AAM  >> Vol. 7 No. 2 (February 2018)

    一类状态脉冲反馈控制下的营养盐–浮游植物动力系统的相关动力学分析
    Related Dynamic Analysis of a Nutrient-Phytoplankton Dynamic System under State Impulsive Feedback Control

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作者:  

段 涵:温州大学,浙江 温州

关键词:
浮游植物脉冲周期解稳定性Phytoplankton Impulsive Periodic Solution Stability

摘要:

基于状态脉冲反馈控制理论与非线性动力系统理论,本文在动态建模过程中引入Michaelis-Menten功能反应函数来刻画浮游植物与营养盐的相互作用机制,构建了一类状态脉冲反馈控制下的营养盐–浮游植物动力系统,对所建动力系统进行一些定性分析,建立了该动力系统阶-1周期解的存在性、唯一性和轨道渐近稳定的理论判据,这些研究工作为全面研究状态脉冲反馈控制理论在水体富营养化防治中的应用提供理论支撑。

On the basis of state impulsive feedback control theory and nonlinear dynamic system theory, the Michaelis-Menten functional response function is introduced to describe the interaction mechanism of phytoplankton and nutrients in the process of dynamic modeling; a nutrient-phytoplankton dynamic system under state impulsive feedback control has been structured. Some qualitative analysis of the dynamic system has been investigated to establish some theoretical criterions for the existence, uniqueness and asymptotic stability of the order-1 periodic solution. The research work can provide a theoretical support for the comprehensive study of the application of state impulsive feedback control theory to the prevention and control of eutrophication in water body.

1. 引言

在海洋生态系统中,浮游生物处于所有水生生物组成的食物链中的最末端,且将矿物质营养转化为可供其它生物生存的原始生物原料。在实验性生物数学研究中,研究者已经开始对浮游植物和营养盐之间的关系和重要性进行了相关研究 [1] [2] [3] [4] [5] 。近年来,人们发现当大量的营养物质被投放到水体中,水体环境会发生变化,由于营养物质的大量供给,浮游植物会不断繁殖,导致了水体富营养化,使得水中大量鱼死亡、环境污染,甚至威胁到人类的健康 [6] - [15] 。因为,水体富营养化防治与预测问题已成为国内外重要的环境问题之一,迫切需要有效地解决方案。

许多研究者建立了数学模型来研究生物种群动力学问题,其目的是为了探讨如何通过数学方法精确地描述水体富营养化问题,进而提出相应的预测与防治策略 [16] 。论文 [17] 构建了一类水生生态系统中的氮-磷-浮游植物动力学新模型,通过Lyapunov function理论讨论系统平衡点的存在性和稳定性。论文 [18] 提出了一类具有self and cross扩散的有毒浮游植物-浮游动物动力学新模型,对其平衡点的局部存在性和全局稳定性进行系统研究。Smith等人 [19] 研究了一个具有状态脉冲反馈控制的半循环发酵模型,并利用Floquet理论得到了阶-1周期解的稳定判据。在论文 [20] 中,作者建立了一个具有脉冲反馈控制的浮游植物-浮游动物动力学新模型,利用后继函数研究了阶-1周期解和阶-2周期解的存在性。在论文 [21] 中,作者研究了系统在脉冲反馈控制下阶-1周期解的存在性,并通过微分方程几何理论和后继函数证明了阶-1周期解的存在性。在论文 [22] 中,作者研究了具有脉冲反馈控制的浮游植物-鱼类动力学新模型,并利用后继函数研究了阶-1周期解的存在性,并在极限环稳定性理论的基础上探讨了阶-1周期解的稳定性。

近年来,脉冲微分方程理论已得到了更深度地发展,许多学者在研究时都会考虑脉冲带来的影响作用 [23] [24] [25] 。实际上,状态脉冲微分方程在许多领域都有广泛的应用,且人类对自然资源的管理与开发都是离散的,而且还是瞬时完成的,从而在瞬时时刻也破坏了原有生态种群的固有状态,因此把这种瞬间扰动用脉冲微分方程来表示更加契合实际 [26] - [31] 。在论文 [32] 中,作者构建了一类恒化器下的状态脉冲反馈方程,并利用后继函数和庞加莱映射得到了系统阶-1周期解的存在性与稳定性。在论文 [33] 中,作者研究了一类乙醇抑制下的状态脉冲反馈控制的非线性模型,利用半连续动力系统证明了阶-1周期解和阶-2周期解的的存在性。

基于以上讨论结果,本论文考虑一类带有Michaelis-Menten功能反应项的两种群脉冲动力系统:

{ d x d t = I α x y β + x q x d y d t = ε α x y β + x m y } y < h Δ x = q x Δ y = δ y } y = h (1)

其中 x y 分别代表营养盐的浓度和浮游植物在时刻 t 的种群密度。假设所有参数都为正数且有 q ( 0 , 1 ) , h > 0 , δ > 0 Δ x ( t ) = x ( t + ) x ( t ) Δ y ( t ) = y ( t + ) y ( t ) I 表示流入到系统中的营养盐浓度; q 代表营养盐的流失率;Michaelis-Menten功能反应函数可表示为 α x β + x ;其中 β 代表半饱和参数, ε 代表浮游植物对营养盐的摄入率; m 代表浮游植物的死亡率。当浮游植物的数量在 t h 时刻达到了阈值 h ,就会采取控制策略使得营养盐浓度和浮游植物种群密度分别变成 ( 1 q ) x ( t h ) ( 1 δ ) h

在系统(1)中,当不考虑脉冲效应时,计算得到系统的平衡点有: E 0 = ( I / q , 0 ) E * = ( x * , y * ) ,其中 x * = β m / ( ε α m ) y * = ε m ( I ε α m I q β m ) 。显然, E 0 总是存在的;通过 [34] 可知,在满足 m < I α ε / ( I + β q ) 时, E * 是存在的。

2. 模型和准备

对于系统(1),脉冲集 M = { ( x , y ) R + 2 | y = h , x 0 }

脉冲映射:

φ : ( x , y ) M ( x , ( 1 p ) y ) R + 2 ,

相集:

N = φ ( M ) = { ( x , y ) R + 2 | y = ( 1 p ) h , x 0 } .

定义2.1 [35] 若系统的轨迹始于点 C ( x C , ( 1 p ) h ) N 交脉冲集 M 于点 C ( x C , h ) ,接着跳到点 C 1 ( x C 1 , ( 1 p ) h ) N ,于是称点 C 1 为点 C 的后继点,表达式 g ( C ) = x C 1 x C 称作点 C 的后继函数。

引理2.1 [35] 对于系统(1),假设 A ( x A , ( 1 p ) h ) B ( x B , ( 1 p ) h ) 为相集 N 中的两点,它们的后继点分别为 A 1 ( x A 1 , ( 1 p ) h ) B 1 ( x B 1 , ( 1 p ) h ) 。若满足条件 g ( A ) g ( B ) < 0 ,则系统(1)存在一个阶1-周期解,其中 g ( A ) 为其后继函数。

定义2.2 (轨道稳定性) z * ( t ) 称作轨道稳定,如果满足:对于给定的 ε > 0 ,存在 δ = δ ( ε ) > 0 ,使得对于系统(1)任意的解 z ( t ) 都满足: | z * ( t ) z ( t ) | < δ ,于是当 t > t 0

d ( z ( t ) , O ( z 0 , t 0 ) ) < ε

为了讨论(1)的稳定性,定义向量场的两个横截面 Σ p = { ( x , y ) : x 0 , y = ( 1 q ) h } Σ h = { ( x , y ) : x 0 , y = h } 。假设系统(1)的轨道 O + ( S n , t n ) ,以 S n ( x n , h ) 为起点,在脉冲效应的作用下,轨道跳到 Σ p 上的 S n + ( ( 1 + p ) x n , h ) ,然后又回到 Σ h 上的点 S n + 1 ( x n + 1 , h ) 处。其中 x n + 1 x n 和参数 p 决定。所以,可以定义 Σ h 上庞加莱映射: x n + 1 = F ( p , x n )

3. 正周期解的存在性与稳定性

情形 h y *

定理3.1 若满足条件 h y * ,系统(1)存在一个唯一的阶-1周期解且是轨道渐近稳定。

证明:若条件 h y * 成立,则可得到关系: ( 1 p ) h y * 。从而得到直线 y = h 位于 y = y * y = ( 1 p ) h

等倾线 I α x y β + x q x = 0 与两直线 y = h y = ( 1 p ) h 分别交于 C 0 B 。从 C 0 作一条垂直于 y = ( 1 p ) h 的直线,并交于 C C 1 C 的后继点, B 1 B 的后继点。根据轨迹的趋势可知, C 1 必定位于 C 的右边, B 1 必定位于 B 的左边。固有 x C 1 > x C x B 1 < x B ,后继函数表达式为: g ( C ) = x C 1 x C > 0 , g ( B ) = x B 1 x B < 0 ,因此必定存在一点 H 满足 g ( H ) = 0 ,由引理2.1知:系统(1)存在一个位于 C B 之间的阶-1周期解。

接下来证明阶-1周期解的唯一性和轨道渐近稳定性。

根据上面分析知:轨迹从点 C 1 出发,交脉冲集 M 于点 C 2 ,接着跳到后继点 C 3 。根据轨迹的趋势,点 C 3 必定会位于 C 1 的右方;因此有: x C 3 > x C 1

C 3 出发的轨迹交脉冲集 M 于点 C 4 ,接着跳到后继点 C 5 ,而 C 5 必定位于 C 3 的右边,因此有 x C 5 > x C 3 。因此可得两个序列:

x C , x C 2 , x C 4 , , x C 2 n , M ,

x C 1 , x C 3 , x C 5 , , x C 2 n 1 , N .

类似地,从 B 1 开始的轨迹,也可得到两个序列:

x B ' , x B 2 , x B 4 , , x B 2 n , M ,

x B 1 , x B 3 , x B 5 , , x B 2 n 1 , N .

根据系统(1)的前两个方程知:线段 C B 映射到线段 C B 。由于脉冲效应,线段 C B 映射到线段 C 1 B 1 。因而知道

( x C , x B ) ( x C 1 , x B 1 ) , d ( C , B ) d ( C 1 , B 1 ) .

根据以上分析过程可知:

x C 1 < x C 3 < < x C 2 n 1 < < x H < x B 2 n 1 < < x B 3 < x B 1 ,

lim n d ( C 2 n 1 , B 2 n 1 ) = 0

利用数学分析中的闭区间套定理知,系统(1)存在唯一的阶-1周期解,且满足:

lim n x C 2 n 1 = x H , lim n x B 2 n 1 = x H .

H 足够小的邻域内,选取任意一点 Q 0 (不同于 H ),不失一般性,假设 x C < x Q 0 < x H (否则 x H < x Q 0 < x B ,证明方法同理)。

根据序列 { x C 2 n 1 } 的单调性,必存在整数 l 使得: x C 2 l + 1 < x Q 0 < x C 2 l + 3 < x H

开始于 Q 0 的轨迹与脉冲集 M 相遇后跳到点 Q 1 (相互独立的轨迹不会相交),因此 Q 1 必定位于 C 2 l + 3 C 2 l + 5 之间,且有 x C 2 l + 3 < x Q 1 < x C 2 l + 5 Q 1 的后继点表示为 Q 2 Q 2 必定位于 C 2 l + 5 C 2 l + 7 之间,且满足 x C 2 l + 5 < x Q 2 < x C 2 l + 7 。根据以上分析过程,得到序列: { Q k } N , k = 0 , 1 , 2 , 满足以下条件:

1) Q k 位于 C 2 l + 2 k + 1 C 2 l + 2 k + 3 之间;

2) x C 2 l + 2 k + 1 < x Q k < x C 2 l + 2 k + 3

因此, lim k x C k 1 = lim k x C 2 l + 2 k + 1 = x H

综上,由于连续脉冲效应,相点的后继点都被吸引到 H 周围,而由 Q 0 的任意性可知,系统(1)的阶-1周期解为轨道渐近稳定。

完证。

情形2 h y *

考虑到系统相空间的几何构建,有一个轨道 τ N D 1 , D 2 ( x 1 < x 2 ) ,并与 M 交于 D 3 ,其中 D 1 ( x 1 , ( 1 q ) h ) , D 2 ( x 2 , ( 1 q ) h ) 。所以对于系统(1)始于 E 1 ( x , ( 1 p ) h ) 的轨道不会与 M 相交。

假若系统(1)有一个轨道从 E ( x ˜ , ( 1 q ) ) ( x ˜ ( 0 , x ˜ 2 ) { x ˜ 1 } ) 由于脉冲效应会与 Σ h 相交无数次,其中 h y * 。假设 O + ( E , t 0 ) Σ h 交于 ( x 0 , h ) ( x 0 ( 0 , x * ) ) 。由于脉冲效应可知: x 1 = F ( q , x 0 ) x 2 = F ( q , x 0 ) 。重复以上的过程得到, x n + 1 = F ( q , x n ) ( n = 1 , 2 , ) 。另一方面,对于 Σ h 上的任意两点 A i ( x i , h ) A j ( x j , h ) x i x j 满足: x i , x j ( 0 , x * ) x i < x j 。由于脉冲效应,点 A i + ( ( 1 + p ) x i , ( 1 q ) h ) A j + ( ( 1 + p ) x j , ( 1 q ) h ) 均在 D 2 的右侧。因此,可得

0 < x j + 1 < x i + 1 < x * (2)

假设轨道始于 E 1 ( x , ( 1 p ) h ) ,与 Σ h 第一次相交于 E 2 ( x 0 , h ) x 0 ( 0 , x * ] ,若 x 0 = x * x = ( 1 + q ) x 0 ,则系统(1)有正阶-1周期解。且对于任意从 O + ( E 1 , t 0 ) 出发的轨道都不会与 Σ h 相交。因此,从 Σ h 的庞加莱映射,得出 x 1 = F ( q , x 0 ) x 2 = F ( q , x 0 ) 。重复上面的过程,得到: x n + 1 = F ( q , x n ) ( n = 3 , 4 , ) 。特别地,若 x 0 = x 1 ,则系统(1)有正阶-1周期解;若 x 0 x 1 ,且 x 0 = x 2 ,则系统(1)有阶-2周期解。

(a) 若 x 0 < x 1 ,由(2)得 x 1 > x 2 ,在这种情形下, x 0 , x 1 , x 2 的关系有如下两种情况:

(i) x 2 < x 0 < x 1

x 2 < x 0 < x 1 ,则有 x 3 > x 1 > x 2 。由(2)重复以上的过程得到:

0 < < x 2 n < < x 2 < x 0 < x 1 < < x 2 n + 1 < < x * .

(ii) x 0 < x 2 < x 1

x 0 < x 2 < x 1 ,类比(i),得到:

x 0 < x 2 < < x 2 n < < x 2 n + 1 < < x 3 < x 1 < x * .

(b) 若 x 0 > x 1 ,由(2)可得 x 1 < x 2 ,这种情形下, x 0 , x 1 , x 2 的关系有如下两种:

(i) x 1 < x 0 < x 2

x 1 < x 0 < x 2 ,则有 x 2 > x 1 > x 3 ,由(2),并重复以上过程得到:

0 < < x 2 n + 1 < < x 1 < x 0 < x 2 < < x 2 n < < x * .

(ii) x 1 < x 2 < x 0

x 1 < x 2 < x 0 ,类比(i)得到:

0 < x 1 < < x 2 n + 1 < < x 2 n < < x 2 < x 0 < x * .

因此,当出现情形(a)中的(i)时可知: lim n x 2 n = ρ 2 lim n x 2 n + 1 = ρ 1 ,且满足: 0 < ρ 2 < ρ 1 < x * 。因此,

可得 ρ 1 = F ( q , ρ 2 ) ρ 2 = F ( q , ρ 1 ) ,也易得到,系统(1)有一个阶-2轨道渐近稳定的正周期解。类似地,当出现(a)中的(ii)和(b)中的(ii)这两种情形时,系统(1)有一个阶-1轨道渐近稳定周期解;当出现(b)中的(i)时,系统(1)有一个阶-2轨道渐近稳定周期解。

4. 结论

本文建立了一类状态脉冲反馈控制下的营养盐–浮游植物的动力系统,对该系统进行了相关定性分析,探讨了该系统阶-1正周期解的存在性、唯一性和轨道渐近稳定性。这些研究工作为全面研究状态脉冲反馈控制理论在水体富营养化防治中的应用提供理论支撑。

致 谢

首先,我向我的导师赵敏教授表达我最诚挚的谢意!感谢老师对我的论文细致而又严谨的指导,感谢老师对我生活及学习上无微不至的关怀。

其次,感谢我们实验室的于恒国师兄和戴传军师兄,感谢你们一直以来在实验室对我问题的细致引导、鼓励和解答,使我对我们专业有了更深更细致的理解。

最后,感谢温州大学数学与信息科学院的各位老师和领导,感谢他们的教导和帮助。同时感谢赵敏导师国家自然科学基金面上项目(KZ1111021)的资助。

文章引用:
段涵. 一类状态脉冲反馈控制下的营养盐–浮游植物动力系统的相关动力学分析[J]. 应用数学进展, 2018, 7(2): 145-151. https://doi.org/10.12677/AAM.2018.72018

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