1. 引言
本文考虑如下奇异拟线性椭圆型方程解的存在性和多重性:
(1.1)
其中
是一个具有光滑边界的有界区域,
、
、
是连续的且满足一定条件。
近几十年,对含有p-Laplace算子的拟线性椭圆型方程解的存在性等相关问题得到了广泛的研究,如文献 [1] [2] [3]。同时,非线性奇异边值问题也引起了不少学者的关注,尤其在流体力学、非牛顿流体等物理领域涌现出了大量的研究成果,如文献 [4] [5] [6]。但对于同时包含问题(1.1)中拟线性项以及奇异非线性项的椭圆型方程的问题,仅有较少学者进行研究,且均为
的情况,具有代表性结果的是文献 [7] [8] [9]。
本文目的在于将已有的相关成果拓展到
的情形,得到方程(1.1)解的存在性和多重性结果。
下面给出函数
和
满足的条件:
(b1)存在函数
,
且
,使得
。
(f1)对几乎处处
和任意
,存在常数
,使得
.
(f2)对几乎处处
和任意
,存在
,
且
,
不恒为0,使得
(f3)对几乎处处
和任意
,存在
且
,使得
其中
。
若
,
,成立
(1.2)
其中
,则称函数
是方程(1.1)的一个正弱解。
进一步,方程(1.1)对应泛函如下:
其中
。不难发现,对其直接应用变分方法存在困难,主要困难在于当
时,
不一定成立。为解决这一困难,参考文献 [10] 中的方法,我们进行变量替换
,g定义为
(1.3)
对应泛函J可写为
(1.4)
且定义
,在给定
合理假设条件下,
在
上有意义。进一步,
为如下拟线性方程对应的Euler-Lagrange泛函:
(1.5)
显然,若v是方程(1.5)的弱解,则
是方程(1.1)的弱解。因此只需要研究方程(1.5)的解的存在性。
本文主要结果如下:
定理1.1:假设条件(b1)、(f1)和(f2)成立,则存在
使得当
成立时,方程(1.1)至少存在一个正弱解。
定理1.2:假设条件(b1)、(f1)~(f3)成立,
,
,则存在
使得当
成立时,方程(1.1)至少存在两个正弱解
,且
。
2. 预备知识和基本引理
符号:记
表示不同的正常数,且相邻出现可能是不相同的。
记
是Lebesgue空间,并定义范数
;
。
记
是Sobolev空间,并定义范数
。
注记2.1:由(b1)中
的可积性条件,可知
且
。
引理2.2 [9] [10]:函数g及其导数满足下列性质:
1) 函数g唯一确定的,且是
和可逆的;
2) 对所有
,
;
3) 对所有
,
;
4) 当
,
;
5) 对所有
,
;
6) 对所有
,
;
7) 当
,
;
8) 存在一个正常数C,使得
9) 对所有
且
,
;
10) 对所有
,
。
引理2.3:函数
满足下列性质:
1)
在
递减;
2)
;
3) 存在常数
使得对所有
,成立
。
证明:根据g的定义及(1.3)式可知,
在
递增,
在
递减。当
时,
且
,则(1)得证。又因
且
时,
,
,则可得(2)成立。结合(1)的结论以及当
时,
且
,则可立即证得(3)成立。证毕。
3. 定理1.1的证明
我们称
分别为方程(1.5)上解和下解,当且仅当
时,下列条件成立:
1) 对几乎处处
,有
;
2) 对任意
,
,有
本节我们将证明方程(1.5)有一个弱解
满足对几乎处处
,有
首先,我们考虑下列边值问题:
(3.1)
命题3.1 [11]:假设
,则方程(3.1)有唯一弱解
。进一步,若
是非平凡的,则
其中
为
上的单位内法向量。
引理3.2:假设条件(b1)、(f1)和(f2)成立,则存在
使得当
成立时,存在
满足:
1)
且
,其中
且由(f1)给定;
2) 对几乎处处
,有
;
3)
分别为方程(1.5)上解和下解。
证明:由(b1)可知,
。进一步,又因
,
,根据命题3.1可得下列问题
(3.2)
有一个唯一解
且
,
。根据(b1)中所给
定义,可得
且
。现在,我们设
充分小,使得
成立,其中
,
由(f1)给定且
。进一步,由引理2.3-(2)可得,对任意
,有
(3.3)
其中k为(f1)给定常数。由引理2.2-(2)和(8),我们推得
且
(3.4)
结论(1)证毕。
类似地,为了证明结论(2),我们考虑
为下列方程唯一解:
(3.5)
其中
由(f2)给定。由(3.3)式和(3.4)式可得,对几乎处处
有
(3.6)
设
,对所有
,
,可知
(3.7)
因此,由弱比较原则可以得到,对几乎处处
,
成立。
最后,根据
和引理2.2-(3)可知,
。再由(3.6)式,(f1)和引理2.2-(2),对任意
,我们有
即证得
为方程(1.5)的下解。
进一步,利用
的定义以及
,由命题3.1和(3.5)式得到
。因此,存在常数
(不依赖于
和
)使得
(3.8)
因为
且对几乎处处
有
,利用引理2.3-(1),(f2)及(3.5)式,我们可知
(3.9)
设
(
为(3.8)式中的常数),若
,可知对几乎处处
,有
即在
上
。因此,根据(3.9)式可得
为方程(1.5)的上解。证毕。
定理1.1的证明考虑截断函数
,
(3.10)
同时考虑下列辅助问题
(3.11)
且(3.11)式对应能量泛函
由下式给定
(3.12)
其中
。
根据(3.10)式,引理2.3-(1)及
,对几乎处处
及所有
,我们可得
(3.13)
其中
。
结合(3.12)式,(3.13)式和
,运用Hölder不等式和Sobolev嵌入不等式,对所有
我们有
因此,
是强制的。
其次,定义集合
和
,不难发现集合
在
上既为闭集也为凸集,因此其为弱闭集。
进一步,由于
是强制的,则对于集合
内的极小化序列
是有界的且存在弱收敛子列,我们仍然记为
,可得
(3.14)
由(3.13)式、(3.14)式,Sobolev嵌入不等式和Lebesgue控制收敛定理可得
因此,
在集合
上为弱下半连续的。
由文献 [12] 中的定理1.2可知,
在点
达到极小值,同时,参考文献 [12] 中的定理2.4的证明方法,我们可知
。因此,
是方程(3.11)的一个弱解。
最后,根据(3.10)式中
的定义,当
时,
为方程(1.5)的一个弱解,即
为方程(1.1)的一个正弱解。
4. 定理1.2的证明
我们定义
,且对所有的
,非线性映射定义为
且该映射满足如下性质(参考文献 [13] ):
命题4.1:映射
是有界的、连续的和严格单调的,并且为
型,即若
在
上成立和
成立,则在
上有
。
现在,结合引理3.2中
,我们可定义Carathéodory函数
为:
(4.1)
同时考虑如下辅助问题
(4.2)
且(4.2)式对应能量泛函
由下式给定
(4.3)
其中
。根据
定义,当
时,我们有
运用引理2.2-(5)和(10)、引理2.3-(1)和(f2),当
时,有
因此,对几乎处处
和任意
,可得
(4.4)
其中
且
。基于前面所做的工作,我们可立即得出
,且
的任意一个临界点都对应方程(4.2)的一个弱解。
引理4.2:假设条件(b1)和(f1)~(f3)成立,则泛函
在任意
水平满足Palais-Smale条件。
证明:设序列
,且同时满足
,
。由
定义,经过一些简单的计算,当
时,我们可得
(4.5)
接下来,针对
的情况,我们将从以下三种情形考虑:
和
。
情形1:
。
令
和
。不失一般性,根据条件(f3)我们假设
,则当
时,由引理2.2-(6)和引理2.3-(1),可以推出
(4.6)
当
时,根据条件(f3),进一步得到
(4.7)
结合(4.5)~(4.7)式和
,可知对几乎处处
和所有
,有
其中
。因此可得
最终得到
情形2:
。
此与情形1方法类似,在此省略详细论述。
情形3:
。
利用引理2.3-(1)和引理2.2-(2),当
时,推出
(4.8)
若
,利用(f3)即得
(4.9)
结合(4.5)、(4.8)和(4.9)式,运用与情形1相同方法可得出
综合情形1~情形3来看,可推出对所有
,
在
上有界,因此
(4.10)
进一步,对任意给定的
,可知
选定
,得到
(4.11)
另一方面,我们有
因为
,容易看出
且
。由(4.10)式可得
(4.12)
因此,由(4.11)和(4.12)式推出
运用命题4.1进一步得到在
上,
成立。证毕。
引理4.3:假设条件(b1)和(f1)~(f3)成立,则存在
使得
时,下列事实成立:
1) 存在
使得
;
2) 存在
使得
。
证明:根据(4.4)式,若
,则有
因此,根据Sobolev嵌入不等式可得
选定
使得
。再令
,对所有
,当
时,有
。
针对结论(2),由(f2)和(f3)不难发现,存在
,使得对几乎处处
和任意
,有
(4.13)
进一步,当
时,对几乎处处
可推出
因此,由引理2.2-(9)可知,当
时,有
(4.14)
因为
,由(4.14)式可知,当
时,
。因此,选定
,当
充分大时可得
。证毕。
定理1.2的证明根据引理4.2、引理4.3和山路引理 [14] 可知,泛函
有一个临界点
,且同时满足
和
为方程(4.2)的一个弱解。
接下来,我们进一步证明对几乎处处
,均有
。
事实上,取
作为方程(4.2)的弱解定义式中的测试函数,得到
由算子的单调性可知,对几乎处处
,均有
,即对几乎处处
,
成立。
进一步,根据
定义和
,我们可得
(4.15)
且
(4.16)
结合(4.15)、(4.16)式和
,可知
。
最后,由(4.1)式中
定义,当
时,可以推出
为方程(1.5)的一个正弱解,从而
为原方程(1.1)的一个正弱解。
取
替换(4.1)式中的
,运用与上述证明相同的方法,我们可进一步推出,对几乎处处
,均成立
。