一类时标上的Opial型不等式

A Kind of Dynamic Opial-Type Inequalities on Time Scales

摘要: 本文利用时标上的Cauchy-Schwarz不等式、Keller链式法则等工具，得到了一类时标上的Opial型不等式，推广了连续和离散情形下的相应Opial型不等式。

Abstract: In this paper, by using the tools of Cauchy-Schwarz inequality and Keller’s chain rule on time scale, we obtain a class of Opial type inequality on time scale, and generalize the corresponding Opial type inequality in continuous and discrete cases.

1. 引言

1960年，波兰数学家Opial [1] 证明了下面不等式

${\displaystyle {\int }_a^b\left|x\left(t\right)\right|\left|x^{\prime }\left(t\right)\right|\text{d}t}\le \frac{b-a}{4}{\displaystyle {\int }_a^b{\left|x^{\prime }\left(t\right)\right|}^2\text{d}t}$， (1)

其中 $x\left(t\right)$ 为区间 $\left[a,b\right]$ 上的绝对连续函数，且 $x\left(a\right)=x\left(b\right)=0$。由于其在微分方程、差分方程初边值问题研究中的重要性，许多学者给出了Opial不等式的各种推广及离散化的Opial不等式 [2] [3] [4]，其中，Yang [5] 简化了(1)式的证明，并给出了推广的不等式

${\displaystyle {\int }_a^{b}q\left(t\right)\left|x\left(t\right)\right|\left|x^{\prime }\left(t\right)\right|\text{d}t}\le \frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_a^b\frac{\text{d}t}{r\left(t\right)}}{\displaystyle {\int }_a^{b}r\left(t\right)q\left(t\right){\left|x^{\prime }\left(t\right)\right|}^2\text{d}t}$，

其中 $r\left(t\right)>0$ 、连续且满足 ${\displaystyle {\int }_a^X\frac{\text{d}t}{r\left(t\right)}}<\infty$， $q\left(t\right)>0$ 且为 $\left[a,b\right]$ 上的有界非增函数；同时，Yang [5] 还给出了更一般的不等式

${\displaystyle {\int }_a^b{\left|x\left(t\right)\right|}^p{\left|x^{\prime }\left(t\right)\right|}^q\text{d}t}\le \frac{q}{p+q}{\left(\frac{b-a}{2}\right)}^p{\displaystyle {\int }_a^b{\left|x^{\prime }\left(t\right)\right|}^{p+q}\text{d}t}$， (2)

其中 $p,q\ge 1$。关于离散形式的Opial不等式，Lasota [6] 也讨论了不等式

${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{h-1}{\sum }}\left|x_i\Delta x_i\right|}\le \frac{1}{2}\left[\frac{h+1}{2}\right]{\displaystyle \underset{i=0}{\overset{h-1}{\sum }}{\left|\Delta x_i\right|}^2}$，

并给出了证明，其中 ${\left\{x_i\right\}}_{0\le i\le h}$ 为一实数列满足 $x_0=x_h=0$。

1988年，德国学者S. Hilger为了统一连续、离散情形的研究，在其博士论文中提出了时标的概念。此后，时标理论得到了快速发展，特别是M. Bohner和A. Peterson在文献 [7] [8] 中，系统分析了时标上一类非常重要的动力方程：时标上的动力方程。时标上的动力方程(系统)不仅可以统一连续和离散这两种特殊的情形，而且在其他学科中也有巨大的应用潜力，如量子力学等，是一个比较新的有着广泛应用前景的应用数学分支，其理论研究主要集中在边值问题、振动性、稳定性等方面。关于时标上的不等式研究，也有相关结果 [9] - [14]。

本文将研究Opial型不等式(2)在时标上的推广，其中在第二部分对时标的基本概念及基本理论作简要介绍，在第三部分中给出主要结果及其证明。

2. 预备知识

实数集 $ℝ$ 的任一非空闭子集称为时标，记为T。设时标T上的拓扑由 $ℝ$ 上的标准拓扑诱导，则有

下列定义：

定义1 [7]：设T为时标，对任意 $t\in T$，定义 $\sigma \left(t\right):=\inf \left\{s\in T:s>t\right\}$，称 $\sigma :T\to T$ 为前跳算子； $\rho \left(t\right):=\sup \left\{s\in T:s<t\right\}$，称 $\rho :T\to T$ 为后跳算子。

在上面的定义中，称 $\inf \Phi =\sup T$ (即如果t为时标T的最大值，则有 $\sigma \left(t\right)=t$ )，而 $\sup \Phi =\inf T$ (即如果t为时标T的最小值，则有 $\rho \left(t\right)=t$ )，其中 $\Phi$ 表示空集。

设 $t\in T$ 且 $\inf T<t<\sup T$，若 $\sigma \left(t\right)>t\left(=t\right)$，称点t是右发散(右稠密)的；若 $\rho \left(t\right)<t\left(=t\right)$，称点t是左发散(右稠密)的。既右发散又左发散的点称为孤立点，既右稠密又左稠密的点称为稠密点。

如果T的左发散点有最大值 $t_1$，则定义 $T^k:=T\backslash \left\{t_1\right\}$，否则 $T^k:=T$。

时标T上的区间 $\left[a,b\right]$ 定义为 ${\left[a,b\right]}_T:=\left\{t\in T:a\le t\le b\right\}$。

定义2 [7]：定义前跳graininess函数 $\mu :T\to \left[0,\infty \right)$ 为

$\mu \left(t\right):=\sigma \left(t\right)-t$，对任意的 $t\in T$。

设 $f:T\to ℝ$ 为时标T上的一实函数，则 $f^{\sigma }:T\to ℝ$ 定义为 $f^{\sigma }\left(t\right)=f\left(\sigma \left(t\right)\right)$，即 $f^{\sigma }=f\circ \sigma$ 为 $f,\sigma$ 的复合；同理， $f^{\sigma }:T\to ℝ$ 定义为 $f^{\rho }\left(t\right)=f\left(\rho \left(t\right)\right)$，即 $f^{\rho }=f\circ \rho$。

对于时标T上的实函数f，下面给出f在点 $t\in T^k$ 时的 $\Delta$ 导数(Hilger导数)的定义。

定义3 [7]：若对任意的 $\epsilon >0$，存在t的邻域U，使得对任意 $s\in U$，都有

$\left|\left[f\left(\sigma \left(t\right)\right)-f\left(s\right)\right]-f^{\Delta }\left(t\right)\left[\sigma \left(t\right)-s\right]\right|\le \epsilon \left|\sigma \left(t\right)-s\right|$

成立，则称 $f^{\Delta }\left(t\right)$ 为f在t的 $\Delta$ 导数(Hilger导数)。

关于 $\Delta$ 导数，下列性质成立。

引理1 [8]：设函数 $f,g:T\to ℝ$ 在 $t\in T^k$ 处可微，则有：

1) 若 $f^{\Delta }\left(t\right)$ 存在，则 $f\left(\sigma \left(t\right)\right)=f\left(t\right)+\mu \left(t\right)f^{\Delta }\left(t\right)$ ；

2) ${\left(f+g\right)}^{\Delta }\left(t\right)=f^{\Delta }\left(t\right)+g^{\Delta }\left(t\right)$ ；

3) ${\left(fg\right)}^{\Delta }\left(t\right)=f^{\Delta }\left(t\right)g\left(t\right)+f^{\sigma }\left(t\right)g^{\Delta }\left(t\right)=f\left(t\right)g^{\Delta }\left(t\right)+f^{\Delta }\left(t\right)g^{\sigma }\left(t\right)$ ；

4) 若 $g\left(t\right)g^{\sigma }\left(t\right)\ne 0$，则 ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\Delta }\left(t\right)=\frac{f^{\Delta }\left(t\right)g\left(t\right)-f\left(t\right)g^{\Delta }\left(t\right)}{g\left(t\right)g^{\sigma }\left(t\right)}$。

定义4 [7]：函数 $f:T\to ℝ$ 称为右稠连续的，如果f在T的右稠密点出连续，在左稠密点出左极限存在。

记T上的右稠连续函数为 $C_{rd}\left(T,ℝ\right)$。

定义5 [7]：对任意的 $t\in T^k$，若满足 $F^{\Delta }\left(t\right)=f\left(t\right)$，则称函数 $F:T\to ℝ$ 为f的一个原函数，且定义 $\Delta$ 积分为

${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(t\right)\Delta t}=F\left(b\right)-F\left(a\right)$， $\forall a,b\in T$。

关于 $\Delta$ 积分，有下面引理。

引理2 [8]：若 $a,b,c\in T$， $k_1,k_2\in ℝ$， $f,g\in C_{rd}\left(T,ℝ\right)$，则有

1) ${\displaystyle {\int }_a^b\left[k_{1}f\left(t\right)+k_{2}g\left(t\right)\right]\Delta t}=k_1{\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(t\right)\Delta t}+k_2{\displaystyle {\int }_a^{b}g\left(t\right)\Delta t}$ ；

2) ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(t\right)\Delta t}={\displaystyle {\int }_a^{c}f\left(t\right)\Delta t}+{\displaystyle {\int }_c^{b}f\left(t\right)\Delta t}$ ；

3) ${\displaystyle {\int }_t^{\sigma \left(t\right)}f\left(s\right)\Delta s}=\mu \left(t\right)f\left(t\right)$ ；

4) 若 $f\left(t\right)\le g\left(t\right)$， $\forall t\in {\left[a,b\right]}_T$，则 ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(t\right)\Delta t}\le {\displaystyle {\int }_a^{b}g\left(t\right)\Delta t}$ ；

5) ${\displaystyle {\int }_a^b{f}^{\sigma }\left(t\right)g^{\Delta }\left(t\right)\Delta t}={\left(fg\right)\left(t\right)|}_a^b-{\displaystyle {\int }_a^b{f}^{\Delta }\left(t\right)g\left(t\right)\Delta t}$。

在后面的证明中，主要用到下面的时标上的Cauchy-Schwarz不等式。

引理3 [8]：设 $a,b\in T$， $1<p,q<+\infty$，且满足 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$，则对函数 $f,g\in C_{rd}\left(T,ℝ\right)$，有

${\displaystyle {\int }_a^b\left|f\left(t\right)g\left(t\right)\right|\Delta t}\le {\left\{{\displaystyle {\int }_a^b{\left|f\left(t\right)\right|}^p\Delta t}\right\}}^{\frac{1}{p}}{\left\{{\displaystyle {\int }_a^b{\left|g\left(t\right)\right|}^q\Delta t}\right\}}^{\frac{1}{q}}$

成立。

3. 主要结果及证明

下面给出主要定理。

定理1：设T为任一时标， $a,X\in T$， $y\left(x\right)$ 为 ${\left[a,X\right]}_T$ 上的右稠连续函数，且满足 $y\left(a\right)=0$，则

$\left(p+q\right){\displaystyle {\int }_a^X{\left|y\left(x\right)\right|}^p{\left|y^{\Delta }\left(x\right)\right|}^q\Delta x}\le q{\left(X-a\right)}^p{\displaystyle {\int }_a^X{\left|y^{\Delta }\left(x\right)\right|}^{p+q}}\Delta x$， $p,q\ge 1$。 (3)

证明：对任意的 $x\in {\left[a,X\right]}_T$，定义 $z\left(x\right)={\displaystyle {\int }_a^x{\left|y^{\Delta }\left(t\right)\right|}^q\Delta t}$，则有 $z^{\Delta }\left(x\right)={\left|y^{\Delta }\left(x\right)\right|}^q$。由于

$\left|y^{\sigma }\left(x\right)\right|=\left|-y^{\sigma }\left(x\right)\right|=\left|y\left(b\right)-y^{\sigma }\left(x\right)\right|=\left|{\displaystyle {\int }_{\sigma \left(x\right)}^b{y}^{\Delta }\left(t\right)\Delta t}\right|\le {\displaystyle {\int }_{\sigma \left(x\right)}^b|y^{\Delta }\left(t\right)|\Delta t}$，

对上式运用指标分别为 $\frac{q}{q-1}$ 和q的Cauchy-Schwarz不等式，可以得到

$\left|y\left(x\right)\right|\le {\left({\displaystyle {\int }_a^x\Delta t}\right)}^{\frac{q-1}{q}}{\left({\displaystyle {\int }_a^x{\left|y^{\Delta }\left(t\right)\right|}^q\Delta t}\right)}^{\frac{1}{q}}\le {\left(X-a\right)}^{\frac{q-1}{q}}{z}^{\frac{1}{q}}\left(x\right)$。

注意到 $z\left(t\right)$ 是单调递增的，利用其单调性， $z\left(t\right)\le z\left(X\right)$， $z\left(t\right)\le z^{\sigma }\left(t\right)$。设 $f=z^{\left(p+q\right)/q},z=z\left(t\right)$，根据链式法则，有

${\left(f\circ z\right)}^{\Delta }\left(t\right)=\left[{\displaystyle {\int }_0^1{f}^{\prime }\left(z\left(t\right)+h\mu \left(t\right)z^{\Delta }\left(t\right)\right)\text{d}h}\right]z^{\Delta }\left(t\right)$，

注意到 $\mu \left(t\right)z^{\Delta }\left(t\right)=z^{\sigma }\left(t\right)-z\left(t\right)$，

$\begin{array}{c}\frac{q}{p+q}{\left(f\circ z\right)}^{\Delta }\left(t\right)=\frac{q}{p+q}\left[{\displaystyle {\int }_0^1{f}^{\prime }\left(z\left(t\right)+h\mu \left(t\right)z^{\Delta }\left(t\right)\right)\text{d}h}\right]z^{\Delta }\left(t\right)\\ =\frac{q}{p+q}\left[{\displaystyle {\int }_0^1\frac{p+q}{q}{\left(z\left(t\right)+h\mu \left(t\right)z^{\Delta }\left(t\right)\right)}^{\frac{p}{q}}\text{d}h}\right]z^{\Delta }\left(t\right)\\ =\left[{\displaystyle {\int }_0^1{\left(z\left(t\right)+h\left[z^{\sigma }\left(t\right)-z\left(t\right)\right]\right)}^{\frac{p}{q}}\text{d}h}\right]z^{\Delta }\left(t\right)\\ \ge z^{\frac{p}{q}}\left(t\right)z^{\Delta }\left(t\right){\displaystyle {\int }_0^1{\left(1+h\left[\frac{z^{\sigma }\left(t\right)-z\left(t\right)}{z\left(t\right)}\right]\right)}^{\frac{p}{q}}\text{d}h}\\ \ge z^{\frac{p}{q}}\left(t\right)z^{\Delta }\left(t\right)\end{array}$。

对上式两边同时进行积分，并由 $z\left(a\right)=0$，得

${\displaystyle {\int }_a^X{z}^{\frac{p}{q}}\left(x\right)z^{\Delta }\left(x\right)\Delta x}\le \frac{q}{p+q}{\displaystyle {\int }_a^X{\left(f\circ z\right)}^{\Delta }\left(x\right)\Delta x}={\frac{q}{p+q}{\left(z\left(x\right)\right)}^{\frac{p+q}{q}}|}_a^X=\frac{q}{p+q}{\left(z\left(X\right)\right)}^{\frac{p+q}{q}}$，

由此可得

$\begin{array}{l}\left(p+q\right){\displaystyle {\int }_a^X{\left|y\left(x\right)\right|}^p{\left|y^{\Delta }\left(x\right)\right|}^q\Delta x}\\ \le \left(p+q\right){\displaystyle {\int }_a^X{\left(X-a\right)}^{\frac{p\left(q-1\right)}{q}}{z}^{\frac{p}{q}}\left(x\right)z^{\Delta }\left(x\right)\Delta x}\\ \le q{\left(X-a\right)}^{\frac{p\left(q-1\right)}{q}}{\left(z\left(X\right)\right)}^{\frac{p+q}{q}}\\ \le q{\left(X-a\right)}^p{\displaystyle {\int }_a^X{\left|y^{\Delta }\left(x\right)\right|}^{p+q}}\Delta x\end{array}$，

故(3)式得证。

定理2：设T为任一时标， $b,X\in T$，, $y\left(x\right)$ 为 ${\left[X,b\right]}_T$ 上的右稠连续函数，且满足 $y\left(b\right)=0$，则

$\left(p+q\right){\displaystyle {\int }_X^b{\left|y^{\sigma }\left(x\right)\right|}^p{\left|y^{\Delta }\left(x\right)\right|}^q\Delta x}\le q{\left(b-X\right)}^p{\displaystyle {\int }_X^b{\left|y^{\Delta }\left(x\right)\right|}^{p+q}}\Delta x$， $p,q\ge 1$。 (4)

证明：对任意的 $x\in {\left[X,b\right]}_T$，定义 $z\left(x\right)=-{\displaystyle {\int }_x^b{\left|y^{\Delta }\left(t\right)\right|}^q\Delta t}$，易知 $z\left(x\right)$ 非减且。由于

$\left|y^{\sigma }\left(x\right)\right|=\left|-y^{\sigma }\left(x\right)\right|=\left|y\left(b\right)-y^{\sigma }\left(x\right)\right|=\left|{\displaystyle {\int }_{\sigma \left(x\right)}^b{y}^{\Delta }\left(t\right)\Delta t}\right|\le {\displaystyle {\int }_{\sigma \left(x\right)}^b|y^{\Delta }\left(t\right)|\Delta t}$，

对上式运用指标分别为 $\frac{q}{q-1}$ 和q的Cauchy-Schwarz不等式，可以得到

$\left|y^{\sigma }\left(x\right)\right|\le {\left({\displaystyle {\int }_{\sigma \left(x\right)}^b\Delta t}\right)}^{\frac{q-1}{q}}{\left({\displaystyle {\int }_{\sigma \left(x\right)}^b{\left|y^{\Delta }\left(t\right)\right|}^q\Delta t}\right)}^{\frac{1}{q}}\le {\left(b-X\right)}^{\frac{q-1}{q}}{\left(-z^{\sigma }\left(x\right)\right)}^{\frac{1}{q}}$。

进一步可得

$\left(p+q\right){\displaystyle {\int }_X^b{\left|y^{\sigma }\left(x\right)\right|}^p{\left|y^{\Delta }\left(x\right)\right|}^q\Delta x}\le \left(p+q\right){\displaystyle {\int }_X^b{\left(b-X\right)}^{\frac{p\left(q-1\right)}{q}}{\left(-z^{\sigma }\left(x\right)\right)}^{\frac{p}{q}}{z}^{\Delta }\left(x\right)\Delta x}$。

由于

${\left(-{\left(-z\right)}^{\frac{p+q}{q}}\right)}^{\Delta }\left(x\right)=\frac{p+q}{q}{\left(-z\right)}^{\frac{p}{q}}\left(c\right)z^{\Delta }\left(x\right)$， $c\in \left(x,\sigma \left(x\right)\right)$，

注意到 $z\left(x\right)$ 为非减函数，可得

${\left(-{\left(-z\right)}^{\frac{p+q}{q}}\right)}^{\Delta }\left(x\right)=\frac{p+q}{q}{\left(-z\right)}^{\frac{p}{q}}\left(c\right)z^{\Delta }\left(x\right)\ge \frac{p+q}{q}{\left({\left(-z\right)}^{\sigma }\left(x\right)\right)}^{\frac{p}{q}}{z}^{\Delta }\left(x\right)$。 (5)

由(5)式，可计算得

$\begin{array}{l}\left(p+q\right){\displaystyle {\int }_X^b{\left|y^{\sigma }\left(x\right)\right|}^p{\left|y^{\Delta }\left(x\right)\right|}^q\Delta x}\\ \le \left(p+q\right){\displaystyle {\int }_X^b{\left(b-X\right)}^{\frac{p\left(q-1\right)}{q}}{\left(-z^{\sigma }\left(x\right)\right)}^{\frac{p}{q}}{z}^{\Delta }\left(x\right)\Delta x}\\ \le q{\left(b-X\right)}^{\frac{p\left(q-1\right)}{q}}\left({\displaystyle {\int }_X^b{\left[-{\left(-z\right)}^{\frac{p+q}{q}}\left(x\right)\right]}^{\Delta }\Delta x}\right)\\ \le q{\left(b-X\right)}^p{\left(-z\right)}^{\frac{p+q}{q}}\left(X\right)\\ =q{\left(b-X\right)}^p{{\displaystyle {\int }_X^b\left|y^{\Delta }\left(x\right)\right|}}^{p+q}\Delta x\end{array}$，

故(4)式得证。

定理3：设T为任一时标， $a<b\in T$，且 $\frac{a+b}{2}\in T$， $y\left(x\right)$ 为 ${\left[a,b\right]}_T$ 上的右稠连续函数，且满足 $y\left(a\right)=y\left(b\right)=0$，则

$\left(p+q\right){\displaystyle {\int }_a^b{\left|y\left(x\right)\right|}^p{\left|y^{\Delta }\left(x\right)\right|}^q\Delta x}\le q{\left(\frac{b-a}{2}\right)}^p{\displaystyle {\int }_a^b{\left|y^{\Delta }\left(x\right)\right|}^{p+q}}\Delta x$， $p,q\ge 1$。(6)

证明：因为

$\begin{array}{l}\left(p+q\right){\displaystyle {\int }_a^b{\left|y\left(x\right)\right|}^p{\left|y^{\Delta }\left(x\right)\right|}^q\Delta x}\\ =\left(p+q\right){\displaystyle {\int }_a^{\frac{a+b}{2}}{\left|y\left(x\right)\right|}^p{\left|y^{\Delta }\left(x\right)\right|}^q\Delta x}+\left(p+q\right){\displaystyle {\int }_{\frac{a+b}{2}}^b{\left|y\left(x\right)\right|}^p{\left|y^{\Delta }\left(x\right)\right|}^q\Delta x}\\ \le \left(p+q\right){\displaystyle {\int }_a^{\frac{a+b}{2}}{\left|y\left(x\right)\right|}^p{\left|y^{\Delta }\left(x\right)\right|}^q\Delta x}+\left(p+q\right){\displaystyle {\int }_{\frac{a+b}{2}}^b{\left|y^{\sigma }\left(x\right)\right|}^p{\left|y\left(x\right)\right|}^q\Delta x}\end{array}$。 (7)

令 $X=\frac{a+b}{2}$，分别运用定理1、定理2结论可知，

$\left(p+q\right){\displaystyle {\int }_a^{\frac{a+b}{2}}{\left|y\left(x\right)\right|}^p{\left|y^{\Delta }\left(x\right)\right|}^q\Delta x}\le q{\left(\frac{b-a}{2}\right)}^p{\displaystyle {\int }_a^{\frac{a+b}{2}}{\left|y^{\Delta }\left(x\right)\right|}^{p+q}}\Delta x$，

$\left(p+q\right){\displaystyle {\int }_{\frac{a+b}{2}}^b{\left|y^{\sigma }\left(x\right)\right|}^p{\left|y^{\Delta }\left(x\right)\right|}^q\Delta x}\le q{\left(\frac{b-a}{2}\right)}^p{\displaystyle {\int }_{\frac{a+b}{2}}^b{\left|y^{\Delta }\left(x\right)\right|}^{p+q}}\Delta x$，

将上面两不等式代入(5)式可得(6)，定理得证。

基金项目

国家级大学生创新创业训练项目(201811306045)，池州学院教学团队(2018XJXTD03)。

NOTES

^*通讯作者。