1. 引言
Gorenstein同调代数最早可追溯到二十世纪六十年代末,Enochs和Jenda在一般环上引入了Gorenstein内射、投射和平坦模的概念 [1] [2]。近年来,随着Gorenstein同调代数的不断发展,从而受到了许多学者的关注。2012年,Gao在文献 [3] 中引入了弱Gorenstein内射、投射和平坦模的概念,并刻画了一些特殊的环。Enochs和Jenda在文献 [4] 中给出了强余纯平坦模的概念。Wang在一般环上讨论了弱Gorenstein内射模 [5]。根据以上研究的启发,本文在Gao的基础上继续研究了弱Gorenstein内射模,并证明了弱Gorenstein内射模类关于正向极限封闭。
2. 预备知识
除非特别声明,环R是具有单位元的结合环,所以涉及的模均是酉模,ModR表示左R-模范畴。
定义2.1 [1] 称左R-模M是Gorenstein内射的,如果存在一个内射左R-模的正合序列
使得
,并且对任意的内射左R-模E,
是正合的。
定义2.2 [2] 称左R-模M是Gorenstein平坦的,如果存在一个平坦左R-模的正合序列
使得
,并且对任意的内射右R-模E,
正合。
定义2.3 [3] 我们称左R-模M是弱Gorenstein内射的,如果存在一个内射左R-模的正合序列
使得
。
定义2.4 [4] 我们称左R-模M是强余纯平坦模,如果对任意的内射右R-模I,使得
。
3. 主要结果
引理3.1 [5] 设M是内射左R-模,则以下表述等价:
1) M是弱Gorenstein内射模;
2) 存在一个左R-模的正合序列
,其中对任意的
,
是内射的;
3) 存在一个左R-模的正合序列
,其中
是内射的,L是弱Gorenstein内射的。
命题3.2 设
是一个左R-模的正合序列。若M是弱Gorenstein内射模且E是内射的,则N是弱Gorenstein内射的。
证明:因为M是弱Gorenstein内射的,所以由引理3.1知存在一个左R-模的正合列
,其中I是内射的且L是弱Gorenstein内射的。考虑如下推出图:
在中间行正合列
中,因为I与E是内射的,所以D也是内射的。在中间列正合列
中,L是弱Gorenstein内射模,D是内射模,那么根据引理3.1知N是弱Gorenstein内射的。
命题3.3 设
是左R-模的正合序列。若
和
是弱Gorenstein内射模,则M是弱Gorenstein内射模。
证明:因为
是弱Gorenstein内射模,所以由引理3.1知存在一个左R-模的短正合列
,其中I是内射的且N是弱Gorenstein内射模。考虑
和
的拉回:
在行正合列
中,
是弱Gorenstein内射模且I是内射模,那么由命题3.2知E是弱Gorenstein内射模,在列正合列
中,E和N是弱Gorenstein内射左R-模,令
,那么M是弱Gorenstein内射模。
推论3.4 设
是左R-模的正合序列。如果
和
是弱Gorenstein内射模,那么有正合列
和
,其中E和I是内射左R-模,G和D是弱Gorenstein内射的。
证明:因为
是弱Gorenstein内射模,所以由引理3.1 (3)知存在一个左R-模的短正合列
,其中E是内射的且
是弱Gorenstein内射的。令
考虑以下交换图:
在列正合列
中,由条件知
和
是弱Gorenstein内射左R-模,根据命题3.3得
是弱Gorenstein内射模。那么有以下交换图:
其中
是内射模,
是弱Gorenstein内射模。同理可证在正合列
中,
是内射的左R-模,
是弱Gorenstein内射的。
命题3.5 设R是交换环。如果
是弱Gorenstein内射左R-模,那么对任意的平坦左R-模
,
是弱Gorenstein内射左R-模。
证明:设
是弱Gorenstein内射模,则存在一个内射左R-模的正合序列
使得
,于是
是正合的且由文献 [6] 定理3.44知对任意的
,
和
是内射的。因此
,可证
是弱Gorenstein内射模。
称环R是左IF环。如果每个内射左R-模是平坦的。
推论3.6 设R是交换的IF环。如果
是弱Gorenstein内射左R-模,那么对任意的内射左R-模
,
是弱Gorenstein内射左R-模。
证明:证明过程与命题3.5类似。
我们称环R是Gorenstein环,如果它是双边Noether环且它作为模时有有限的自内射维数。若它的自内射维数为n,则环R是n-Gorenstein环。
命题3.7 设R是n-Gorenstein环,则以下条件等价:
1)
是弱Gorenstein内射右R-模;
2)
是Gorenstein内射右R-模;
3)
是Gorenstein平坦左R-模;
4)
是Gorenstein内射右R-模;
5)
是强余纯平坦左R-模。
证明:
显然的。
由文献 [3] 注2.11可证。
由文献 [7] 推论10.3.9可证。
假设
是Gorenstein平坦左R-模,那么存在一个平坦左R-模的正合序列
其中
。于是
是正合的,其中对任意的
,
与
是内射右R-模。又因为
是正合的,所以
是正合的且
。下证对任意的内射右R-模E使得
正合。因为
是正合的,于是
是正合的,我们可以构造同构映射
因此我们可以得到
是正合的,即
是Gorenstein内射右R-模。
因为
是Gorenstein内射右R-模。那么存在正合列
且每个
是内射右R-模且
是正合的。那么对所有的
,
。因此我们有
。即
,可证
是强余纯平坦左R-模。
设R是n-Gorenstein环,那么对任意的内射右R-模
,
。因为当
时,
。作
的平坦分解
其中对任意的
,
是平坦模。那么
是正合的。同理作
的余真的右平坦分解
其中对任意的
,
是平坦模。那么
是正合的。因此可以得到正合序列
因此
是Gorenstein平坦左R-模。
定理3.8 设R是任意环。若
是弱Gorenstein内射左R-模构成的序列,则正向极限
是弱Gorenstein内射的。
证明:结合文献 [8],我们只要证明弱Gorenstein内射模类在良序正向极限下封闭。设
是一个弱Gorenstein内射模良序正向系统。我们假设
是连续的。如果
是
的极限序,那么
。利用超限归纳法证明
是弱Gorenstein内射的。
当
时,
是弱Gorenstein内射的,结论成立。假设当
时,
是弱Gorenstein内射的,下证当
时,
是弱Gorenstein内射的。
因为
是弱Gorenstein内射的,所以有正合列
其中对任意的
,
都是内射的,令
。那么由文献 [2] 推论2.11知
是弱Gorenstein内射的且
时
。作
和
的推出图:
在行正合列
中,
和
是弱Gorenstein内射的,结合命题3.3得
是弱Gorenstein内射的。因此存在正合列
其中
是内射的,
是弱Gorenstein内射的。考虑以下推出图:
在列正合列
,
和
是弱Gorenstein内射左R-模,同理可得
也是弱Gorenstein内射的。那么通过态射
,可诱导出以下正合列的态射:
同理,我们可通过态射
诱导出以下正合列的态射:
其中
是内射的,
是弱Gorenstein内射的。继续重复上述过程,我们可得到以下交换图:
其中每行都正合,对任意的
,
是内射的左R-模。因此上述每一列又是一个正向系,所以我们可获得一个正合列
其中
是内射的。由引理3.1(2)知
是弱Gorenstein内射的。