1. 引言
在相对论中,一个粒子的四维速度u与它受到的四维力f之间具有正交性 [1]
(1)
这里下标
,重复的下标代表求和(爱因斯坦求和约定)。这个正交性是由于四维速度的模
是一个常量所致,即
(2)
任何力都不能改变四维速度的模
而只能改变四维速度的方向 [2] [3] 。
一个粒子的四维速度u与它受到的四维力f正交,那么在电磁学和电动力学中这个粒子的经典速度矢量
与它受到的经典力
矢量是否会正交或垂直?那么,从相对论四维空间变换到我们比较熟悉的三维空间,
,力的方向是如何变换的呢?这些问题没有一个简单的答案,也没有文献专门讨论这个问题。所以,本文有必要详细讨论四维空间中力的方向问题。
2. 四维空间中力的方向
在相对论四维空间
中,考虑两个带电粒子q和
,它们之间的电磁相互作用四维力为f;这两个粒子的位置在x和
,它们的四维速度为u和
,用m代表粒子q的质量。显然,粒子q是在粒子
产生的电场
和磁场
中运动。如图1所示,注意,图中用欧几里得矢量垂直表示了四维空间
的矢量正交,以显示正交的直观性。
在四维力f在R和
构成的平面内,我们假定可以把四维力f的表达式写成
(3)
R和
是我们选择的两个基矢,如图1所示,要求
是为了后面讨论的方便,并且定义
。C和D是相对于这两个基矢的展开系数。使用四维速度u与四维力f的正交性,我们有
(4)
消去系数C,方程(3)变成
(5)
这样,四维速度u与四维力f的正交性就决定了四维力f的方向。四维力f方向的单位矢量
是
Figure 1. The particle positions, the orthogonality of 4-vector velocity and 4-vector force in the four dimensional space-time
图1. 四维空间中的两个粒子的相对位置,四维速度与四维力正交(图中用“垂直”来代表“正交”)
(6)
设四维速度u与
之间的夹角为
,很容易验算如下:
(7)
(8)
知道了四维力f方向的单位矢量,那么这两个粒子之间的电磁相互作用的四维力f的一般表达式为
(9)
3. 四维空间中库仑力的方向
现在具体讨论这两个粒子之间的库仑力,假设库仑力的大小就是四维力f的模
(10)
那么,四维空间中库仑力的表达式为
(11)
(12)
利用电动力学中的一个常用公式
(13)
方程(12)可以写成
(14)
根据电动力学中的常用书写格式,把方程(14)的四维库仑力f的公式整理成为
(15)
这样我们就对四维库仑力f有了一个熟悉而又直观的认识:A是粒子
产生的四维电磁矢势;四维库仑力与相对论Lorentz力
在形式上保持一致;在四维空间中可以从库仑力推导出相对论的Lorentz力。
4. 四维空间中的Maxwell方程组
就这两个粒子而言,我们在选择基矢R的时候,要求
,即它们正交,并且定义
。如图1所示,我们有
(16)
所以
(17)
我们知道,方程(17)就是Lorentz规范条件(Lorentz gauge condition)。而我们又知道数学公式
(18)
这样,我们就计算出
(19)
这里定义
作为粒子
的电流密度矢量,也就是说
(20)
把方程(15)中的
代入下式,交换下标并求和,就得到
(21)
方程(20)和方程(21)构成了Maxwell方程组。
把上面讨论的两个粒子模型应用到连续介质中去。如图2所示,粒子q是在附近电路产生的电场
和磁场
中运动。作用在粒子q上的四维电磁矢势A包含电路中所有载流子的贡献,它们是线性叠加的,有
Figure 2. The electromagnetic 4-vector potential near a circuit where the Maxwell equations hold
图2. 一个电路在其附近产生四维电磁矢势,而Maxwell方程组仍然成立
(22)
那么,在这个电路附近,使用方程(22),Maxwell方程组仍然成立
(23)
(24)
在这一小节,我们证明了,四维速度u与四维力f的正交性与Maxwell方程组之间存在内在联系。可见,四维力方向涉及到电磁场理论的全局,在确定四维力方向的时候绝对不能出错。这是一种分析Maxwell方程组的新方法。
5. 教学应用:四维空间中的Lienard-Wiechert势
从Maxwell方程组我们知道,在图1中的两个粒子之间,电磁相互作用从粒子
传播到粒子q需要一个延迟时间
,我们把两个粒子的模型重新画在图3中。
在图3中,这个延迟时间
,对应着从
与R相交点出发沿R方向到达q点的距离,图3中上边的那段虚线指示这段距离,这段距离通过下式计算出
(25)
这个延迟时间
,也对应着从
出发沿
方向到达与R相交之点的距离,图3中左边的那段虚线指示这段距离。把
投影到
的模
方向上(注意,这个模是虚数),通过下式计算出这段距离
(26)
所以,把式(26)代入式(25),我们有
(27)
A是粒子
产生的四维电磁矢势,从新写成
Figure 3. The particle positions in the four dimensional space-time
图3. 四维空间中的两个粒子的相对位置
(28)
这就Lienard-Wiechert势,它包含了延迟时间
(retardation time)。当初我们在选定基矢R的时候要求
,显然是考虑到这里的延迟时间
机制,说明我们选择的基矢是合理的和自洽的。
6. 教学应用:从四维空间变换到我们比较熟悉的三维空间
从相对论四维空间变换到我们比较熟悉的三维空间,力的方向是如何变换的呢?我们下面给出的变换步骤可以帮助看清这一点。
第一步,四维电磁矢势A要用电场E和磁场B表示。
(29)
第二步,这样,力就可以写成Lorentz力的形式。
(30)
四维力的第四分量表示电场对粒子q做功的功率。可见,一个粒子的四维速度u与它受到的四维力f正交,并不意味着在电磁学和电动力学中这个粒子的经典速度矢量v与它受到的经典力f矢量正交或垂直。但是四维速度与四维力的正交性具有丰富的内涵,这是本文讨论的重点。
第三步,Maxwell方程组,即方程(20)和方程(21),要用电场E和磁场B表示,参见教材 [1] [4] [5] 。这样,我们就从相对论四维空间变换到我们比较熟悉的三维空间,以及得到我们比较熟悉的经典电磁学Maxwell方程组 [1] [4] [5] :
(31)
总之,在电磁学和电动力学教学中,如果从四维速度与四维力正交性出发,能够更好地理解相对论与Maxwell方程组之间的关系。
7. 结论
本文详细讨论四维空间中力的方向问题。根据四维速度与四维力的正交性,推导出了四维空间中库仑力的相对论表达式,由此推导出了相对论Lorentz力,并详细讨论它与Maxwell方程组的关系;本文指出这些推导形成了一种分析Maxwell方程组的新方法。在电磁学和电动力学教学中,如果从四维速度与四维力正交性出发,能够更好地理解相对论与Maxwell方程组之间的关系。
参考文献