PM  >> Vol. 8 No. 3 (May 2018)

    奇异k-Hessian方程的多个径向解
    Many Radial Solutions of Singular k-Hessian Equations

  • 全文下载: PDF(531KB) HTML   XML   PP.289-295   DOI: 10.12677/PM.2018.83038  
  • 下载量: 435  浏览量: 1,678   国家自然科学基金支持

作者:  

孙华远,冯美强:北京信息科技大学理学院,北京

关键词:
k-Hessian方程奇异权函数多个径向解存在性不动点指数定理k-Hessian Equation Singular Weight Function Many Radial Solutions Existence Fixed Point Index Theory

摘要:

本文研究奇异k-Hessian方程多个非平凡径向解的存在性: 其中, 是k-Hessian算子,B表示RN (N≥2)中的单位球。研究的主要意义在于权函数 在B的边界上无界,并且证明上述k-Hessian有多个非平凡解。研究方法主要采用不动点指数定理。

We prove that many nontrivial radial solutions exist for the singular k-Hessian problem Here is the k-Hessian operator, and B is the unit ball in RN (N≥2) . The main interest is that the weight function is unbounded as , and many nontrivial radial solutions to the above k-Hessian problem are derived. Our approach to show existence and multiplicity, exploits fixed point index theory.

1. 引言

K-Hession问题源自几何学,流体力学和其他应用学科。例如,当k = N时,k-Hessian问题可以表示Weingarten曲率或者是反射面形状,参见文献 [1] 。近年来,越来越多作者开始研究k-Hessian问题,并取得了很多优秀的成果,详见文献 [2] - [12] 。

k-Hessian方程的一般形式如下:

{ S k ( D 2 u ) = H ( x ) f ( u ) , x Ω , u = 0 , x Ω .

其中 k = { 1 , 2 , , N }

S k ( D 2 u ) = P k ( Λ ) = 1 i 1 < < i k N λ i 1 λ i k ,

Λ = ( λ 1 , λ 2 , , λ N ) 是Hessian矩阵 D 2 u 的特征值。在文献 [13] [14] 中,Wang证明了 P k ( Λ ) 表示 Λ 中的第k个初等对称多项式。

不难看出,k-Hessian算子是一族算子,包括Laplace算子(当k = 1时)和Monge-Ampère算子(当k = N时),以及其他著名算子。

近几年来,有许多人研究了k-Hessian问题径向解的存在性,包括Clement et al. [15] ,Wang和An [16] ,Wang [17] ,Han,Ma和Dai [18] (当k = N时),Sánchez和Vergara [6] [19] (当 1 k < N / 2 时),Jacobsen [20] (当 1 k < N 时)、Escuder和Torres [21] (当 2 k < N 时)。其中,权函数H和非线性项ƒ都是特殊情形,而没有对它们的一般情形进行讨论。

本文考虑奇异k-Hessian方程

{ S k ( D 2 u ) = H ( | x | ) f ( u ) , x B , u = 0 , x B . (1.1)

多个非平凡径向解的存在性。其中, k { 1 , 2 , , N } , S k ( D 2 u ) 是k-Hessian算子,B表示 R N ( N 2 ) 中的单位球,f是连续函数。

目前对于问题(1.1)的特殊情况,已有不少结果。例如,Zhang和Zhou在文献 [22] 中证明了当权函数H连续且f是连续的增函数时,问题(1.1)有一个径向解。Wei在文献 [23] 中考虑了权函数H恒为1的情况,通过运用Pohozaev型恒等式和单调分离法证明了问题(1.1)满足如下条件时至多有一个径向解:

1) f C 2 ( [ 0 , + ) ) , f ( 0 ) = 0 , f ( s ) > 0 ( 0 s < + )

2) s f ( s ) > k f ( s ) ( s < 0 )

3) s f ( s ) < k f ( s ) ( s < 0 )

基于上述文献的工作,本文主要研究问题(1.1)多个径向解的存在性。我们注意到这可能是第一次讨论k-Hessian方程存在多个径向解的结果,尤其是当权函数H在单位球边界无界时,这方面的结果更少。

2. 几个引理

为了证明我们的主要结论,本节给出几个引理。

首先,考虑k-Hessian算子的径向坐标形式

S k ( D 2 u ) = C N 1 k 1 t 1 N ( t N k k ( u ) k ) , t = | x | , x R N .

进而,我们可以把问题(1.1)写成如下形式:

{ C N 1 k 1 t 1 N ( t N k k ( u ) k ) = λ H ( t ) f ( u ) , 0 < t < 1 , u ( 0 ) = 0 , u ( 1 ) = 0. (2.1)

令v=-u,则问题(2.1)可化为定义在[0,1]上的如下问题:

{ C N 1 k 1 t 1 N ( t N k k ( v ) k ) = λ H ( t ) f ( v ) , 0 < t < 1 , v ( 0 ) = 0 , v ( 1 ) = 0. (2.2)

这里 k = { 1 , 2 , , N } 。在本文中,我们假定H和f满足下述条件

(H1) f C ( R + , R + ) ,其中 R + = [ 0 , + )

(H2) 非负函数 H C ( [ 0 , 1 ) ) 0 1 H ( t ) d t < + ,且其在[0,1]任意子区间上不恒为0。

由(2.1)和(2.2)式可以得到引理2.1。

引理2.1:假定条件(H1)和(H2)成立,则有

1) 如果v(t)是问题(2.2)的一个解,那么 u ( t ) = v ( t ) 也是问题(2.1)在J上的一个解;

2) 如果u(t)是问题(2.1)的一个解,那么 v ( t ) = u ( t ) 也是问题(2.2)在J上的一个解。

接下来将研究问题(2.2)正解的存在性。

本文是基于 E = C [ 0 , 1 ] 空间进行讨论的。显然,E是实的Banach空间,其范数 定义为

v = max t J | v ( t ) | 。如果 v C 2 ( 0 , 1 ) C 1 [ 0 , 1 ) ,且满足(2.2)式,那么称v是问题(2.2)的解。

通过直接计算可以得到下述结论。

引理2.2:假定条件(H1)和(H2)成立,则v是问题(2.2)的解当且仅当 v E 是下述方程的解

v ( t ) = t 1 ( 0 τ k τ k N s N 1 ( C N 1 k 1 ) 1 H ( s ) f v ( s ) d s ) 1 k d τ (2.3)

并且

min t J θ v ( t ) θ v , (2.4)

其中, θ ( 0 , 1 2 ) J θ = [ θ , 1 θ ]

为了估计问题(2.2)的多个正解的存在性,我们构造E上的锥K如下:

K = { v E : v 0 , min v ( t ) θ v t J θ } .

对正实数 ρ ,我们同样可以定义

Ω ρ = { v K : min t J v ( t ) < γ ρ } = { v E : γ v min v ( t ) < γ ρ t J θ } .

下面的结论的证明请参考文献( [24] ,引理2.5,p. 693)。

引理2.3:( [24] 的引理2.5) Ω ρ 有如下性质:

1) Ω ρ 是K中开集;

2) K γ ρ Ω ρ K ρ

3) v Ω ρ min t J θ v ( t ) = γ ρ

4) 如果 v Ω ρ ,则有

定义算子 T : K E 为:

( T v ) ( t ) = t 1 ( 0 τ k τ k N s N 1 ( C N 1 k 1 ) 1 H ( s ) f ( v ( s ) ) d s ) 1 k d τ (2.5)

由文献 [16] 和简单推导可以得到:

引理2.4:假定条件(H1)和(H2)成立,则算子 T : K K 是全连续的。

引理2.5:( [24] 的引理2.4)设K是实Banach空间X上的锥,D是X的开子集满足 D k = D K D k ¯ K 。假定算子 A : D k ¯ K 是全连续的且 x A x ( x D k ) ,则下列结论成立:

1) 如果对 x D k , A x x ,则 i k ( A , D k ) = 1

2) 如果 使得对 x D k λ > 0 x A x + λ e 成立,则 i k ( A , D k ) = 0

3) 设U是K中的开集且 U ¯ D k 。如果 i k ( A , D k ) = 1 i k ( A , U k ) = 0 ,则A在 D k \ U k ¯ 上有一个不动点。如果条件为 i k ( A , D k ) = 0 i k ( A , U k ) = 1 ,则结论也成立。

3. 主要结论

为了简单起见,定义一些在证明过程中要用到的符号:

d = 0 1 H ( s ) d s , d * = θ 1 θ H ( s ) d s , f γ ρ ρ = min { f ( v ) ρ k : v [ γ ρ , ρ ] } ;

f 0 ρ = max { f ( v ) ρ k : v [ 0 , ρ ] } , f ρ = lim v α f ( v ) v k ( α : = 0 + ) ;

1 l = { d k ( C N 1 k 1 ) 1 } 1 k k 2 k N , 1 L = { d * k ( C N 1 k 1 ) 1 } 1 k k 2 k N [ 1 ( 1 θ ) 2 k N k ] .

定理3.1:假定条件(H1)和(H2), k > N 2 ,并且下列条件之一成立:

(H3)存在 ρ 1 , ρ 2 , ρ 3 ( 0 , + ) ,且 ρ 1 < γ ρ 2 , ρ 2 < ρ 3 使得

f 0 ρ 1 > l k , f γ ρ 2 ρ 2 < L k , f 0 ρ 3 > l k ,

(H4)存在 ρ 1 , ρ 2 , ρ 3 ( 0 , + ) ,且 ρ 1 < ρ 2 < ρ 3 使得

f γ ρ 1 ρ 1 > L k , f 0 ρ 2 < l k , f γ ρ 3 ρ 3 > L k ,

则下述结论成立:

1) 问题(2.2)至少有两个正解 v 1 , v 2 满足 v 1 Ω ρ 2 \ K ρ 1 ¯ , v 2 K ρ 3 \ Ω ρ 2 ¯

2) 问题(1.1)至少有两个非平凡径向解 u 1 , u 2 满足 u 1 = v 1 , u 2 = v 2

证明:这里我们只考虑条件(H3)成立的情况。如果条件(H4)成立的情况,那么证明过程和条件(H3)成立时的证明类似。

首先,我们证明 i k ( T , K ρ 1 ) = 1 。实际上,由(2.5)中的 f 0 ρ 1 < l k 知,对 v K ρ 1 ,有

( T v ) ( t ) = t 1 ( 0 τ k τ k N s N 1 ( C N 1 k 1 ) 1 H ( s ) f ( v ( s ) ) d s ) 1 k d τ 0 1 ( 0 1 k τ k N s N 1 ( C N 1 k 1 ) 1 H ( s ) f ( v ( s ) ) d s ) 1 k d τ < 0 1 ( 0 1 k τ k N s N 1 ( C N 1 k 1 ) 1 H ( s ) l k ρ 1 k d s ) 1 k d τ = ( k ( C N 1 k 1 ) 1 ) 1 k l ρ 1 0 1 τ k N k d τ ( 0 1 s N 1 H ( s ) d s ) 1 k ( k ( C N 1 k 1 ) 1 ) 1 k l ρ 1 0 1 τ k N k d τ ( 0 1 H ( s ) d s ) 1 k = ( d k ( C N 1 k 1 ) 1 ) 1 k l ρ 1 k 2 k N ,

即对 v K ρ 1 T v < v 。由引理2.5的结论(1)可得 i k ( T , K ρ 1 ) = 1

其次证明 i k ( T , Ω ρ 2 ) = 0

e ( t ) 1 ,则 e K 1 。事实上,有

v T v + λ e , v Ω ρ 2 , λ > 0 ,

若不然,则存在 v 0 Ω ρ 2 λ 0 > 0 使得

v 0 = T v 0 + λ 0 e . (3.1)

那么,根据引理2.3和式3.1有

v 0 = T v 0 + λ 0 e γ T v 0 + λ 0 e γ 1 θ 1 ( θ 1 θ k τ k N s N 1 ( C N 1 k 1 ) 1 H ( s ) f ( v 0 ( s ) ) d s ) 1 k d τ + λ 0 > γ L ρ 2 1 θ 1 ( θ 1 θ k τ k N s N 1 ( C N 1 k 1 ) 1 H ( s ) d s ) 1 k d τ + λ 0 = γ L ρ 2 ( k ( C N 1 k 1 ) 1 ) 1 k 1 θ 1 τ k N k d τ ( θ 1 θ s N 1 H ( s ) d s ) 1 k + λ 0

γ L ρ 2 ( k ( C N 1 k 1 ) 1 ) 1 k 1 θ 1 τ k N k d τ ( θ 1 θ H ( s ) d s ) 1 k + λ 0 = γ L ρ 2 ( k ( C N 1 k 1 ) 1 ) 1 k k 2 k N [ 1 ( 1 θ ) 2 k N k ] + λ 0 = γ ρ 2 + λ 0 ,

这说明 γ ρ 2 > γ ρ 2 + λ 0 ,显然矛盾。所以由引理2.5的结论(2)可以得出 i k ( T , Ω ρ 2 ) = 0

最后,我们类似地可以证明 i k ( T , K ρ 3 ) = 1 。由于 ρ 1 < γ ρ 2 ,可以推出 K ρ 1 ¯ K γ ρ 2 Ω ρ 2 。因此,利用引理2.5可以得到问题(2.2)含有至少有2个正解 v 1 , v 2 ,且有 v 1 Ω ρ 2 \ K ρ 1 ¯ , v 2 Ω ρ 3 \ K ρ 2 ¯ 。再由 v = u 得到问题(1.1)至少存在两个非负径向解,满足 u 1 = v 1 , u 2 = v 2

若(H4)成立时,我们同样可以证明定理3.1成立。证毕。

注释3.1:从定理3.1的证明中可以看出,问题(2.2)在 K ρ 1 上有第三个非负解 v 3 ,进而得到问题(1.1)存在第三个径向解 u 3 。由于 v 3 K ρ 1 ,所以 u 3 可能是平凡的径向解。

定理3.1:的可以推广到多解的情况。

定理3.2:假定条件(H1)和(H2)成立,且 k > N 2 ,则有如下结论:

1) 如果存在 { ρ i } i = 1 2 m 0 ( 0 , + ) , 满足 ρ 1 < γ ρ 2 < ρ 2 < ρ 3 < γ ρ 4 < < ρ 2 m 0 ,使得

f 0 ρ 2 m 1 < l k , f γ ρ 2 m ρ 2 m > L k , m = 1 , 2 , , m 0 ,

则有

i) 问题(2.2)在K中至少有2m0个正解,

ii) 问题(1.1)至少有2m0个非负径向解。

2) 如果存在 { ρ i } i = 1 2 m 0 ( 0 , ) , 满足 ρ 1 < ρ 2 ρ 2 < γ ρ 3 < ρ 3 < ρ 4 < γ ρ 5 < < ρ 2 m 0 + 2 ,使得

f γ ρ 2 m 1 ρ 2 m 1 < L k , f 0 ρ m k > l k , m = 1 , 2 , , m 0 ,

则有

i) 问题(2.2)在K中至少有2m0-1个正解,

ii) 问题(1.1)至少有2m0-1个非负径向解。

基金项目

本文由国家自然科学基金(11301178),北京市自然科学基金(1163007)和北京市教育委员会科技面上基金(KM201611232017)资助。

文章引用:
孙华远, 冯美强. 奇异k-Hessian方程的多个径向解[J]. 理论数学, 2018, 8(3): 289-295. https://doi.org/10.12677/PM.2018.83038

参考文献

[1] Trudinger, N. and Wang, X. (2008) The Monge-Ampère Equation and Its Geometric Applications. Handbook of Geometric Analysis, 1, 467-524. http://pdfs.semanticscholar.org/3e98/fded69b4c929d882393a609831df67a48e92.pdf
[2] Brandolini, B. (2013) On the Symmetry of Solutions to a k-Hessian Type Equation. Advanced Nonlinear Studies, 13, 487-493.
https://doi.org/10.1515/ans-2013-0213
[3] Della Pietra, F. and Gavitone, N. (2014) Upper Bounds for the Eigenvalues of Hessian Equations. Annali di Matematica Pura ed Applicata, 193, 923-938.
https://doi.org/10.1007/s10231-012-0307-5
[4] Gavitone, N. (2009) Isoperimetric Estimates for Eigenfunctions of Hessian Operators. Ricerche di Matematica, 58, 163-183.
https://doi.org/10.1007/s11587-009-0058-9
[5] Zhang, X. and Feng, M. (2018) Boundary Blow-Up Solutions to the k-Hessian Equation with Singular Weights. Nonlinear Analysis, 167, 51-66.
https://doi.org/10.1016/j.na.2017.11.001
[6] Sánchez, J. and Vergara, V. (2016) Bounded Solutions of a k-Hessian Equation in a Ball. Journal of Differential Equations, 261, 797-820.
https://doi.org/10.1016/j.jde.2016.03.021
[7] Nakamori, S. and Takimoto, K. (2015) A Ernstein Type Theorem for Parabolic k-Hessian Equations. Nonlinear Analysis, 117, 211-220.
https://doi.org/10.1016/j.na.2015.01.010
[8] Wang, Q. and Xu, C.-J. (2014) C1;1 Solution of the Dirichlet Problem for Dege-nerate k-Hessian Equations. Nonlinear Analysis, 104, 133-146.
https://doi.org/10.1016/j.na.2014.03.016
[9] Huang, Y. (2010) Boundary Asymptotical Behavior of Large Solutions to Hessian Equations. Pacific Journal of Mathematics, 244, 85-98.
https://doi.org/10.2140/pjm.2010.244.85
[10] Dai, L. and Bao, J. (2011) On Uniqueness and Existence of Viscosity Solutions to Hessian Equations in Exterior Domains. Frontiers of Mathematics in China, 6, 221-230.
https://doi.org/10.1007/s11464-011-0109-x
[11] Wang, C. and Bao, J. (2013) Necessary and Sufficient Conditions on Existence and Convexity of Solutions for Dirichlet Problems of Hessian Equations on Exterior Domains. Proceedings of the American Mathematical Society, 141, 1289-1296.
https://doi.org/10.1090/S0002-9939-2012-11738-1
[12] Urbas, J.I.E. (1990) On the Existence of Nonclassical Solutions for Two Classes of Fully Nonlinear Elliptic Equations. Indiana University Mathematics Journal, 39, 355-382.
https://doi.org/10.1512/iumj.1990.39.39020
[13] Wang, X.-J. (1994) A Class of Fully Nonlinear Elliptic Equations and Related Functionals. Indiana University Mathematics Journal, 43, 25-54.
https://doi.org/10.1512/iumj.1994.43.43002
[14] Wang, X.-J. (2009) The k-Hessian Equation, in: Geometric Analysis and PDEs. Lecture Notes in Mathematics, 1977, 177-252.
https://doi.org/10.1007/978-3-642-01674-5_5
[15] Clément, P., De Fi-gueiredo, D.G. and Mitidieri, E. (1996) Quasilinear Elliptic Equations with Critical Exponents. Topological Methods in Nonlinear Analysis, 7, 133-170.
https://doi.org/10.12775/TMNA.1996.006
[16] Wang, F. and An, Y. (2012) Triple Nontrivial Radial Convex Solutions of Systems of Monge-Ampère Equations. Applied Mathematics Letters, 25, 88-92.
https://doi.org/10.1016/j.aml.2011.07.016
[17] Wang, H. (2006) Convex Solutions of Boundary Value Problems. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 318, 246-252.
https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2005.05.067
[18] Han, X., Ma, R. and Dai, G. (2015) Eigenvalue, Bifurcation and Convex Solutions for Monge-Ampère Equations. Topological Methods in Nonlinear Analysis, 45, 135-164.
https://doi.org/10.12775/TMNA.2015.041
[19] Sánchez, J. and Vergara, V. (2017) Bounded Solutions of a k-Hessian Equation Involving a Weighted Nonlinear Source. Journal of Differential Equations, 263, 687-708.
https://doi.org/10.1016/j.jde.2017.02.047
[20] Jacobsen, J. (1999) Global Bifurcation Problems Associated with k-Hessian Op-erators. Topological Methods in Nonlinear Analysis, 14, 81-130.
https://doi.org/10.1016/j.jde.2017.02.047
[21] Escudero, C. and Torres, P.J. (2015) Existence of Radial Solutions to Biharmonic K-Hessian Equations. Journal of Differential Equations, 259, 2732-2761.
https://doi.org/10.1016/j.jde.2015.04.001
[22] Zhang, Z. and Zhou, Y. (2015) Existence of Entire Positive k-Convex Radial Solutions to Hessian Equations and Systems with Weights. Applied Mathematics Letters, 50, 48-55.
https://doi.org/10.1016/j.aml.2015.05.018
[23] Wei, W. (2016) Uniqueness Theorems for Negative Radial Solutions of k-Hessian Equations in a Ball. Journal of Differential Equations, 261, 3756-3771.
https://doi.org/10.1016/j.jde.2016.06.004
[24] Lan, K. (2001) Multive Positive Solutions of Semilinear Differential Equations with Singularities. Journal of the London Mathematical Society, 63, 690-704.
https://doi.org/10.1112/S002461070100206X