差分方程x_n+1=x_n/(p+x_n-1)的动力学性质

Dynamics of the Difference Equation x_n+1=x_n/(p+x_n-1)

摘要: 本文讨论了差分方程x_n+1=x_n/(p+x_n-1)(p≥0, n≥2)的动力学性质，其中参数p是非负数，初始值x₁>0, x₂>0。在一定的条件下，方程的正解的渐近稳定性得到了证明。

Abstract: This paper considers the difference equation x_n+1=x_n/(p+x_n-1)(p≥0, n≥2) with the initial values x₁>0, x₂>0. The asymptotic stability of the positive solutions is proved under some assumptions.

文章引用：邓绍高, 朱立军. 差分方程x_n+1=x_n/(p+x_n-1)的动力学性质[J]. 应用数学进展, 2018, 7(11): 1402-1404. https://doi.org/10.12677/AAM.2018.711163

1. 引言

差分方程来源于递推关系，在各种实际问题中有着广泛的应用。同时在微分方程的数值求解中，需要通过对微分方程的离散化得到差分方程(参见 [1] [2] )。因此，非线性差分方程成了近年来的研究热点之一，比如文献 [3] [4] [5] 。

本文将考虑具有非负参数的差分方程：

$x_{n+1}=x_n/\left(p+x_{n-1}\right)$ (1.1)

的正解在一定的条件下的收敛性和周期性。其中，，初始值 $x_1>0,x_2>0$ 。

设函数 $f\left(x,y\right)=x/\left(p+y\right)\left(p>0,x>0,y>0\right)$ ，则差分方程

$x_{n+1}=f\left(x_n,x_{n-1}\right)\left(n\ge 2\right)$ (1.2)

在平衡点 $\beta$ 的线性化方程的特征方程为(相关的概念参见 [1] [2] )：

${\lambda }^2-f_x\left(\beta ,\beta \right)\lambda -f_y\left(\beta ,\beta \right)=0$ (1.3)

引理1.1：若方程(1.3)的全部特征根的模都小于1，则方程(1.2)的平衡点 $\beta$ 是(局部)渐近稳定的；若方程(1.3)至少有一个特征根的模大于1，则方程(1.2)的平衡点 $\beta$ 是不稳定的(参见 [1] [2] )。

2. 主要结果

首先，我们考虑 $p>0$ 为正数时的情形。

定理2.1：差分方程(1.1)在 $p>0$ 时，其平衡点及其稳定性依赖于 $p$ 的值。即：

1) 当 $p\ge 1$ 时，有唯一的平衡点 $\beta =0$ ，且是全局(渐近)稳定的；

2) 当 $0<p<1$ 时，有两个平衡点 $\beta =0$ 和 $\beta =1-p$ ，其中 $\beta =0$ 是不稳定的，而 $\beta =1-p$ 是(渐近)稳定的。

证明：因为 $p>0,x_1>0,x_2>0$ ，由数学归纳法可得 $x_n>0\left(n\ge 1\right)$ 。

1) 当 $p\ge 1,n\ge 2$ 时， $x_{n+1}/x_n=1/\left(p+x_{n-1}\right)<1/p\le 1$ ，

即方程(1.1)的解 $\left\{x_n\right\}$ 单调递减。

从而存在 $\beta \ge 0$ ，使得： $x_n\to \beta \left(n\to \infty \right)$ 。

另一方面，对方程(1.1)两边取极限可求得：

$\beta =0或\beta =1-p\left(当p>1时舍去\right)$

从而得唯一的平衡点 $\beta =0$ 。

由于解的收敛性不依赖于对初值的选取。所以，该平衡点是全局(渐近)稳定的。

2) 当 $0<p<1$ 时，令 $x_n\equiv \beta$ ，可得：

$\beta =0或\beta =1-p>0$

此时，方程(1.1)有两个平衡点 $\beta =0$ 和 $\beta =1-p$ 。

令 $f\left(x,y\right)=x/\left(p+y\right)$ ，则：

$f_x\left(x,y\right)=1/\left(p+y\right)$ ， $f_y\left(x,y\right)={-x/\left(p+y\right)}^2$

当 $\beta =0$ 时， $f_x\left(\beta ,\beta \right)=1/p$ ， $f_y\left(\beta ,\beta \right)=0$ 。

所以，方程(1.1)的线性化方程的特征方程 ${\lambda }^2-\lambda /p=0$ 的特征根为：

${\lambda }_1=0,{\lambda }_2=1/p>1$

故，平衡点 $\beta =0$ 是不稳定的。

当 $\beta =1-p$ 时， $f_x\left(\beta ,\beta \right)=1$ ， $f_y\left(\beta ,\beta \right)=p-1$ 。

同上，方程(1.1)的线性化方程的特征方程 ${\lambda }^2-\lambda -\left(p-1\right)=0$ 的特征根满足：

$0<{\lambda }_1=\left(1-\sqrt{4p-3}\right)/2\le {\lambda }_2=\left(1+\sqrt{4p-3}\right)/2<1\left(当3/4\le p<1时\right)$ ；

${\Vert {\lambda }_1\Vert }^2={\Vert {\lambda }_2\Vert }^2={\lambda }_1{\lambda }_2=1-p<1\left(当0<p<3/4时\right)$ 。

由此可知，平衡点 $\beta =1-p$ 是(渐近)稳定的。证毕。

其次，我们来考虑 $p=0$ 时，其解是否收敛。

设初始值 $x_1=a>0,x_2=b>0$ ，容易得到：

$x_3=b/a,x_4=1/a,x_5=1/b,x_6=a/b,x_7=a,x_8=b\cdots \cdots$

定理2.2：差分方程(1.1)在 $p=0$ 时，其解 $\left\{x_n\right\}$ 在一般的情况下是六周期解(即 $x_{n+6}=x_n$ )。即解 $\left\{x_n\right\}$ 是振荡的，也就是没有平衡点。

注释2.1：在差分方程(1.1)中，如果将参数 $p$ 推广成一般的序列 $\left\{p_n\right\}$ 则结论就会有所不同.

基金项目

中央高校基本科研业务费专项资金(2682018ZT25)资助(Supported by the Fundamental Research Funds for the Central Universities (2682018ZT25))；宁夏自然科学基金项目(NZ17015)；国家自然科学基金项目(61362033)；四川省科技厅基础研究计划项目(2011JYZ002)；西南交通大学本科教育教学研究与改革项目(1804171)。

NOTES

^*通讯作者。

参考文献

[1]	周义仓, 曹慧, 肖燕妮. 差分方程及其应用[M]. 北京: 科学出版社, 2014.
[2]	Elaydi, S. (2005) An Introduction to Difference Equations. 3rd Edition, Springer-Verlag, New York.
[3]	Amleh, A.M., Grove, E.A., Ladas, G. and Georgiou, D.A. (1999) On the Recursive Sequence . Journal of Mathematical Analysis and Applica-tions, 233, 790-798. https://doi.org/10.1006/jmaa.1999.6346
[4]	徐胜荣, 王希超, 周营营. 一类差分方程的稳定性研究[J]. 山东农业大学学报(自然科学版), 2013, 44(4):624-629.
[5]	韩彩虹, 李 略, 黄荣里. 差分方程 的动力学性质[J]. 广西师范大学学报(自然科学版), 2013, 31(1): 44-47.

1. 引言

差分方程来源于递推关系，在各种实际问题中有着广泛的应用。同时在微分方程的数值求解中，需要通过对微分方程的离散化得到差分方程(参见 [1] [2] )。因此，非线性差分方程成了近年来的研究热点之一，比如文献 [3] [4] [5] 。

本文将考虑具有非负参数的差分方程：

$x_{n+1}=x_n/\left(p+x_{n-1}\right)$ (1.1)

的正解在一定的条件下的收敛性和周期性。其中，，初始值 $x_1>0,x_2>0$ 。

设函数 $f\left(x,y\right)=x/\left(p+y\right)\left(p>0,x>0,y>0\right)$ ，则差分方程

$x_{n+1}=f\left(x_n,x_{n-1}\right)\left(n\ge 2\right)$ (1.2)

在平衡点 $\beta$ 的线性化方程的特征方程为(相关的概念参见 [1] [2] )：

${\lambda }^2-f_x\left(\beta ,\beta \right)\lambda -f_y\left(\beta ,\beta \right)=0$ (1.3)

引理1.1：若方程(1.3)的全部特征根的模都小于1，则方程(1.2)的平衡点 $\beta$ 是(局部)渐近稳定的；若方程(1.3)至少有一个特征根的模大于1，则方程(1.2)的平衡点 $\beta$ 是不稳定的(参见 [1] [2] )。

2. 主要结果

首先，我们考虑 $p>0$ 为正数时的情形。

定理2.1：差分方程(1.1)在 $p>0$ 时，其平衡点及其稳定性依赖于 $p$ 的值。即：

1) 当 $p\ge 1$ 时，有唯一的平衡点 $\beta =0$ ，且是全局(渐近)稳定的；

2) 当 $0<p<1$ 时，有两个平衡点 $\beta =0$ 和 $\beta =1-p$ ，其中 $\beta =0$ 是不稳定的，而 $\beta =1-p$ 是(渐近)稳定的。

证明：因为 $p>0,x_1>0,x_2>0$ ，由数学归纳法可得 $x_n>0\left(n\ge 1\right)$ 。

1) 当 $p\ge 1,n\ge 2$ 时， $x_{n+1}/x_n=1/\left(p+x_{n-1}\right)<1/p\le 1$ ，

即方程(1.1)的解 $\left\{x_n\right\}$ 单调递减。

从而存在 $\beta \ge 0$ ，使得： $x_n\to \beta \left(n\to \infty \right)$ 。

另一方面，对方程(1.1)两边取极限可求得：

$\beta =0或\beta =1-p\left(当p>1时舍去\right)$

从而得唯一的平衡点 $\beta =0$ 。

由于解的收敛性不依赖于对初值的选取。所以，该平衡点是全局(渐近)稳定的。

2) 当 $0<p<1$ 时，令 $x_n\equiv \beta$ ，可得：

$\beta =0或\beta =1-p>0$

此时，方程(1.1)有两个平衡点 $\beta =0$ 和 $\beta =1-p$ 。

令 $f\left(x,y\right)=x/\left(p+y\right)$ ，则：

$f_x\left(x,y\right)=1/\left(p+y\right)$ ， $f_y\left(x,y\right)={-x/\left(p+y\right)}^2$

当 $\beta =0$ 时， $f_x\left(\beta ,\beta \right)=1/p$ ， $f_y\left(\beta ,\beta \right)=0$ 。

所以，方程(1.1)的线性化方程的特征方程 ${\lambda }^2-\lambda /p=0$ 的特征根为：

${\lambda }_1=0,{\lambda }_2=1/p>1$

故，平衡点 $\beta =0$ 是不稳定的。

当 $\beta =1-p$ 时， $f_x\left(\beta ,\beta \right)=1$ ， $f_y\left(\beta ,\beta \right)=p-1$ 。

同上，方程(1.1)的线性化方程的特征方程 ${\lambda }^2-\lambda -\left(p-1\right)=0$ 的特征根满足：

$0<{\lambda }_1=\left(1-\sqrt{4p-3}\right)/2\le {\lambda }_2=\left(1+\sqrt{4p-3}\right)/2<1\left(当3/4\le p<1时\right)$ ；

${\Vert {\lambda }_1\Vert }^2={\Vert {\lambda }_2\Vert }^2={\lambda }_1{\lambda }_2=1-p<1\left(当0<p<3/4时\right)$ 。

由此可知，平衡点 $\beta =1-p$ 是(渐近)稳定的。证毕。

其次，我们来考虑 $p=0$ 时，其解是否收敛。

设初始值 $x_1=a>0,x_2=b>0$ ，容易得到：

$x_3=b/a,x_4=1/a,x_5=1/b,x_6=a/b,x_7=a,x_8=b\cdots \cdots$

定理2.2：差分方程(1.1)在 $p=0$ 时，其解 $\left\{x_n\right\}$ 在一般的情况下是六周期解(即 $x_{n+6}=x_n$ )。即解 $\left\{x_n\right\}$ 是振荡的，也就是没有平衡点。

注释2.1：在差分方程(1.1)中，如果将参数 $p$ 推广成一般的序列 $\left\{p_n\right\}$ 则结论就会有所不同.

基金项目

中央高校基本科研业务费专项资金(2682018ZT25)资助(Supported by the Fundamental Research Funds for the Central Universities (2682018ZT25))；宁夏自然科学基金项目(NZ17015)；国家自然科学基金项目(61362033)；四川省科技厅基础研究计划项目(2011JYZ002)；西南交通大学本科教育教学研究与改革项目(1804171)。

NOTES

^*通讯作者。