1. 引言和主要结果
本文使用值分布理论的标准记号,对于亚纯函数
,用
分别表示亚纯函数
的级、下级。
定义1:亚纯函数
的级、下级、零点收敛指数和极点收敛指数定义如下:
定义2:亚纯函数
的超级、超下级分别定义为:
定义3:集合
,则E的Lebesgue线性测度为
。
集合
,则F的对数测度为
。
集合
的上密度和下密度定义如下:
集合
的上对数密度和下对数密度定义如下:
关于线性微分方程
(1.1)
解的增长性问题,主要有以下几个重要的结果,其中
是整函数。
定理A [1] :设
是整函数,满足
,则方程(1.1)的非平凡解是无穷级。
定理B [1] :设
是整函数,满足
,则方程(1.1)的非平凡解是无穷级。
现在的主要问题是:若主导系数为中间的系数
且
,方程(1.1)的非平凡解是否是无穷级?
在定理A,定理B之后也出现了很多结果,文献 [2] 中证明了如下结果:
定理C [2] :设
是整函数,满足
,则微分方程(1.1)的每个非平凡解
满足
。
定理D [2] :设
是整函数,若存在
满足
则微分方程
(1.2)
的每个超越解
满足
。
在文献 [3] 中已证明了下列结论:
定理E [3] :设
是整函数,满足
则方程(1.1)的每个非平凡解满足
。
定理F [3] :设
是整函数,若存在
使得
,
的亏值有限,则方程(1.1)的每个非平凡解满足:
在文献 [4] 已证。
定理G [4] :设
是两个整函数,
,若存在实常数
和下对数密度为1
的集合
,使得对任意的
,有
则方程
(1.3)
的任意非平凡解
满足
。
文献 [5] 已证下列结论:
定理H [5] :设
是级有限的整函数,满足
,则方程(1.3)的任意非平凡解
,满足
。
定理I [5] :设
是级有限的整函数,满足
,则方程(1.3)的任意非平凡解
,满足
。
本文是将定理G, H, I的结论推广到方程(1.1)中去,得到以下几个结果:
定理1:设
是整函数,
,若存在实常数
和下对数密度
为1的集合
,即
使得对任意的
,有
则方程(1.1)的任意非平凡解
,满足
。
定理2:设
是整函数,满足
则方程(1.1)的任意非平凡解
,满足
定理3:设
是级有限的整函数,满足
则方程(1.1)的任意非平凡解
,满足
2. 相关引理
引理1 [1] :设
是超越亚纯函数,
是常数,对任意给定的
,存在对数测度有限的集合
和常数
,B依赖于
和
,使得对任意的z,满足
,有
引理2 [1] :f是级为有穷的超越亚纯函数,对给定的实常数
及两个整数
,且
,则下列结论成立:
1) 存在对数测度有穷的集合
,使得对所有的z满足
,有:
2) 存在线性测度有限的集合
,使得对所有的z满足
,有:
引理3 [6] :设
是整函数,
是常数,对任意给定的
,存在对数测度无穷的集合
,使得对任意的
,有
引理4 [7] :设
是超越整函数,
和点列
,使得
和
,则存在对数测度有限的集合
,使得对任意的
,有
其中
是
的中心指标。
引理5 [2] :设
是级为无穷的整函数,满足
,则
引理6:设
是级有限的整函数,则方程(1.1)的解
满足:
证明:由方程(1.1)得
于是,有
(2.1)
由引理3,存在对数测度有限的集合
,使得对任意的z满足
和
,有
(2.2)
令
,应用引理2,对任意给定的
,存在对数测度无穷的集合
,使得对任意的z满足
时,有
(2.3)
将(2.2) (2.3)代入(2.1),则对任意的z满足
和
,有
(2.4)
由(2.4)式及引理4,有
类似地可证明
引理7 [5] :设
是整函数且
,记
若
,则
引理8 [4] :设
是整函数且
,记
则对任意
,有
引理9 [5] :设
是整函数且
,若
,则
,
是依赖于
的正常数。
引理10 [2] :设
是超越整函数,则存在对数测度有限的集合
,使得对任意的z满足
且
,有
引理11 [5] :设
是整函数,且
,则存在对数测度无穷的集合
,使得对任意的z,有
引理12 [8] :设
是整函数且
,若
是方程(1.1)的解,则
。
3. 定理的证明
3.1. 定理1证明
设
是两个常数,满足
,
是方程(1.1)的非平凡解,根据假设集合
且
使得对任意的
,有
令
,则
,对任意的z有
(3.1)
在
中应用引理8,对任意给定的
,存在集合
,使
,对任意的z满足
,
是常数且
,有
(3.2)
应用引理1,存在对数测度有限的集合
,使得对任意的z,满足
,有
(3.3)
其中,B为常数且
。
令
,显然
,故在
中存在序列
,当
时
,当
时,(3.1) (3.2) (3.3)都成立,故
(3.4)
由(3.4)当
时,有
由
的任意性,有
3.2. 定理2证明
根据定理B和引理5,方程(1.1)的任意非平凡解
满足
,又由引理6方程(1.1)的任意非平凡解
满足
由
得
结论得证。
3.3. 定理3证明
设
是方程(1.1)的非平凡解,由引理6有
不妨设
,方程(1.1)可变形为
于是
(3.5)
由引理1,存在对数测度有限的集合
,对任意的z满足
,有
(3.6)
M为常数且
,由
,
对任意的
,若
,取
,满足
(3.7)
应用引理9,存在对数测度无穷的集合
,使得对任意的z满足
,有
(3.8)
由引理11,存在对数测度有限的集合
,使得对任意的z满足
,有
(3.9)
由(3.6)~(3.9),对
,有
(3.10)
令
,由(3.10)知
另外,由引理12知
,故有