矩阵多项式的Bezout等式

Bezout Equation in Matrix Polynomials

摘要: 本文研究经典的多项式理论中的Bezout等式在矩阵多项式理论中的情形。使用矩阵多项式的Smith标准型证明了一个关于Bezout等式的推广定理。

Abstract: This work studies the Bezout equation in matrix polynomials. A theorem generalized the Bezout theorem is proved by the Smith normal form of a matrix polynomial.

1. 引言

矩阵多项式理论在线性代数中有着非常重要的地位，在高阶微分方程理论的求解中有着重要应用。经典的多项理论中有如下结论 [1]：设 $F\left[\lambda \right]$ 是域F上的一元多项式环，则对于 $f\left(\lambda \right),g\left(\lambda \right)\in F\left[\lambda \right]$，存在 $u\left(\lambda \right),v\left(\lambda \right)\in F\left[\lambda \right]$ 使得

$u\left(\lambda \right)f\left(\lambda \right)+v\left(\lambda \right)g\left(\lambda \right)=\gcd \left(f\left(\lambda \right),g\left(\lambda \right)\right)$ (Bezout等式)

其中 $\gcd \left(f\left(\lambda \right),g\left(\lambda \right)\right)$ 表示 $f\left(\lambda \right),g\left(\lambda \right)$ 的首项系数为1的最大公因式 [2]。本文主要讨论在矩阵多项式理论中该结论的形式。

矩阵多项式 $F^{n\times n}\left[\lambda \right]$ 不是一个交换环，因此考虑 $F^{n\times n}\left[\lambda \right]$ 上的Bezout等式会有不同的形态出现，例如

$E\left(\lambda \right)A\left(\lambda \right)+F\left(\lambda \right)B\left(\lambda \right)=M(\; \lambda \; )$

$A\left(\lambda \right)S\left(\lambda \right)+T\left(\lambda \right)B\left(\lambda \right)=M(\; \lambda \; )$

分别表示Bezout等式的不同形式推广。Barnett在 [3] 中研究了首一的矩阵多项式(矩阵多项式最高次项的系数矩阵是单位矩阵)的异侧的推广形式。

2. Bezout等式在矩阵多项式中的推广

将不同形式推广的一些结论写成下面定理：

定理1设矩阵多项式 $A\left(\lambda \right)={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{m}{\sum }}{A}_i}{\lambda }^i$， $B\left(\lambda \right)={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{n}{\sum }}{B}_i}{\lambda }^i$，则

(1) $\left(\det A\left(\lambda \right),\det B\left(\lambda \right)\right)=1$ 当且仅当对于任意矩阵多项式 $M\left(\lambda \right)$，都存在矩阵多项式 $C\left(\lambda \right),D\left(\lambda \right)$，使得

$C\left(\lambda \right)A\left(\lambda \right)+B\left(\lambda \right)D\left(\lambda \right)=M(\; \lambda \; )$

同理， $\left(\det A\left(\lambda \right),\det B\left(\lambda \right)\right)=1$ 当且仅当对于任意矩阵多项式 $M\left(\lambda \right)$，都存在 $S\left(\lambda \right),T\left(\lambda \right)$，使得

$A\left(\lambda \right)S\left(\lambda \right)+T\left(\lambda \right)B\left(\lambda \right)=M(\; \lambda \; )$

(2) 存在 $E_1\left(\lambda \right),F_1\left(\lambda \right)$ 使得

$E_1\left(\lambda \right)A\left(\lambda \right)+F_1\left(\lambda \right)B\left(\lambda \right)=I$

当且仅当对任意的矩阵多项式 $M\left(\lambda \right)$ 都存在 $E\left(\lambda \right),F\left(\lambda \right)$ 使得

$E\left(\lambda \right)A\left(\lambda \right)+F\left(\lambda \right)B\left(\lambda \right)=M(\; \lambda \; )$

同理，存在 $G_1\left(\lambda \right),H_1\left(\lambda \right)$ 使得

$A\left(\lambda \right)G_1\left(\lambda \right)+B\left(\lambda \right)H_1\left(\lambda \right)=I$

当且仅当对任意的矩阵多项式 $M\left(\lambda \right)$ 都存在 $G\left(\lambda \right),H\left(\lambda \right)$ 使得

$A\left(\lambda \right)G\left(\lambda \right)+B\left(\lambda \right)H\left(\lambda \right)=M\left(\lambda \right)$。

证 (1) 由文献 [4] 中关于Smith标准型的相关理论(定理S1.1)可知，存在可逆的多项式矩阵 $X\left(\lambda \right)$， $Y\left(\lambda \right)$， $P\left(\lambda \right)$， $Q\left(\lambda \right)$，通过左右乘矩阵得到

$X\left(\lambda \right)A\left(\lambda \right)Y\left(\lambda \right)=\left[\begin{array}{ccc}{a}_1\left(\lambda \right)& & \\ & \ddots & \\ & & a_h\left(\lambda \right)\end{array}\right]$，

$P\left(\lambda \right)B\left(\lambda \right)Q\left(\lambda \right)=\left[\begin{array}{ccc}{b}_1\left(\lambda \right)& & \\ & \ddots & \\ & & b_h\left(\lambda \right)\end{array}\right]$，

因为 $\left(\det A\left(\lambda \right),\det B\left(\lambda \right)\right)=1$， $\det A\left(\lambda \right)=a_1\left(\lambda \right)\cdots a_h\left(\lambda \right)$， $\det B\left(\lambda \right)=b_1\left(\lambda \right)\cdots b_h\left(\lambda \right)$。

所以 $\left(a_i\left(\lambda \right),b_j\left(\lambda \right)\right)=1$，所以存在 $u_{ij}\left(\lambda \right)$， $v_{ji}\left(\lambda \right)$，使得

$u_{ij}\left(\lambda \right)a_i\left(\lambda \right)+d_j\left(\lambda \right)v_{ji}\left(\lambda \right)=1$

因此，存在矩阵 $U\left(\lambda \right),V\left(\lambda \right)$ 使得

$U\left(\lambda \right)\left[\begin{array}{ccc}{a}_1\left(\lambda \right)& & \\ & \ddots & \\ & & a_h\left(\lambda \right)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}{b}_1\left(\lambda \right)& & \\ & \ddots & \\ & & b_h\left(\lambda \right)\end{array}\right]V\left(\lambda \right)=P\left(\lambda \right)M\left(\lambda \right)Y(\; \lambda \; )$

所以

$U\left(\lambda \right)X\left(\lambda \right)A\left(\lambda \right)Y\left(\lambda \right)+P\left(\lambda \right)B\left(\lambda \right)Q\left(\lambda \right)V\left(\lambda \right)=P\left(\lambda \right)M\left(\lambda \right)Y(\; \lambda \; )$

左乘 $P^{-1}\left(\lambda \right)$，右乘 $Y^{-1}\left(\lambda \right)$ 可得

$P^{-1}\left(\lambda \right)U\left(\lambda \right)X\left(\lambda \right)A\left(\lambda \right)+B\left(\lambda \right)Q\left(\lambda \right)V\left(\lambda \right)Y^{-1}\left(\lambda \right)=M(\; \lambda \; )$

即

$C\left(\lambda \right)A\left(\lambda \right)+B\left(\lambda \right)D\left(\lambda \right)=M\left(\lambda \right)$，

其中

$C\left(\lambda \right)=P^{-1}\left(\lambda \right)U\left(\lambda \right)X\left(\lambda \right)$，

$D\left(\lambda \right)=Q\left(\lambda \right)V\left(\lambda \right)Y^{-1}\left(\lambda \right)$。

同理可得，存在 $S\left(\lambda \right),T\left(\lambda \right)$，使得

$A\left(\lambda \right)S\left(\lambda \right)+T\left(\lambda \right)B\left(\lambda \right)=M(\; \lambda \; )$

(2) 若存在 $E_1\left(\lambda \right),F_1\left(\lambda \right)$ 使得

$E_1\left(\lambda \right)A\left(\lambda \right)+F_1\left(\lambda \right)B\left(\lambda \right)=I$

则等式左端同乘 $M\left(\lambda \right)$，有 $E\left(\lambda \right)A\left(\lambda \right)+F\left(\lambda \right)B\left(\lambda \right)=M\left(\lambda \right)$，其中 $E\left(\lambda \right)=M\left(\lambda \right)E_1\left(\lambda \right)$， $F\left(\lambda \right)=M\left(\lambda \right)F_1\left(\lambda \right)$。

反之，由于 $M\left(\lambda \right)$ 的任意性，显然成立。

下面给出关于不同推广形式的两个例子，上述证明过程中使用了辗转相除法，这为求解问题提供了一种方法。

例1设

$A\left(\lambda \right)=\left[\begin{array}{cc}{\lambda }^2+2\lambda & 1\\ \lambda +2& \lambda \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]{\lambda }^2+\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 1\end{array}\right]\lambda +\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 2& 0\end{array}\right]$

$B\left(\lambda \right)=\left[\begin{array}{cc}{\lambda }^3-\lambda & 2{\lambda }^2\\ {\lambda }^2+5\lambda & 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]{\lambda }^3+\left[\begin{array}{cc}0& 2\\ 1& 0\end{array}\right]{\lambda }^2+\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 5& 0\end{array}\right]\lambda +\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 3\end{array}\right]$

则

$\det A\left(\lambda \right)=\left|\begin{array}{cc}{\lambda }^2+2\lambda & 1\\ \lambda +2& \lambda \end{array}\right|=\left(\lambda -1\right)\left(\lambda +1\right)\left(\lambda +2\right)$，

$\det B\left(\lambda \right)=\left|\begin{array}{cc}{\lambda }^3-\lambda & 2{\lambda }^2\\ {\lambda }^2+5\lambda & 3\end{array}\right|=-\lambda \left(2{\lambda }^3+7{\lambda }^2+3\right)$，

因此 $\left(\det A\left(\lambda \right),\det B\left(\lambda \right)\right)=1$。

设

$M\left(\lambda \right)=\left[\begin{array}{cc}3{\lambda }^4+3{\lambda }^3-2{\lambda }^2+3\lambda +2& {\lambda }^4+2{\lambda }^2+2\lambda \\ 3{\lambda }^3+19{\lambda }^2+11\lambda -3& {\lambda }^3+7{\lambda }^2+5\end{array}\right]$

则存在矩阵多项式

$C\left(\lambda \right)=\left[\begin{array}{cc}\lambda & \lambda +1\\ 2& 2\lambda \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\lambda & \lambda \\ 0& 2\lambda \end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 2& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right]\lambda +\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 2& 0\end{array}\right]$，

$D\left(\lambda \right)=\left[\begin{array}{cc}3\lambda & \lambda \\ \lambda -1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3\lambda & \lambda \\ \lambda & 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ -1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\lambda +\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ -1& 1\end{array}\right]$，

使得

$\begin{array}{l}\left[\begin{array}{cc}\lambda & \lambda +1\\ 2& 2\lambda \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{\lambda }^2+2\lambda & 1\\ \lambda +2& \lambda \end{array}\right]\text{+}\left[\begin{array}{cc}{\lambda }^3-\lambda & 2{\lambda }^2\\ {\lambda }^2+5\lambda & 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}3\lambda & \lambda \\ \lambda -1& 1\end{array}\right]\\ \text{=}\left[\begin{array}{cc}3{\lambda }^4+3{\lambda }^3-2{\lambda }^2+3\lambda +2& {\lambda }^4+2{\lambda }^2+2\lambda \\ 3{\lambda }^3+19{\lambda }^2+11\lambda -3& {\lambda }^3+7{\lambda }^2+5\end{array}\right]\end{array}$，

即

$C\left(\lambda \right)A\left(\lambda \right)+B\left(\lambda \right)D\left(\lambda \right)=M\left(\lambda \right)$。

例2. 设

$A\left(\lambda \right)=\left[\begin{array}{ccc}1-\lambda & {\lambda }^2& \lambda \\ \lambda & \lambda & -\lambda \\ 1+{\lambda }^2& {\lambda }^2& -{\lambda }^2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 1& 1& -1\end{array}\right]{\lambda }^2+\left[\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 1& 1& -1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\lambda +\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right]$

$B\left(\lambda \right)=\left[\begin{array}{ccc}\lambda -2& -1& 0\\ 0& \lambda -2& -1\\ 0& 0& \lambda -2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\lambda +\left[\begin{array}{ccc}-2& -1& 0\\ 0& -2& -1\\ 0& 0& -2\end{array}\right]$

则

$\det A\left(\lambda \right)=\left|\begin{array}{ccc}1-\lambda & {\lambda }^2& \lambda \\ \lambda & \lambda & -\lambda \\ 1+{\lambda }^2& {\lambda }^2& -{\lambda }^2\end{array}\right|=-{\lambda }^2\left(\lambda +1\right)$，

$\det B\left(\lambda \right)=\left|\begin{array}{ccc}\lambda -2& -1& 0\\ 0& \lambda -2& -1\\ 0& 0& \lambda -2\end{array}\right|={\left(\lambda -2\right)}^3$，

因此 $\left(\det A\left(\lambda \right),\det B\left(\lambda \right)\right)=1$。

设

$M\left(\lambda \right)=\left[\begin{array}{ccc}{\lambda }^3+2{\lambda }^2-2\lambda & {\lambda }^3+2\lambda -6& -{\lambda }^3-\lambda -3\\ 2{\lambda }^3+5{\lambda }^2-4\lambda & 2{\lambda }^3+4{\lambda }^2-2\lambda -12& -2{\lambda }^3-{\lambda }^2-5\lambda -6\\ {\lambda }^2+\lambda & {\lambda }^3+8{\lambda }^2-12\lambda & -8\lambda \end{array}\right]$

则存在矩阵多项式

$E\left(\lambda \right)=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& \lambda \\ 0& \lambda +2& 2\lambda \\ \lambda & 2\lambda & 0\end{array}\right]$， $F\left(\lambda \right)=\left[\begin{array}{ccc}2\lambda & 3& 0\\ 4\lambda & 3\lambda +6& 0\\ 0& 6\lambda & \lambda \end{array}\right]$

使得

$\begin{array}{l}\left[\begin{array}{ccc}0& 1& \lambda \\ 0& \lambda +2& 2\lambda \\ \lambda & 2\lambda & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1-\lambda & {\lambda }^2& \lambda \\ \lambda & \lambda & -\lambda \\ 1+{\lambda }^2& {\lambda }^2& -{\lambda }^2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}2\lambda & 3& 0\\ 4\lambda & 3\lambda +6& 0\\ 0& 6\lambda & \lambda \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\lambda -2& -1& 0\\ 0& \lambda -2& -1\\ 0& 0& \lambda -2\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{ccc}{\lambda }^3+2{\lambda }^2-2\lambda & {\lambda }^3+2\lambda -6& -{\lambda }^3-\lambda -3\\ 2{\lambda }^3+5{\lambda }^2-4\lambda & 2{\lambda }^3+4{\lambda }^2-2\lambda -12& -2{\lambda }^3-{\lambda }^2-5\lambda -6\\ {\lambda }^2+\lambda & {\lambda }^3+8{\lambda }^2-12\lambda & -8\lambda \end{array}\right]\end{array}$，

即

$E\left(\lambda \right)A\left(\lambda \right)+F\left(\lambda \right)B\left(\lambda \right)=M\left(\lambda \right)$。

基金项目

山东省自然科学基金(项目编号：ZR2018PA002)资助。

参考文献

NOTES

^*通讯作者。