度量空间C(Rn)中集合列紧性的判定条件及证明
Judgment Conditions and Proof of Set Sequence Compactness in Metric Space C(Rn)
DOI: 10.12677/AAM.2019.84065, PDF, HTML, XML, 下载: 913  浏览: 3,042 
作者: 赵明泽, 闫宝强:山东师范大学,山东 济南
关键词: 列紧性C(Rn)ε网一致有界等度连续Sequence Compactness C(Rn) ε-Net Uniform Boundedness Equicontinuity
摘要: 集合列紧在泛函分析中是一个重要的概念。可以将无限问题化为有限情形进行讨论。本文给出了距离空间C(Rn)中集合列紧的充分必要条件。
Abstract: Set sequence compactness is an important concept in functional analysis. Using the sequence compactness, one can turn infinite dimensional problems to finite dimensional problems. In this paper, we give a necessary and sufficient condition for set sequence compactness on metric space C(Rn).
文章引用:赵明泽, 闫宝强. 度量空间C(Rn)中集合列紧性的判定条件及证明[J]. 应用数学进展, 2019, 8(4): 589-594. https://doi.org/10.12677/AAM.2019.84065

1. 引言

C ( R n ) 空间是 R n 上全体连续函数构成的空间。则对任意 u ( x ) C ( R n ) ,令

u = k = 1 1 2 k max x k | u ( x ) | 1 + max x k | u ( x ) |

其中 k N x = ( x 1 , x 2 , , x n ) x = x 1 2 + x 2 2 + + x n 2 。集合的列紧性在泛函分析的学习中是一个基本且重要的概念,它还在拓扑学、偏微分方程等领域中有着广泛的应用。对于具体的距离空间上的紧性问题,常用构造 ε 网和一致有界且等度连续来讨论。本文通过集合列紧性的性质,构造相应的列紧条件证明了 C ( R n ) 空间的列紧性。

2. 预备知识

首先回忆一下在泛函分析中所学的关于紧性的一些常用定义与性质。

定义1.1 [1] 设 ( X , ρ ) 是一个距离空间, A 为其一个子集,如果 A 中的任何点列在 X 中有一个收敛的子列,称 A 是列紧的。若这个子列还收敛到 A 中的点,则称 A 是自列紧的。如果空间 X 是列紧的,那么成 X 为列紧空间。

定理1.1 [1] 设 ( X , ρ ) 是一个距离空间,为了其子集 M 是紧的当且仅当 M 是自列紧的。

定义1.2 [2] 设 ( X , ρ ) 是距离空间, A X 的一个子集, B A ,如果有 ε > 0 ,使得以 B 中各点为心,以 ε 为半径的开球全体覆盖 A U x B O ( X , ε ) ,则称 B A ε 网,如果 B 是有限集,则称 B A 的有限 ε 网。

定义1.3 [1] C ( M ) 空间:设 M 是一个紧的距离空间,带有距离 ρ C ( M ) 表示 M R 1 的一切连续映射的全体。定义

d ( u , v ) = max x M | u ( x ) v ( x ) | , ( u , v C ( M ) ) .

通过验证可知 ( C ( M ) , d ) 是完备的距离空间。

定理1.2 [1] (Arzela-Ascoli)为了 F C ( M ) 是一个列紧集,当且仅当 F 是一致有界且等度连续的函数族。

定义1.4 [1] 设 ( X , ρ ) 是距离空间, A B 的子集,如果 ε > 0 ,都存在着 A 的一个有限 ε 网,则称集合 A 是完全有界的。

3. 主要结论

定理2.1 C ( R n ) 空间的子集 U 列紧的充要条件是

1) 对任意 k 属于 C ,当 x k 时,存在 C k > 0 ,使得 sup x k | u ( x ) | C k ,对 u U

2) 对任意的 k > 0 { u ( x ) | u U } x k 上是等度连续的。

证明:首先证 C ( R n ) 空间是完备的。令 { u n ( x ) } C ( R n ) 中的基本列,则

ρ ( u m ( x ) , u n ( x ) ) = i = 1 1 2 i max x i | u m ( x ) u n ( x ) | 1 + max x i | u m ( x ) u n ( x ) | 0 ( m , n 0 ) .

由此知对任意的 m , n N max x i | u m ( x ) u n ( x ) | 0 ( m , n 0 ) 。事实上对每一个固定的 j N ,对 ε > 0 N j ,使得

i = 1 1 2 i max x i | u m ( x ) u n ( x ) | 1 + max x i | u m ( x ) u n ( x ) | < ε 2 j + 1 ( m , n > N j ) .

取第 j 项,它不会超过所有项的总和,故

1 2 j max x j | u m ( x ) u n ( x ) | 1 + max x j | u m ( x ) u n ( x ) | < ε 2 j + 1 max x j | u m ( x ) u n ( x ) | < ε .

这说明对任意的 x k { u n ( x ) } { x | x k } 上收敛,并且存在 u * k ( x ) C ( R n ) ,使得 | u n ( x ) u * k ( x ) | 0 ( n ) x k

定义

u * ( x ) = { u * 1 ( x ) , x B ¯ ( 0 , 1 ) ; u * 2 ( x ) , x B ¯ ( 0 , 2 ) ; u * k ( x ) , x B ¯ ( 0 , k ) .

证明 u n ( x ) ρ u * ( x ) ( n ) 。事实上,就是要证明

ρ ( u n ( x ) , u * ( x ) ) = i = 1 1 2 i max x i | u n ( x ) u * ( x ) | 1 + max x i | u n ( x ) u * ( x ) | 0 , ( n )

也就是要证明,对任意的 ε > 0 ,存在 N ,当 n > N 时,使得

i = 1 1 2 i max x i | u n ( x ) u * ( x ) | 1 + max x i | u n ( x ) u * ( x ) | < ε

要对无穷多项进行评估,常用“分段论证法”,这里在 n 0 项处分段,其中 n 0 充分大,使得 i = n 0 + 1 1 2 i < ε 2

i = 1 1 2 i max x i | u n ( x ) u * ( x ) | 1 + max x i | u n ( x ) u * ( x ) | = i = 1 n 0 1 2 i max x i | u n ( x ) u * ( x ) | max x i | u n ( x ) u * ( x ) | + i = n 0 + 1 1 2 i max x i | u n ( x ) u * ( x ) | max x i | u n ( x ) u * ( x ) |

为了有限项小于 ε 2 ,对任意的 n < n 0 ,存在 ,使得

max x n | u n ( x ) u * ( x ) | < ε 2

取定 N = { N 1 , N 2 , , N n 0 } ,便有 n > N 时,

n = 1 n 0 1 2 n max x n | u n ( x ) u * ( x ) | 1 + max x n | u n ( x ) u * ( x ) | < n = 1 n 0 1 2 n max x n | u n ( x ) u * ( x ) | < n = 1 n 0 1 2 n ε 2 < ε 2

无穷项小于 ε 2

i = n 0 + 1 1 2 i max x i | u n ( x ) u * ( x ) | 1 + max x i | u n ( x ) u * ( x ) | < i = n 0 + 1 1 2 i < ε 2 .

于是,当 n > N 时,

i = 1 1 2 i max x i | u n ( x ) u * ( x ) | 1 + max x i | u n ( x ) u * ( x ) | < ε .

成立。故 ( C ( R n ) , ρ ) 是完备的度量空间。

必要性:证明 { u | u U } x k 上有上确界。因 U C ( R n ) 是列紧集,从而子集 U 是完全有界集,则存在 U 的一个有限的 1 2 k + 1 N ( 1 2 k + 1 ) = { u 1 k , u 2 k , , u n k } U ,并且 U U i = 1 k B ( u i k , 1 2 k + 1 ) , ( i = 1 , 2 , , k ) 。对 k > 0 ,存在 u B ( u i k , 1 2 k + 1 ) ,当 n = 1 时,有 ρ ( u , u 1 k ) 1 2 k + 1 ,即

i = 1 1 2 i max x i | u ( x ) u 1 k ( x ) | 1 + max x i | u ( x ) u 1 k ( x ) | 1 2 k + 1 .

i 取第 k 项,

1 2 k max x k | u ( x ) u 1 k ( x ) | 1 + max x k | u ( x ) u 1 k ( x ) | 1 2 k + 1 .

max x k | u ( x ) u 1 k ( x ) | 1.

n = 2 时, ρ ( u , u 2 k ) 1 2 k + 1 ,即

i = 1 1 2 k max x i | u ( x ) u 2 k ( x ) | 1 + max x i | u ( x ) u 2 k ( x ) | 1 2 k + 1 .

i 取第 k 项,

max x k | u ( x ) u 2 k ( x ) | 1.

n = k 时, ρ ( u , u k k ) 1 2 k + 1

i = 1 1 2 k max x i | u ( x ) u k k ( x ) | 1 + max x i | u ( x ) u k k ( x ) | 1 2 k + 1 .

i 取第 k 项,

max x k | u ( x ) u k k ( x ) | 1.

所以存在 C k = 1 + max 1 i k u i ( x ) ,使得

sup x k | u i | C k

证明 { u | u U } B ¯ ( 0 , k ) 上是等度连续函数。因为 C ( R n ) 是完备的空间,所以 U C ( R n ) 是完全有界集,则存在 U 的一个 ε 3 网且是个有穷集,记 N ( ε 3 ) = { u 1 , u 2 , , u n } U 即对 ε > 0 u ( x ) U u i N ( ε 3 ) ,使得 u ( x ) u i ( x ) < ε 3 。这就表明当取 ε > 0 时,其中 0 < ε 3 2 k 1 ε 3 2 k < ε 3

ρ ( u ( x ) , u i ( x ) ) = k = 1 1 2 k max x k | u ( x ) u i ( x ) | 1 + max x k | u ( x ) u i ( x ) | < ε 3

整体小于 ε 3 ,则取第 k 项同样小于 ε 3 ,得

1 2 k max x k | u ( x ) u i ( x ) | 1 + max x k | u ( x ) u i ( x ) | < ε 3 .

小于号两边同乘以 2 k

max x k | u ( x ) u i ( x ) | 1 + max x k | u ( x ) u i ( x ) | < ε 3 2 k .

再同乘以 1 + max x k | u ( x ) u i ( x ) |

max x k | u ( x ) u i ( x ) | < ε 3 2 k ( 1 + max x k | u ( x ) u i ( x ) | ) .

所以最后计算得

max x k | u ( x ) u i ( x ) | < ε 3 2 k 1 ε 3 2 k < ε 3 .

其次对这有穷函数 N ( ε 3 ) = { u 1 , u 2 , , u n } ,由函数的连续性知,对每一个 1 i n ε > 0 δ i ( ε ) > 0 ,当 ρ ( x 1 , x 2 ) < δ i ( ε ) 时,有 | u i ( x 1 ) u i ( x 2 ) | < ε 3 ( i = 1 , 2 , , n ) 。故对 ε > 0 ,取 δ i ( ε ) = min { δ 1 ( ε ) , δ 2 ( ε ) , , δ n ( ε ) } ,使得对任意的 u ( x ) U x i k ,当 ρ ( x 1 , x 2 ) < δ 时,有

| u ( x 1 ) u ( x 2 ) | | u ( x 1 ) u i ( x 1 ) | + | u i ( x 1 ) u i ( x 2 ) | + | u ( x 2 ) u i ( x 2 ) | < 2 ε 3 + ε 3 = ε .

所以 U 是等度连续的。

充分性:设任意的 ε > 0 上, { u } B ¯ ( 0 , k ) 上是一致有界且等度连续的。由(Arzela-Ascoli)定理知 C ( B ¯ ( 0 , k ) ) 是列紧的。只须证 U 存在有限的 ε 网。所以对任意的 ε > 0 ,取 n 0 > 0 。使得 k = n 0 + 1 1 2 k ε 3 。又通过 { u | u U } x n 0 是一致有界且等度连续的可知存在一个有限 ε 4 网,记 N ( ε 4 ) = { u 1 , u 2 , , u k } x n 0 。取 N ( ε ) = { u 1 , u 2 , , u k } ,则对 ε > 0 u B ¯ ( 0 , n 0 ) u i N ( ε 4 ) ( i = 1 , 2 , , k ) 使得 u u i x n 0 ε 4 ,即

ρ ( u , u i ) = k = 1 1 2 k max x k | u ( x ) u i ( x ) | 1 + max x k | u ( x ) u i ( x ) | = k = 1 n 0 1 2 i max x k | u ( x ) u i ( x ) | 1 + max x k | u ( x ) u i ( x ) | + k = n 0 + 1 1 2 i max x k | u ( x ) u i ( x ) | 1 + max x k | u ( x ) u i ( x ) | < ε 4 k = 1 n 0 1 2 k + ε 2 < ε .

这就证明对任意的 ε > 0 ,任意子集 U C ( R n ) x k 上是自列紧的。

参考文献

[1] 张恭庆, 林源渠. 泛函分析讲义[M]. 北京: 北京大学出版社, 2004: 1-157.
[2] 夏道行, 吴卓人, 严绍宗, 等. 实变函数与泛函分析[M]. 北京: 高等教育出版社, 1985: 1-119.