利用扩展的(G'/G)展开法求(3 + 1)维YSFY势方程的精确解

Using the Extend (G'/G) Expansion Method to Obtain the Exact Solution of the (3 + 1)-Dimensional Potential YTSF Equation

摘要: 利用扩展的(G'/G)展开法和新的辅助方程，通过借助齐次平衡法确定相关次幂，求解(3 + 1)维Yu-Toda-Sasa-Fukuyama (YTSF)势方程的新精确解，得到了(3 + 1)维YTSF势方程的一些新的精确解的形式，并给出解的相应图形。

Abstract: Using the extend (G'/G)-expansion method and the new auxiliary equations, the new exact solutions of (3 + 1)-dimensional potential Yu-Toda-Sasa-Fukuyama (YTSF) equation are obtained on the basis of the homogeneous balance method. And some forms of exact solutions of (3 + 1)-dimensional potential (YTSF) equation are given. Furthermore, the corresponding figures are given.

1. 前言

随着社会的进步，科技的发展，非线性偏微分方程在物理、数学等学科上的应用越来越广泛，因此也引起了许多数学家的关注。近年来，在许多学者的努力下，提出了许多求解非线性偏微分方程的精确解的方法，例如：Fourier变换 [1] ，三波法 [2] [3] [4] ，可变分离法 [5] 等方法来求解某类非线性偏微分方程的精确解。

本文主要考虑(3 + 1)维Yu-Toda-Sasa-Fukuyama (YTSF)势方程的新精确解。此方程为

(1)

在1998年，Song-Ju Yu等人 [6] 将Bogoyavlenskii-Schiff方程 [7]

$v_t+\varphi \left(v\right)v_z=0,\varphi \left(v\right)={\partial }_x^2+4v+2v_x{\partial }_x^{-1},$

拓展为一个新的(3 + 1)维非线性演化方程

$\left(-4v_t+\varphi \left(v\right)v_z\right)+3v_{yy}=0,\varphi \left(v\right)={\partial }_x^2+4v+2v_x{\partial }_x^{-1},$

于是它被称为(3 + 1)维的Yu-Toda-Sasa-Fukuyama (YTSF)势方程，他们随后给出了该方程的行波解。为了方便研究，利用变换 $v=u_x$ 把此方程化为它的潜在形式，也就是本文将要考虑的(3 + 1)维Yu-Toda-Sasa-Fukuyama (YTSF)势方程。

通过扩展的同宿测试法 [8] [9] ，可以获得(3 + 1)维Yu-Toda-Sasa-Fukuyama (YTSF)势方程 [10] 的精确纽结呼吸波解，利用auto-Backland [11] 变换和广义投影的Riccati [12] 方程方法可以得到关于(3 + 1)维YTSF势方程的一些类孤立波子解和非行波解。本文将利用扩展的 $\left(G^{\prime }/G\right)$ 展开法 [13] 和新的辅助方程 [13]

$AG{G}^{″}-BG{G}^{\prime }-C{\left(G^{\prime }\right)}^2-E{G}^2=0,$ (2)

来求解YTSF势方程的一些新精确解的形式。

2. 扩展的 $\left(G^{\prime }/G\right)$ 展开法的概述

1) 对于一般的非线性偏微分方程

(3)

其中 $L$ 是及关于 $x,y,z,t$ 的各阶导数的多项式。然后对(3)进行行波变换

$w\left(\zeta \right)=w\left(x,y,z,t\right),\zeta =ax+by+cz+d_{1}t,$ (4)

$a,b,c,d_1$ 为待定常数，将(4)代入(3)中，(3)就可化为

$Q\left(w^{\prime },w^{″},w^{‴},w^{\left(4\right)},\cdots \right)=0.$ (5)

其中 $w^{\prime }=\frac{dw}{d\xi },u^{″}=\frac{d^{2}w}{d{\xi }^2},L$

2) 设方程(5)的拟解为

$w\left(\xi \right)={\displaystyle \underset{g=-m}{\overset{m}{\sum }}{e}_g}{\left(d+H\right)}^g+{\displaystyle \underset{g=1}{\overset{m}{\sum }}{f}_g}{\left(d+H\right)}^g.$ (6)

其中 $H\left(\xi \right)=\left(\frac{G^{\prime }}{G}\right)$ ， $e_g,f_g$ 中为待定常数， $g$ 可取 $0,\pm 1,\pm 2,\cdots ,\pm m$ ， $m$ 可通过齐次平衡法求出来，并且 $G\left(\xi \right)$ 满足以下非线性常微分方程

$AG{G}^{″}-BG{G}^{\prime }-C{\left(G^{\prime }\right)}^2-E{G}^2=0,$ (7)

其中 $A,B,C,E$ 为待定常数。

3) 将方程(6)和方程(7)代入方程(5)中，并将 $\left(d+H\right)$ 中相同的指数幂的系数合并，令各次幂的系数为零，得到一个关于 $e_g,d,f_g\left(g=0,\pm 1,\pm 2,\cdots ,\pm m\right)$ ， $a,b,c,d_1$ ， $A,B,C,E$ 的代数方程组。

4) 利用maple软件求解代数方程组，确定待定常数之间的关系。

5) 通过文献 [13] ，得到5组关于 $H\left(\xi \right)$ 的表达式

a) 当 $B\ne 0,\varphi =A-C$ 且 $\Omega =B^2+4E\varphi >0$ 时，

$H\left(\zeta \right)=\left(\frac{G^{\prime }}{G}\right)=\frac{B}{2\varphi }+\frac{\sqrt{\Omega }}{2\varphi }\frac{C_1\sinh \left(\frac{\sqrt{\Omega }}{2\varphi }\zeta \right)+C_2\cosh \left(\frac{\sqrt{\Omega }}{2\varphi }\zeta \right)}{C_2\sinh \left(\frac{\sqrt{\Omega }}{2\varphi }\zeta \right)+C_1\cosh \left(\frac{\sqrt{\Omega }}{2\varphi }\zeta \right)}$ (8)

b) 当 $B\ne 0,\varphi =A-C$ 且 $\Omega =B^2+4E\varphi <0$ 时，

$H\left(\zeta \right)=\left(\frac{G^{\prime }}{G}\right)=\frac{B}{2\varphi }+\frac{\sqrt{-\Omega }}{2\varphi }\frac{-C_1\sin \left(\frac{\sqrt{-\Omega }}{2\varphi }\zeta \right)+C_2\cos \left(\frac{\sqrt{-\Omega }}{2\varphi }\zeta \right)}{C_2\sin \left(\frac{\sqrt{-\Omega }}{2\varphi }\zeta \right)+C_1\cos \left(\frac{\sqrt{-\Omega }}{2\varphi }\zeta \right)}$ (9)

c) 当 $B\ne 0,\varphi =A-C$ 且 $\Omega =B^2+4E\varphi =0$ 时，

$H\left(\zeta \right)=\left(\frac{G^{\prime }}{G}\right)=\frac{B}{2\varphi }+\frac{C_2}{C_1+C_2\zeta }$ (10)

d) 当 $B=0,\varphi =A-C$ 且 $\Delta =\varphi E>0$ 时，

$H\left(\zeta \right)=\left(\frac{G^{\prime }}{G}\right)=\frac{\sqrt{\Delta }}{\varphi }\frac{C_1\sinh \left(\frac{\sqrt{\Delta }}{\varphi }\zeta \right)+C_2\cosh \left(\frac{\sqrt{\Delta }}{\varphi }\zeta \right)}{C_2\sinh \left(\frac{\sqrt{\Delta }}{\varphi }\zeta \right)+C_1\cosh \left(\frac{\sqrt{\Delta }}{\varphi }\zeta \right)}$ (11)

e) 当 $B=0,\varphi =A-C$ ， $\Delta =\varphi E<0$ 时，

$H\left(\zeta \right)=\left(\frac{G^{\prime }}{G}\right)=\frac{\sqrt{\Delta }}{\varphi }\frac{-C_1\sinh \left(\frac{\sqrt{-\Delta }}{\varphi }\zeta \right)+C_2\cosh \left(\frac{\sqrt{-\Delta }}{\varphi }\zeta \right)}{C_2\sinh \left(\frac{\sqrt{-\Delta }}{\varphi }\zeta \right)+C_1\cosh \left(\frac{\sqrt{-\Delta }}{\varphi }\zeta \right)}$ (12)

3. Yu-Toda-Sasa-Fukuyama势方程的新精确解

对方程(1)引入变换(4) $w\left(\zeta \right)=w\left(x,y,z,t\right),\zeta =ax+by+cz+d_{1}t$ ，可将(1)化为方程

$-4a{d}_1{w}^{″}+a^{3}c{w}^{\left(4\right)}+6a^{2}c{w}^{\prime }{w}^{″}+3b^2=0.$ (13)

对方程(13)两边进行一次积分得

$\left(-4a{d}_1+3b^2\right)w^{\prime }+a^{3}c{w}^{‴}+3a^{2}c{\left(w^{\prime }\right)}^2+k=0.$ (14)

其中 $k$ 为待定常数，由(6)可知 $w$ 关于 $\left(d+H\right)$ 的最高次幂为 $m$ ，关于 $\left(d+H\right)$ 的最高次幂为 $m+1$ ， $w^{‴}$ 关于 $\left(d+H\right)$ 的最高次幂为 $m+3$ ，由齐次平衡法得,最高阶导数线性项 $w^{‴}$ 和非线性项 ${\left(w^{\prime }\right)}^2$ 进行平衡，则 $m+3=2m+2$ ，解得 $m=1$ 。则(6)的表达式为

$W\left(\zeta \right)=e_0+\left(e_{-1}+f_1\right){\left(d+H\right)}^{-1}+e_1\left(d+H\right)$ (15)

将(15)代入(14)，得到3组解符合我们(3 + 1)维方程的系数关系

第一组：

$a=a,b=b,c=c,d=d,k=0,d_1=\frac{1}{4}\frac{a^{3}c\Omega +3A^2{b}^2}{a{A}^2},e_{-1}=-\frac{2a{d}^2\phi +f_{1}A-2aE}{A},e_1=0,f_1=f_1.$

第二组：

$a=a,b=b,c=c,d=-\frac{1}{2}\frac{B}{\varphi },k=0,d_1=\frac{1}{4}\frac{4a^{3}c\Omega +3A^2{b}^2}{a{A}^2},e_{-1}=-\frac{1}{2}\frac{2A{f}_1\phi -a\Omega }{A\phi },e_1=\frac{2a\phi }{A},f_1=f_1.$

第三组：

当第一、二、三组解满足 $H\left(\zeta \right)$ 的条件时， $w\left(\zeta \right)$ 的表达式为

$w_{11}\left(\zeta \right)=e_0+\left(e_{-1}+f_1\right){\left(d+\frac{B}{2\phi }+\frac{\sqrt{\Omega }}{2\phi }\frac{C_1\sinh \left(\frac{\sqrt{\Omega }}{2\phi }\zeta \right)+C_2\cosh \left(\frac{\sqrt{\Omega }}{2\phi }\zeta \right)}{C_2\sinh \left(\frac{\sqrt{\Omega }}{2\phi }\zeta \right)+C_1\cosh \left(\frac{\sqrt{\Omega }}{2\phi }\zeta \right)}\right)}^{-1},$

$w_{12}\left(\zeta \right)=e_0+\left(e_{-1}+f_1\right){\left(d+\frac{B}{2\phi }+\frac{\sqrt{-\Omega }}{2\phi }\frac{-C_1\sin \left(\frac{\sqrt{-\Omega }}{2\phi }\zeta \right)+C_2\cos \left(\frac{\sqrt{-\Omega }}{2\phi }\zeta \right)}{C_2\sin \left(\frac{\sqrt{-\Omega }}{2\phi }\zeta \right)+C_1\cos \left(\frac{\sqrt{-\Omega }}{2\phi }\zeta \right)}\right)}^{-1},$

$w_{13}\left(\zeta \right)=e_0+\left(e_{-1}+f_1\right){\left(d+\frac{B}{2\phi }+\frac{C_2}{C_1+C_2\zeta }\right)}^{-1},$

$w_{14}\left(\zeta \right)=e_0+\left(e_{-1}+f_1\right){\left(d+\frac{\sqrt{\Delta }}{M}\frac{C_1\sinh \left(\frac{\sqrt{\Delta }}{\phi }\zeta \right)+C_2\cosh \left(\frac{\sqrt{\Delta }}{\phi }\zeta \right)}{C_2\sinh \left(\frac{\sqrt{\Delta }}{\phi }\zeta \right)+C_1\cosh \left(\frac{\sqrt{\Delta }}{\phi }\zeta \right)}\right)}^{-1},$

$w_{15}\left(\zeta \right)=e_0+\left(e_{-1}+f_1\right){\left(d+\frac{\sqrt{-\Delta }}{\phi }\frac{-C_1\sin \left(\frac{\sqrt{-\Delta }}{\phi }\zeta \right)+C_2\cos \left(\frac{\sqrt{-\Delta }}{\phi }\zeta \right)}{C_2\sin \left(\frac{\sqrt{-\Delta }}{\phi }\zeta \right)+C_1\cos \left(\frac{\sqrt{-\Delta }}{\phi }\zeta \right)}\right)}^{-1}.$

$\begin{array}{c}{w}_{21}\left(\zeta \right)=e_0+\left(e_{-1}+f_1\right){\left(d+\frac{B}{2\phi }+\frac{\sqrt{\Omega }}{2\phi }\frac{C_1\sinh \left(\frac{\sqrt{\Omega }}{2\phi }\zeta \right)+C_2\cosh \left(\frac{\sqrt{\Omega }}{2\phi }\zeta \right)}{C_2\sinh \left(\frac{\sqrt{\Omega }}{2\phi }\zeta \right)+C_1\cosh \left(\frac{\sqrt{\Omega }}{2\phi }\zeta \right)}\right)}^{-1}\\ +e_1\left(d+\frac{B}{2\phi }+\frac{\sqrt{\Omega }}{2\phi }\frac{C_1\sinh \left(\frac{\sqrt{\Omega }}{2\phi }\zeta \right)+C_2\cosh \left(\frac{\sqrt{\Omega }}{2\phi }\zeta \right)}{C_2\sinh \left(\frac{\sqrt{\Omega }}{2\phi }\zeta \right)+C_1\cosh \left(\frac{\sqrt{\Omega }}{2\phi }\zeta \right)}\right),\end{array}$

$\begin{array}{c}{w}_{22}\left(\zeta \right)=e_0+\left(e_{-1}+f_1\right){\left(d+\frac{B}{2\phi }+\frac{\sqrt{-\Omega }}{2\phi }\frac{-C_1\sin \left(\frac{\sqrt{-\Omega }}{2\phi }\zeta \right)+C_2\cos \left(\frac{\sqrt{-\Omega }}{2\phi }\zeta \right)}{C_2\sin \left(\frac{\sqrt{-\Omega }}{2\phi }\zeta \right)+C_1\cos \left(\frac{\sqrt{-\Omega }}{2\phi }\zeta \right)}\right)}^{-1}\\ +e_1\left(d+\frac{B}{2\phi }+\frac{\sqrt{-\Omega }}{2\phi }\frac{-C_1\sin \left(\frac{\sqrt{-\Omega }}{2\phi }\zeta \right)+C_2\cos \left(\frac{\sqrt{-\Omega }}{2\phi }\zeta \right)}{C_2\sin \left(\frac{\sqrt{-\Omega }}{2\phi }\zeta \right)+C_1\cos \left(\frac{\sqrt{-\Omega }}{2\phi }\zeta \right)}\right),\end{array}$

$w_{23}\left(\zeta \right)=e_0+\left(e_{-1}+f_1\right){\left(d+\frac{B}{2\phi }+\frac{C_2}{C_1+C_2\zeta }\right)}^{-1}+e_1\left(d+\frac{B}{2\phi }+\frac{C_2}{C_1+C_2\zeta }\right),$

$\begin{array}{c}{w}_{24}\left(\zeta \right)=e_0+\left(e_{-1}+f_1\right){\left(d+\frac{\sqrt{\Delta }}{M}\frac{C_1\sinh \left(\frac{\sqrt{\Delta }}{\phi }\zeta \right)+C_2\cosh \left(\frac{\sqrt{\Delta }}{\phi }\zeta \right)}{C_2\sinh \left(\frac{\sqrt{\Delta }}{\phi }\zeta \right)+C_1\cosh \left(\frac{\sqrt{\Delta }}{\phi }\zeta \right)}\right)}^{-1}\\ +e_1\left(d+\frac{\sqrt{\Delta }}{M}\frac{C_1\sinh \left(\frac{\sqrt{\Delta }}{\phi }\zeta \right)+C_2\cosh \left(\frac{\sqrt{\Delta }}{\phi }\zeta \right)}{C_2\sinh \left(\frac{\sqrt{\Delta }}{\phi }\zeta \right)+C_1\cosh \left(\frac{\sqrt{\Delta }}{\phi }\zeta \right)}\right),\end{array}$

$\begin{array}{c}{w}_{25}\left(\zeta \right)=e_0+\left(e_{-1}+f_1\right){\left(d+\frac{\sqrt{-\Delta }}{\phi }\frac{-C_1\sin \left(\frac{\sqrt{-\Delta }}{\phi }\zeta \right)+C_2\cos \left(\frac{\sqrt{-\Delta }}{\phi }\zeta \right)}{C_2\sin \left(\frac{\sqrt{-\Delta }}{\phi }\zeta \right)+C_1\cos \left(\frac{\sqrt{-\Delta }}{\phi }\zeta \right)}\right)}^{-1}\\ +e_1\left(d+\frac{\sqrt{-\Delta }}{\phi }\frac{-C_1\sin \left(\frac{\sqrt{-\Delta }}{\phi }\zeta \right)+C_2\cos \left(\frac{\sqrt{-\Delta }}{\phi }\zeta \right)}{C_2\sin \left(\frac{\sqrt{-\Delta }}{\phi }\zeta \right)+C_1\cos \left(\frac{\sqrt{-\Delta }}{\phi }\zeta \right)}\right).\end{array}$

$w_{31}\left(\zeta \right)=e_0+e_1\left(d+\frac{B}{2\phi }+\frac{\sqrt{\Omega }}{2\phi }\frac{C_1\sinh \left(\frac{\sqrt{\Omega }}{2\phi }\zeta \right)+C_2\cosh \left(\frac{\sqrt{\Omega }}{2\phi }\zeta \right)}{C_2\sinh \left(\frac{\sqrt{\Omega }}{2\phi }\zeta \right)+C_1\cosh \left(\frac{\sqrt{\Omega }}{2\phi }\zeta \right)}\right),$

$w_{32}\left(\zeta \right)=e_0+e_1\left(d+\frac{B}{2\phi }+\frac{\sqrt{-\Omega }}{2\phi }\frac{-C_1\sin \left(\frac{\sqrt{-\Omega }}{2\phi }\zeta \right)+C_2\cos \left(\frac{\sqrt{-\Omega }}{2\phi }\zeta \right)}{C_2\sin \left(\frac{\sqrt{-\Omega }}{2\phi }\zeta \right)+C_1\cos \left(\frac{\sqrt{-\Omega }}{2\phi }\zeta \right)}\right),$

$w_{33}\left(\zeta \right)=e_0+e_1\left(d+\frac{B}{2\phi }+\frac{C_2}{C_1+C_2\zeta }\right),$

$w_{34}\left(\zeta \right)=e_0+e_1\left(d+\frac{\sqrt{\Delta }}{M}\frac{C_1\sinh \left(\frac{\sqrt{\Delta }}{\phi }\zeta \right)+C_2\cosh \left(\frac{\sqrt{\Delta }}{\phi }\zeta \right)}{C_2\sinh \left(\frac{\sqrt{\Delta }}{\phi }\zeta \right)+C_1\cosh \left(\frac{\sqrt{\Delta }}{\phi }\zeta \right)}\right),$

$w_{35}\left(\zeta \right)=e_0+e_1\left(d+\frac{\sqrt{-\Delta }}{\phi }\frac{-C_1\sin \left(\frac{\sqrt{-\Delta }}{\phi }\zeta \right)+C_2\cos \left(\frac{\sqrt{-\Delta }}{\phi }\zeta \right)}{C_2\sin \left(\frac{\sqrt{-\Delta }}{\phi }\zeta \right)+C_1\cos \left(\frac{\sqrt{-\Delta }}{\phi }\zeta \right)}\right).$

令 $r={\alpha }_{1}x+{\alpha }_{2}y+{\alpha }_{3}z$ ( ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 为不为零的常数)，利用maple软件画出部分解的图像，如下：(图1~图3)

$\begin{array}{l}{w}_{12}\left(\zeta \right):a=C=C_1=d=1,b=4,c=16,d_1=8,C_2=A=B=2,E=f_1=-2,\\ e_{-1}=-3,e_1=0,e_0=-1.\end{array}$

Figure 1. Triangle function solution $\begin{array}{l}{w}_{12}\left(\zeta \right)\end{array}$ schematic diagram

图1. 三角函数求解示意图

$w_{33}\left(\zeta \right):a=A=E=C_1=e_0=1,b=c=B=C_2=2,d=0,d_1=3,e_1=-4.$

Figure 2. Rational partition solution $w_{33}\left(\zeta \right)$ schematic diagram

图2. 合理分区解示意图

$\begin{array}{l}{w}_{24}\left(\zeta \right):a=b=c=f_1=C_1=d_1=e_0=1,d=2,A=4,C_2=C=2,B=0,\\ E=\frac{1}{2},e_1=1,e_{-1}=-\frac{3}{4}.\end{array}$

Figure 3. Hyperbolic function solution $w_{24}\left(\zeta \right)$ schematic diagram

图3. 双曲函数求解示意图

4. 结论

本文通过引用文献 [13] 中扩展的 $\left(G^{\prime }/G\right)$ 方法求解(3 + 1)维YTSF势方程的精确解，此方法是把原来 $\left(G^{\prime }/G\right)$ 正次幂的形式扩展成 $\left(d+G^{\prime }/G\right)$ 展正负次幂的形式，在此基础上引入新的辅助常微分方程(2)的解的不同形式。通过maple软件确定表达式中待定参数之间的关系，即当方程(2)系数 $A,B,C,E$ 满足(8)~(12)的关系时，得到了非线性偏微分方程的(3 + 1)维YTSF势方程的新的负幂次形式的精确解，包括双曲函数解、有理分式解和三角函数解的形式，并且此方法还可以用于求解其它非线性偏微分方程。三角函数具有周期性，三角函数解的图像如图1；有理分式的图像如图2所示，由图可以看出此图为中心对称图形；双曲函数是一种类似于三角函数的函数，具有三角函数的一些性质，双曲函数解的图像如图3，是中心对称图像。同时也希望能为大家拓宽解决此类问题的方法。