Gorenstein强FI-内射模

doi:10.12677/PM.2021.115110

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Gorenstein强FI-内射模
Gorenstein Strongly FI-Injetive Modules

DOI: 10.12677/PM.2021.115110, PDF, HTML, XML, 下载: 507 浏览: 1,216
作者: 袁倩：西北师范大学数学与统计学院，甘肃兰州
关键词: 强FI-内射模；Gorenstein强FI-内射模；余挠对；Strongly FI-Injetive Module； Gorenstein Strongly FI-Injetive Module； Cotorsion Pair

摘要: 引入强FI-内射模和Gorenstein强FI-内射模，讨论了这两类模的同调性质，证明了(^⊥₁SFI(R),SFI(R))是遗传完备的余挠对。

Abstract: The strongiy FI-injective modules and the Gorenstein strongly FI-injective modules are introduced, and the homology properties of these two types of modules are discussed. It is proved that (^⊥₁SFI(R),SFI(R)) is a hereditary-complete cotorsion pair.

文章引用：袁倩. Gorenstein强FI-内射模[J]. 理论数学, 2021, 11(5): 966-972. https://doi.org/10.12677/PM.2021.115110

1. 引言

1995年，Enochs等人在一般环上引入Gorenstein内射模的概念 [1]。称内射左R-模的正合列 $E = \dots \to E^{- 1} \to E^{0} \to E^{1} \to \dots$ 是完全内射分解，如果对任意内射左R-模E，序列 ${Hom}_{R} (E, E)$ 正合。称左R-模N是Gorenstein内射模，如果存在一个完全内射分解 $E$ 使得 $N ≅ Ker (E^{0} \to E^{1})$ 。2007年，Mao等人引入FI-内射模的概念 [2]。称左R-模M是FP-内射(或绝对纯)模，若对任意的有限表示R-模F， ${Ext}_{R}^{1} (F, M) = 0$ ( [3] [4] )。称左R-模M是FI-内射模，若对任意FP-内射R-模G， ${Ext}_{R}^{1} (G, M) = 0$ 。2019年，陈东等人引入Gorenstein FI-内射模的概念 [5]。称左R-模M是Gorenstein FI-内射模，如果存在内射模的正合列 $E = \dots \to E_{1} \to E_{0} \to E^{0} \to E^{1} \to \dots$ ，使得 $M ≅ Ker (E^{0} \to E^{1})$ ，且对任意FI-内射模I， ${Hom}_{R} (I, E)$ 正合。

受以上文献的启发，我们引入强FI-内射模和Gorenstein强FI-内射模的概念，讨论其同调性质，并找到了一个遗传完备的余挠对(详见定理2.7)。

本文中所提到的环均指有单位元的结合环。模均指酉模，除非特别说明，R-模指左R-模。本文中，我们用 $R -Mod$ ， $I (R)$ ， $P (R)$ ， $FI (R)$ ， $FPI (R)$ ， $GFI (R)$ 和 $GI (R)$ 分别表示R-模类，内射R-模类，投射R-模类，FI-内射R-模类，FP-内射R-模类，Gorenstein FI-内射R-模类和Gorenstein内射R-模类；用 $id (M)$ , $FP-id (M)$ 分别表示R-模M的内射维数和FP-内射维数； $ℕ$ 表示自然数集。

2. 强FI-内射模

设M是一R-模， $ℵ$ 是一R-模类，记 $^{⊥} ℵ = {M | 对任意 X \in ℵ, {Ext}_{R}^{\geq 1} (M, X) = 0}$ ； ${}^{⊥_{1}}ℵ = {M | 对任意 X \in ℵ, {Ext}_{R}^{1} (M, X) = 0}$ [6]。对偶地，可定义 $ℵ^{⊥}$ 和 $ℵ {}^{⊥_{1}}$ 。

设F是R-模类，M是一R-模，称同态 $φ : C \to M$ 是M的F-预覆盖，如果 $C \in F$ ，并且对任意 $C^{'} \in F$ ，任意同态 $g : C^{'} \to M$ ，存在同态 $f : C^{'} \to C$ ，使得 $g = φ f$ ，其中 $C^{'} \in F$ ；取 $C^{'} = C$ ，若满足 $g = φ f$ 的f都是C的自同构，则称 $φ$ 为M的 $F - 覆盖$ 。对偶地，可定义M的F-预包络和F-包络。若满同态 $φ : C \to M$ 满足 $C \in F$ ，并且 $K e r φ \in F^{⊥_{1}}$ ，则称 $φ : C \to M$ 是M的特殊F-预覆盖。对偶地，可定义M的特殊F-预包络 [7]。

设 $A$ ， $B$ 是两个R-模类，称类对 $(A, B)$ 是一余挠对，如果 $A = {}^{⊥_{1}}B$ ， $B = A {}^{⊥_{1}}$ 。称余挠对 $(A, B)$ 是遗传的，如果对任意 $A \in A$ ， $B \in B$ ， ${Ext}_{R}^{\geq 1} (A, B) = 0$ 。若每个R-模有特殊A-预覆盖(等价于特殊 $B - 预包络$ )，则称 $(A, B)$ 为完备的余挠对 [7]。

本部分我们引入强FI-内射模，讨论其同调性质，并证明 $({}^{⊥_{1}}S FI (R),SFI (R))$ 是一遗传完备的余挠对。

定义2.1 称R-模M是强FI-内射模，若对任意 $I \in FPI (R)$ ， ${Ext}_{R}^{\geq 1} (I, M) = 0$ 。

我们将强FI-内射R-模类记为 $SFI (R)$ 。

称R-模类 $X (R)$ 是内射可解类，如果 $I (R) \subseteq X (R)$ ，且对任意 $X (R)$ 中的正合列 $0 \to X^{'} \to X \to X^{″} \to 0$ ，其中 $X^{'} \in X (R)$ ，则 $X^{″} \in X (R) \Leftrightarrow X \in X (R)$ [6]。

关于定义，我们注意到

注记2.2 1) $I (R) \subseteq SFI (R) \subseteq FI (R)$ ；特别地，如果R是左Noether环，则 $FPI (R) \subseteq I (R) \subseteq SFI (R) \subseteq FI (R)$ 。

2) $SFI (R)$ 是内射可解类，且关于直积与直和项封闭。

称环R是QF环，如果R是左Noether环，且R是内射R-模 [2]。下面用强FI-内射R-模给出QF环的等价刻画。

命题2.3 设R是环，则以下等价：

1) $R$ 是 $QF$ 环；

2) 若 $I \in I (R)$ ，则 $I \in P (R)$ ；

3) 若 $M \in R -Mod$ ，则 $M \in SFI (R)$ ；

证明 1) $\Leftrightarrow$ 2) 由文献( [8] 定理5.3)可得。

2) $\Rightarrow$ 3) 设 $M \in R -Mod$ ， $I \in FPI (R)$ ，由文献( [4] 定理2.6)可知， $I \in I (R)$ ，则由条件(2)可知， $I \in P (R)$ ，所以 ${Ext}_{R}^{\geq 1} (I, M) = 0$ ，即 $M \in SFI (R)$ 。

3) $\Rightarrow$ 2) 设 $M \in R -Mod$ ，任取 $I \in I (R)$ ，则 $I \in FPI (R)$ 。因为 $M \in SFI (R)$ ，所以 ${Ext}_{R}^{\geq 1} (I, M) = 0$ ，因此 $I \in P (R)$ 。

推论2.4 设R是环，则以下等价：

1) $R$ 是QF环；

2) 若 $M \in R -Mod$ ，则 $M \in FI (R)$ ；

3) 若 $M \in R -Mod$ ，则 $M \in SFI (R)$ 。

证明由命题2.3及文献( [2] 命题2.8)易得。

下面给出强FI-内射模是一个内射模的等价刻画。

命题2.5 设R是左凝聚环， $M \in R -Mod$ ，则 $M \in I (R) \Leftrightarrow M \in SFI (R)$ 且 $F P - i d (M) \leq 1$ 。

证明 $(\Rightarrow)$ 显然。

$(\Leftarrow)$ 设 $0 \to M \to E \to L \to 0$ 是R-模的正合列，其中 $E \in I (R)$ 。因为 $F P - i d (M) \leq 1$ ，所以由文献( [3] 引理3.1)可知， $L \in FPI (R)$ 。又因为 $M \in SFI (R)$ ，所以正合列 $0 \to M \to E \to L \to 0$ 可裂，故 $M \in I (R)$ 。

设 $M \in R -Mod$ ，取 $M$ 的一个投射分解 $P = \dots \to P_{i} \to P_{i - 1} \to \dots \to P_{1} \to P_{0} \to M \to 0 (i \in ℕ)$ ，令 $K_{0} = Ker (P_{0} \to M)$ ， $K_{i} = Ker (P_{i} \to P_{i - 1}) (i \geq 1)$ ，则称 $K_{i} (i \in ℕ)$ 为 $M$ 的第i次合冲；取 $M$ 的一个内射分解 $E = 0 \to M \to E^{0} \to E^{1} \to \dots \to E^{i - 1} \to E^{i} \to \dots (i \in ℕ)$ ，令 $L^{0} = Coker (M \to E^{0})$ ， $L^{i} = Coker (E^{i - 1} \to E^{i}) (i \geq 1)$ ，则称 $L^{i} (i \in ℕ)$ 为 $M$ 的第i次上合冲 [9]。下面证明 $({}^{⊥_{1}}S FI (R), SFI (R))$ 是一遗传完备的余挠对。

引理2.6 设R是环，则以下条件成立：

1) 任意强FI-内射R-模M的第 $i (i \geq 0)$ 次上合冲 $L^{i} \in SFI (R)$ ；

2) 任意FP-内射R-模I的第 $i (i \geq 0)$ 次合冲 $K_{i}$ ，都有 ${Ext}_{R}^{\geq 1} (K_{i}, SFI (R)) = 0$ 。

证明因为 $SFI (R)$ 是内射可解类，且 $I (R) \subseteq SFI (R)$ ，所以由维数转移易知结论成立。

命题2.7 $({}^{⊥_{1}}S FI (R), SFI (R))$ 是遗传完备的余挠对；

证明要证 $({}^{⊥_{1}}S FI (R), SFI (R))$ 是余挠对，只需证 $SFI (R) = {({}^{⊥_{1}}S FI (R))}^{⊥_{1}}$ 即可。

任取 $M \in SFI (R)$ ，取 $M$ 的内射分解 $0 \to M \to E^{0} \to E^{1} \to \dots \to E^{n - 1} \to L^{n - 1} \to 0$ ，其中 $E^{i} \in I (R)$ $R ≪ φ (B)$ ， $L^{n - 1}$ 是M的第 $n - 1$ 次上合冲。由引理2.6可知， $L^{n - 1} \in SFI (R)$ 。对任意 $X \in {}^{⊥_{1}}S FI (R)$ ，由维数转移可知， $0 = E x t_{R}^{j} (X, L^{n - 1}) ≅ E x t_{R}^{j + n} (X, M) (j \geq 1)$ 。另一方面，取 $X$ 的投射分解 $0 \to K_{n - 1} \to P_{n - 1} \to \dots \to P_{1} \to P_{0} \to X \to 0$ ，其中 $P_{i} \in P (R) (i = 0, 1, 2, \dots)$ ， $K_{n - 1}$ 是 $M$ 的第 $n - 1$ 次合冲。由维数转移可知， ${Ext}_{R}^{1} (K_{n - 1}, M) ≅ {Ext}_{R}^{n + 1} (X, M) = 0$ 。于是 $K_{n - 1} \in {}^{⊥_{1}}S FI (R)$ ，故 $M \in {({}^{⊥_{1}}S FI (R))}^{⊥_{1}}$ 。

设 $M \in {({}^{⊥_{1}}S FI (R))}^{⊥_{1}}$ ，由以上证明有 ${Ext}_{R}^{j} (K_{n - 1}, M) ≅ {Ext}_{R}^{n + j} (X, M) = 0 (j \geq 1)$ 。特别地，若 $I \in FPI (R)$ ，则 $I \in {}^{⊥_{1}}S FI (R)$ 。因此 ${Ext}_{R}^{\geq 1} (I, M) = 0$ ，故 $M \in SFI (R)$ 。综上所述， $({}^{⊥_{1}}S FI (R), SFI (R))$ 是余挠对。

设 $M \in SFI (R)$ ， $I \in FPI (R)$ ，对 $I$ 的任意 $i$ 次合冲 $K_{i}$ ，由引理2.6可知， ${Ext}_{R}^{\geq 1} (K_{i}, M) = 0$ ，故 $({}^{⊥_{1}}S FI (R), SFI (R))$ 是遗传余挠对。设 $Y_{i}$ 是所有 $FP-$ 内射R-模的第 $i$ 次合冲的代表集，则 $Y = \oplus Y_{i}$ 也是一个集合。注意到 ${Ext}_{R}^{\geq 1} (\oplus Y_{i}, M) ≅ \prod {Ext}_{R}^{\geq 1} (Y_{i}, M) = 0$ ，所以 $SFI (R) = Y^{⊥}$ 。从而由文献( [10] 定理10)可知， $({}^{⊥_{1}}S FI (R), SFI (R))$ 是遗传完备的余挠对。

推论2.8 每个R-模都有特殊 ${}^{⊥_{1}}S FI (R)$ -预覆盖和特殊 $SFI (R)$ -预包络。

3. Gorenstein强FI-内射模

定义3.1 称R-模M是Gorenstein强FI-内射模，如果存在内射R-模的正合列

$E = \dots \to E_{1} \to E_{0} \to E^{0} \to E^{1} \to \dots$ ,

使得 $M ≅ Im (E_{0} \to E^{0})$ ，且对任意 $S \in SFI (R)$ ， ${Hom}_{R} (S, E)$ 正合。

我们将Gorenstein强FI-内射R-模类记为 $GSFI (R)$ 。

关于定义，我们注意到

注记3.2 1) $I (R) \subseteq GFI (R) \subseteq GSFI (R) \subseteq GI (R)$ ；

2) 由对称性可知，定义3.1中正合列E的所有同态的像、核和余核都是Gorenstein强FI-内射R-模；

3) $GSFI (R)$ 关于直积封闭。

下面首先讨论Gorenstein强FI-内射模的基本同调性质。

命题3.3 设M是一R-模，则以下等价：

1) $M \in GSFI (R)$ ；

2) $M$ 满足以下条件：

a) ${Ext}_{R}^{\geq 1} (S, M) = 0$ ，其中 $S \in SFI (R)$ ；

b) 存在 ${Hom}_{R}^{} (S, -)$ 正合的R-模正合列 $\dots \to E_{1} \to E_{0} \to M \to 0$ ，其中 $E_{i} \in I (R)$ ， $S \in SFI (R)$ 。

3) 存在R-模的正合列 $0 \to K \to E \to M \to 0$ ，其中 $E \in I (R)$ ， $K \in GSFI (R)$ 。

证明 1) $\Leftrightarrow$ 2)，1) $\Rightarrow$ 3) 显然。

3) $\Rightarrow$ 2) 因为 $K \in GSFI (R)$ ，所以存在 ${Hom}_{R}^{} (S, -)$ 正合的R-模正合列 $\dots \to E_{1} \to E_{0} \to K \to 0$ ，其中 $E_{i} \in I (R)$ ， $S \in SFI (R)$ ，并且 ${Ext}_{R}^{\geq 1} (S, K) = 0$ 。故存在 ${Hom}_{R}^{} (S, -)$ 正合的R-模正合列 $\dots \to E_{0} \to E \to M \to 0$ 。由维数转移， ${Ext}_{R}^{i} (S, M) ≅ {Ext}_{R}^{i + 1} (S, K) = 0 (i \geq 1)$ 。

定义R-模类 $SFI - {id}^{< \infty} = {M \in R -Mod | M 的强 FI 内射维数有限}$ 。

命题3.4 设 $M \in GSFI (R)$ ，则以下条件成立：

1) ${Ext}_{R}^{\geq 1} (D, M) = 0$ ，其中 $D \in SFI - {id}^{< \infty}$ 。

2) $id (M) = 0$ 或 $\infty$ 。

证明 1) 设 $SFI - id (D) = n < \infty$ ，我们对n进行归纳。当n = 0时，由命题3.3结论显然成立。设n ≥ 1，则存在R-模的正合列 $0 \to D \to E^{0} \to E^{1} \to \dots \to E^{n - 1} \to E^{n} \to 0$ ，其中 $E^{i} \in SFI (R)$ 。由维数转移可知， ${Ext}_{R}^{i} (D, M) ≅ {Ext}_{R}^{i + n} (E^{n}, M) = 0 (i \geq 1)$ 。

2) 设 $id (M) = n < \infty$ ，则存在R-模的正合列 $0 \to M \to E^{0} \to E^{1} \to \dots \to E^{n - 1} \to E^{n} \to 0$ ，其中 $E^{i} \in I (R)$ 。令 $L = Ker (E^{1} \to E^{2})$ ，则 $SFI - id (L) \leq id (L) \leq n - 1$ 。由(1)可得， ${Ext}_{R}^{1} (L, M) = 0$ ，所以 $M \in I (R)$ 。

命题3.5 设 $0 \to A \to B \to C \to 0$ 是R-模的正合列，则以下条件成立：

1) 若 $A, C \in GSFI (R)$ ，则 $B \in GSFI (R)$ ；

2) 若 $A, B \in GSFI (R)$ ，则 $C \in GSFI (R)$ ；

3) 若 $B, C \in GSFI (R)$ ，则 $A \in GSFI (R) \Leftrightarrow$ 对任意 $S \in SFI (R)$ ， ${Ext}_{R}^{1} (S, A) = 0$ 。

证明 1) 设 $A, C \in GSFI (R)$ ， $S \in SFI (R)$ ，则存在 ${Hom}_{R}^{} (S, -)$ 正合的正合列

$\dots \to {E^{'}}_{1} \to {E^{'}}_{0} \to A \to 0$ ,

和

$\dots \to {E^{'}}_{1} \to {E^{″}}_{0} \to C \to 0$ ,

其中 $E_{i}^{'}, E_{i}^{' '} \in I (R)$ ，且 ${Ext}_{R}^{\geq 1} (S, A) = 0$ ， ${Ext}_{R}^{\geq 1} (S, C) = 0$ 。令 $K^{'} = Ker ({E^{'}}_{0} \to A)$ ， $K^{″} = Ker ({E^{″}}_{0} \to C)$ ，则由命题3.3可知， $K^{'}$ ， $K^{″} \in GSFI (R)$ 。于是有交换图：

故存在 ${Hom}_{R}^{} (S, -)$ 正合的正合列 $\dots \to {E^{'}}_{1} \oplus {E^{″}}_{1} \to {E^{'}}_{0} \oplus {E^{″}}_{0} \to B \to 0$ ，其中 ${E^{'}}_{i} \oplus {E^{″}}_{i} \in I (R)$ ，且 ${Ext}_{R}^{\geq 1} (S, B) = 0$ 。因此由命题3.3可知， $B \in GSFI (R)$ 。

2) 因为 $B \in GSFI (R)$ ，所以由命题3.3存在正合列 $0 \to K^{'} \to E \to B \to 0$ ，其中 $E \in I (R)$ ， $K^{'} \in G S F I (R)$ 。考虑拉回图

因为A， $K^{'} \in G S F I (R)$ ，所以由(1)可知， $G \in G S F I (R)$ 。于是对中间行用命题3.3可知， $C \in G S F I (R)$ 。

3) $(\Rightarrow)$ 显然。

$(\Leftarrow)$ 因为 $C \in G S F I (R)$ ，所以由命题3.3存在正合列 $0 \to K \to E \to C \to 0$ ，其中 $E \in I (R)$ ， $K \in G S F I (R)$ 。考虑拉回图

因为B， $K \in G S F I (R)$ ，所以由(1)可知， $D \in G S F I (R)$ ，于是由命题3.3存在正合列 $0 \to K^{'} \to E^{'} \to D \to 0$ ，其中 $E^{'} \in I (R)$ ， $K^{'} \in G S F I (R)$ 。考虑拉回图

因为A， $K^{'} \in G S F I (R)$ ，所以对任意 $S \in SFI (R)$ ， ${Ext}_{R}^{\geq 1} (S, A) = 0$ ， ${Ext}_{R}^{\geq 1} (S, K^{'}) = 0$ ，故 ${Ext}_{R}^{\geq 1} (S, T) = 0$ 。特别地， ${Ext}_{R}^{1} (E, T) = 0$ 。因此中间行可裂，所以 $T \in I (R)$ 。于是由命题3.3可知， $A \in G S F I (R)$ 。

推论3.6 $GSFI (R)$ 是内射可解类，且关于直和项封闭。

参考文献

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