SARIMA与SVR模型在天津市肝炎发病率预测中的比较

Comparison of SARIMA and SVR Models in Predicting Hepatitis Incidence in Tianjin

摘要: 为比较乘积季节差分自回归移动平均模型(SARIMA)与支持向量机回归模型(SVR)对天津市病毒性肝炎发病率的预测效果，本文根据天津市2005年1月至2017年4月病毒性肝炎发病率数据建立SARIMA和SVR预测模型，对2017年5月至12月发病率预测。SVR模型预测的RMSE，MAE和MAPE分别为0.0767，0.0701和4.25%，SVR模型与SARIMA模型中最优模型相比，三个误差评价指标分别下降了0.1089，0.1008和6.04%。预测结果显示SVR模型预测效果优于SARIMA模型，将其用于天津市的病毒性肝炎发病率短期预测，有助于该地区病毒性肝炎的防治工作。

Abstract: To compare the seasonal autoregressive integrated moving average (SARIMA) model and support vector regression(SVR) model predicted effect on the incidence of viral hepatitis in Tianjin, we used data collected from January 2005 to April 2017 as training data while the data from May 2017 to December 2017 as testing data. The RMSE, MAE and MAPE predicted by the SVR model are 0.0767, 0.0701 and 4.25%, respectively. Compared with the SARIMA model of optimal model, the three error evaluation indexes of the SVR model decreased by 0.1089, 0.1008 and 6.04% severally. The prediction effect of SVR model is better than that of SARIMA model. Its application to the short-term prediction of the incidence of viral hepatitis in Tianjin is helpful to the prevention and treatment of viral hepatitis in this area.

1. 引言

病毒性肝炎(viral hepatitis)简称肝炎，是由肝炎病毒引起的一组以肝脏损害为主要特征的传染性疾病，其具有传染性强、传播途径复杂、发病率高和流行面广等特点 [1] [2]。目前，肝炎已作为法定乙类报告传染病，法定报告的肝炎包括甲肝、乙肝、丙肝、戊肝和未分型肝炎 [3]。世卫组织报告称，感染肝炎的人口全球大约有3.25亿人，肝炎成为全球公共卫生面临的又一重大威胁 [4]。我国是肝炎的高流行区，肝炎在天津市乙类传染病报告中发病率一直居于前列，其传播给国家和个人带来了沉重的经济负担，是天津市重点防治的传染病之一。因此探讨天津市肝炎的流行规律、准确有效的预测发病率对天津市肝炎的防治工作有着重要的指导意义。

目前对肝炎发病率预测研究中时间序列方法的SARIMA模型最为广泛。汪业胜等 [5] 用SARIMA模型对我国2009~2018年肝炎的发病趋势分析和预测，预测值与实际值较一致。陈远方等 [6] 建立SARIMA模型和BP神经网络模型对我国乙型肝炎发病预测，结果显示SARIMA模型的预测效能和非线性拟合能力略优于BP神经网络模型。高云云等 [7] 和李丽娜等 [8] 运用季节模型SARIMA模型能较好模拟、预测的甲型肝炎发病情况，是一种进行短期预测效果较好的模型，将优化甲肝预防工作。近年来，机器学习算法对非线性时间序列的分析中表现出极大优势，其中较为成熟的支持向量机回归(SVR)模型已在空气质量 [9] [10]、农产品价格 [11] 等时间序列预测方面得到了成功应用，但在肝炎预测方面的应用鲜有报道。鉴于此，本研究用SARIMA模型和SVR模型对天津市肝炎发病率进行建模和预测，并对建立的模型进行比较。

2. 数据来源与研究方法

2.1. 数据来源

本文收集了2005年1月~2017年12月天津市肝炎发病率月度数据，共156个月，所有数据来源于中国公共卫生科学数据中心。

2.2. 研究方法

2.2.1. SARIMA模型

ARIMA模型是时间序列预测的经典模型，它是将非平稳时间序列转化为平稳时间序列，根据因变量、因变量的滞后值、随机误差的现值和滞后值进行回归所建立的模型 [12]，它的一般形式为 $\text{ARIMA}\left(p,d,q\right)$。 $\text{SARIMA}\left(p,d,q\right)\times {\left(P,D,Q\right)}_S$ 模型是在ARIMA模型中增加了季节项，称为季节性自回归滑动平均模型。SARIMA模型首先对季节性因素进行D阶差分，其次用差分后周期为S的季节性时间序列建立一般的ARIMA模型。

SARIMA的乘积模型表达式为：

${\nabla }^d{\nabla }_S^D{X}_t=\frac{\theta \left(B\right){\theta }_s\left(B\right)}{\varphi \left(B\right){\varphi }_s\left(B\right)}{\epsilon }_t$ (1)

其中：

$\begin{array}{l}\theta \left(B\right)=1-{\theta }_{1}B-\cdots -{\theta }_q{B}^q\\ \varphi \left(B\right)=1-{\varphi }_{1}B-\cdots -{\varphi }_p{B}^p\\ {\theta }_s\left(B\right)=1-{\theta }_1{B}^s-\cdots -{\theta }_Q{B}^{QS}\\ {\varphi }_s\left(B\right)=1-{\varphi }_1{B}^s-\cdots -{\varphi }_P{B}^{PS}\end{array}$ (2)

式中B是滞后算子， ${\epsilon }_t$ 是白噪声序列， ${\varphi }_S\left(B\right)$ 和 ${\theta }_S\left(B\right)$ 分别是季节自回归和季节移动平均算子。

2.2.2. SVR模型

支持向量回归(support vector regression，SVR)是一种基于统计学理论的机器学习算法 [13]。SVR的基本思想是：对于给定的训练样本点，通过SVR训练回归一个函数 $f\left(x\right)$，使由该函数求出的每一个输入样本的输出值和输入样本对应的目标值不超过误差 $\epsilon$，同时使回归出的函数平滑 [14]。

对于给定训练样本集 $T=\left\{\left(x_1,y_1\right),\left(x_2,y_2\right),\cdots ,\left(x_n,y_n\right)\right\}$，输出值 $y=f\left(x\right)=\omega \cdot \phi \left(x\right)+b$。SVR以 $f\left(x\right)$ 为中心构建了宽度为 $\text{2}\epsilon$ 的间隔带，落在间隔带以外的样本才计算损失。考虑到误差，引入松弛变量 ${\xi }_i,{\stackrel{⌢}{\xi }}_i$，和惩罚函数C，SVR问题可形式化为：

$\min \frac{1}{2}{\Vert \omega \Vert }^2+C{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left({\xi }_i+{\stackrel{⌢}{\xi }}_i\right)}$ (3)

$\{\begin{array}{l}\text{s}\text{.t}\text{.}f\left(x_i\right)-y_i\le \epsilon +{\xi }_i\\ y_i-f\left(x_i\right)\le \epsilon +{\xi }_i\\ {\xi }_i\ge 0,\hat{\xi }\ge 0,i=1,2,\cdots ,n\end{array}$ (4)

其中C为常数， ${\xi }_i,{\stackrel{⌢}{\xi }}_i$ 代表数据到其对应边界 $\epsilon$ 的距离。引入拉格朗日乘子 ${\lambda }_i,{\lambda }_i^{\ast }$，将上式转化为

对偶问题，则有：

$\max {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{y}_i}\left({\lambda }_i-{\lambda }_i^{\ast }\right)-\epsilon {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}\left({\lambda }_i+{\lambda }_i^{\ast }\right)}-\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}\left({\lambda }_i-{\lambda }_i^{\ast }\right)}}\left({\lambda }_j-{\lambda }_j^{\ast }\right)K\left(x_i,y_i\right)$ (5)

$\{\begin{array}{l}\text{s}\text{.t}.{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}\left({\lambda }_i-{\lambda }_i^{\ast }\right)=0}\\ 0\le {\lambda }_i\le C\\ 0\le {\lambda }_i^{\ast }\le C\end{array}$ (6)

最后得出表达式： $f\left(x\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}\left({\lambda }_i-{\lambda }_i^{\ast }\right)K\left(x_i,x_i\right)}+b$。其中 $K\left(x_i,x_i\right)$ 为核函数，本文选用的是RBF核函

数。时间序列数据建立SVR模型时，需分别截取固定大小数据段组成滑动窗口，以前面数据为输入，后面数据为输出顺次建立映射关系，即 $X_i=\left\{x_i,x_{i+1},\cdots ,x_{i+k-1}\right\},i=1,2,\cdots ,n-k+1$， $x_{i+k}=f\left(X_i\right)$，其中i为时序， $x_i$ 为第i时刻的数据，输入数据 $X_i$ 随着时问向前推动，训练样本不断地变化，但是样本内元素量k不会变动 [15]。

2.2.3. 模型评估标准

本文采用均方根误差(RMSE)、平均绝对误差(MAE)和平均绝对百分误差(MAPE)三个综合指标用于比较各模型预测差异。

$\text{RMSE}=\sqrt{\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left({\hat{y}}_i-y_i\right)}^2}}$ (7)

$\text{MAE}=\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left|{\hat{y}}_i-y_i\right|}$ (8)

$\text{MAPE}=\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left|\frac{{\hat{y}}_i-y_i}{y_i}\right|}\times \text{100\%}$ (9)

其中 $y_i$ 为实际值， ${\hat{y}}_i$ 为预测的值，n为预测样本数。

3. 模型的建立

3.1. SARIMA模型的建立

2005年1月至2017年4月天津市肝炎发病率的时序图见图1。首先对序列进行平稳性检验，通过时序图可以看出该肝炎发病率数据有明显长期趋势，其单位根检验P值为0.812，该序列是非平稳时间序列。对肝炎发病率序列做季节分解，序列具有12个月为一个周期的季节性。对原始序列作一阶12步差分提取原序列的趋势效应和季节效应，对差分后的序列平稳性检验，单位根检验的P值为0.037，该序列是平稳时间序列。对差分后序列做白噪声检验，计算出序列延迟6期和12期的Q统计量的P值均小于0.05，即该序列是非白噪声序列可进行下一步建模分析。差分后序列的自相关和偏自相关图见图2，初步确定SARIMA模型为 $\text{ARIMA}\left(4,1,3\right)\times {\left(4,1,3\right)}_{12}$，但通过查看ACF和PACF图来做出选择不准确 [16]，为寻找最优SARIMA模型，使用网格搜索法对参数进行选择，AIC最小的模型作为最优模型，最终确定模型为 $\text{ARIMA}\left(2,1,4\right)\times {\left(2,1,1\right)}_{12}$，AIC为70.137。采用上述选取的最优预测模型对2017年5月至12月天津市肝炎发病率进行预测，对2005年2月至2017年4月肝炎发病率拟合，并与实际发病数据进行对比，结果见图3。

Figure 1. Time series of hepatitis incidence

图1. 肝炎发病率时序图

Figure 2. Autocorrelation and partial autocorrelation of the sequence after difference

图2. 差分后序列的自相关图和偏自相关图

Figure 3. Comparison diagram of SARIMA model prediction

图3. SARIMA模型预测对比图

3.2. SVR模型的建立

对2005年1月至2017年4月的肝炎发病率时间序列数据建立SVR模型时，输入样本为滚动的时间序列，数据段长度k的选取(即滑动窗口选择)会影响模型预测的效果，本文k值从2依次增加，根据k值不同取值分别建立SVR模型，建立好模型后对数据拟合，以RMSE和MAPE为评价指标，若取k+1时模型的RMSE和MAPE比取k小，则继续增加k值，否则k停止增加，k为最终确定选定的值，见表1所示，本文k的取值为8。

Table 1. The corresponding error index is selected for different data segment length k

表1. 数据段长度k不同选取对应的误差指标

k选定为8，2005年1月至2017年4月的肝炎发病率被分为140组，将140组数据中前132组作为训练样本集，用于建立模型，后8组作为试验样本集，用于验证模型。其中，后8组中真实的输出值对应的时间序列为2016年9月~2017年4月的肝炎发病率数据。在验证模型时，每预测一步后，将预测值作为当月的值再进行下一月预测，将后8组真实值与预测值对比，此过程中采用网格搜索进行参数寻优。建立好SVR模型后对数据进行拟合以及对2017年5月至12月肝炎发病率预测，并与实际发病率数据进行对比，结果见图4。

Figure 4. Comparison diagram of SVR model prediction

图4. SVR模型预测对比图

3.3. 两模型预测对比

本文测试数据为2017年5月至12月的肝炎发病率，表2为两种预测模型预测结果，从表2可以看出SVR模型预测值较SARIMA模型更接近真实值，两种模型预测的RMSE、MAE和MAPE见表3，SVR模型预测的RMSE，MAE和MAPE分别为0.0767，0.0701和4.25%，SVR模型与SARIMA模型相比，三个误差评价指标分别下降了0.1089，0.1008和6.04%。

Table 2. Comparison of the predicted results of the two models

表2. 两种模型预测结果对比

Table 3. Two models predict evaluation indexes

表3. 两种模型预测评价指标

4. 结论

肝炎是危害我国人民身体健康的主要传染病，是防控的重点与研究的热点，本文根据天津市肝炎发病率月度数据，建立SARIMA和SVR模型对2017年5月~12月的发病率预测。从预测结果来看，SVR模型不仅较好地拟合原数据的趋势，其预测精度也比SARIMA模型更好。因此相对SARIMA模型，SVR模型更适合用来预测天津市肝炎的发病情况，为天津市的病毒性肝炎防控工作提供有利的帮助。

基金项目

项目名称：贵州省数据驱动建模学习与优化创新团队。

合同编号：黔科合平台人才[2020]5016。