可得
(3)
对
,由引理3知,
对
,由引理6知,
则
(4)
由(3)式和(4)式可得
2.2. 定理2
设
为弱链对角占优M-矩阵,且对
,有
,则
(5)
证明
设A为弱链对角占优M-矩阵,对
,
,
为弱链对角占优M-矩阵,由定理1关于k对
做数学归纳法可得。
注
设
为弱链对角占优M-矩阵,且对
,满足
,由
,
,
表达式可知
,
,那么(5)式中
的上界小于等于(2)式中的上界,即
3. 数值算例
例1设
,易得到A为弱链对角占优M-矩阵,
。
应用(1)式得
应用(2)式得
应用定理2得
例2 设
易得到A为弱链对角占优M-矩阵,
。
应用(1)式得
应用(2)式得
应用定理2得
4. 结论
理论证明本文所得弱链对角占优M-矩阵逆矩阵无穷范数的新上界估计式优于文献 [1] [3] 中的结果,数值算例亦说明了本文所得新上界估计式的有效性和可行性。
致谢
感谢莫宏敏老师对本篇论文的悉心指导和帮助。
基金项目
吉首大学研究生科研项目(JDY21012)。
NOTES
*通讯作者。