无限滞后测度泛函微分方程的Φ有界变差解

Bounded Φ-Variation Solutions for Measure Functional Differential Equations with Infinite Delay

摘要: 本文主要研究了无限滞后测度泛函微分方程的Φ有界变差解的存在性，借助Kurzweil积分和Φ有界变差函数理论，建立了无限滞后测度泛函微分方程的Φ有界变差解的存在性定理，这是对无限滞后测度泛函微分方程和Kurzweil积分相关结果的推广。

Abstract: In this paper, we mainly research the existence theorem of bounded Φ-variation solution for measure functional differential equations with infinite delay. The existence theorem of bounded Φ-variation solution to measure functional differential equations with infinite delay is established by using Kurzweil integral and the function of bounded Φ-variation. The result is a generalization of the existence theorem of the measure functional differential equations with infinite delay and Kurzweil integral.

1. 引言

20世纪50年代末，为了解决高度振动函数的积分问题，Kurzweil和Henstock分别运用积分和的形式定义了各自的非绝对积分，虽然他们定义积分的出发点和背景不同，但是思想十分吻合，它包括Newton积分、Riemann积分和Lebesgue积分 [1]。Kurzweil积分是解决非线性分析中高度振动函数的有力工具，在文献 [2] [3] [4] [5] [6] 中有广泛使用。1959年，Musielak及Orlicz等人 [7] [8] 提出了Φ有界变差函数理论，这种理论是一般意义下的有界变差函数理论的发展与推广。文献 [9] 首次将Φ有界变差函数理论与Kurzweil方程理论结合起来，建立了Kurzweil方程的Φ有界变差解的存在性定理。Slavik在文献 [10] 中介绍了一类无限滞后测度泛函微分方程

$x\left(t\right)=x\left(t_0\right)+{\displaystyle {\int }_{t_0}^{t}f\left(x_s,s\right)\text{d}g\left(s\right)}$ (1)

并证明了在一定条件下此方程与广义常微分方程的等价关系，方程(1)是测度微分方程

$Dx=f\left(x_s,s\right)Dg$

的积分形式，其中 $Dx,Dg$ 分别是函数x和g的分布导数。

本文考虑无限滞后测度泛函微分方程初值问题

$\{\begin{array}{l}x\left(t\right)=x\left(t_0\right)+{\displaystyle {\int }_{t_0}^{t}f\left(x_s,s\right)\text{d}g\left(s\right)},t\in \left[t_0,t_0+\sigma \right]\\ x_{t_0}=\phi \end{array}$ (2)

Φ有界变差解的存在性，其中x是取值在 $R^n$ 上的函数， $x_s\left(\tau \right)=x\left(s+\tau \right),\tau \in \left(-\infty ,0\right]$ 表示滞后的长度。

2. 预备知识

以下主要介绍Kurzweil积分和Φ有界变差函数的相关概念：

定义1 [11] 函数 $U:\left[a,b\right]\times \left[a,b\right]\to R^n$ 称为在 $\left[a,b\right]$ 上是Kurzweil可积的，如果存在 $I\in R^n$，使得对任意 $\epsilon >0$，存在正值函数 $\delta :\left[a,b\right]\to R^{+}$，使得对 $\left[a,b\right]$ 上的任何 $\delta$ -精细分划

$D=\left\{\left({\tau }_i,\left[{\alpha }_{i-1},{\alpha }_i\right]\right),i=1,2,\cdots ,k\right\},$

其中 ${\tau }_i\in \left[{\alpha }_{i-1},{\alpha }_i\right]\subset \left({\tau }_i-\delta \left({\tau }_i\right),{\tau }_i+\delta \left({\tau }_i\right)\right)$，有

$\Vert {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}\left[U\left({\tau }_i,{\alpha }_i\right)-U\left({\tau }_i,{\alpha }_{i-1}\right)\right]}-I\Vert <\epsilon ,$

称I为U在 $\left[a,b\right]$ 上的Kurzweil积分，记作 $I={\displaystyle {\int }_a^{b}DU\left(\tau ,t\right)}$，如果 ${\displaystyle {\int }_a^{b}DU\left(\tau ,t\right)}$ 存在，那么定义 ${\displaystyle {\int }_b^{a}DU\left(\tau ,t\right)}=-{\displaystyle {\int }_a^{b}DU\left(\tau ,t\right)}$，且规定当 $a=b$ 时， ${\displaystyle {\int }_a^{b}DU\left(\tau ,t\right)}=0$。

特别地，当 $f:\left[a,b\right]\to R^n$， $g:\left[a,b\right]\to R$， $U\left(\tau ,t\right)=f\left(\tau \right)g\left(t\right)$ 时，上面定义的积分称为Kurzweil-Stieltjes积分，记为

${\displaystyle {\int }_a^{b}DU\left(\tau ,t\right)}={\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(s\right)\text{d}g(\; s\; )}$

设G是 $R^{n+1}$ 中的开集， $F:G\to R^n$ 是对 $\left(x,t\right)\in G,x\in R^n,t\in R$ 定义的 $R^n$ 值函数.

定义2 [11] 函数 $x:\left[\alpha ,\beta \right]\to R^n$ 称为广义常微分方程

$\frac{\text{d}x}{\text{d}\tau }=DF\left(x,t\right)$

在区间 $\left[\alpha ,\beta \right]\subset R$ 上的解是指对所有的 $t\in \left[\alpha ,\beta \right]$， $\left(x\left(t\right),t\right)\in G$，且对每个 $s_1,s_2\in \left[\alpha ,\beta \right]$，有

$x\left(s_2\right)-x\left(s_1\right)={\displaystyle {\int }_{s_1}^{s_2}DF\left(x\left(\tau \right),t\right)}$

成立。

设 $\Phi \left(u\right)$ 是对 $u\ge 0$ 定义的连续不减函数，且满足 $\Phi \left(0\right)=0$，对 $u>0$， $\Phi \left(u\right)>0$，本文假定 $\Phi \left(u\right)$ 满足下列条件：

(C1) 存在 $u_0>0$ 及 $L>0$，使得对 $0<u\le u_0$， $\Phi \left(2u\right)\le L\Phi \left(u\right)$。

(C2) $\Phi \left(u\right)$ 是凸函数，即

$\Phi \left(\frac{u+v}{2}\right)\le \frac{\Phi \left(u\right)+\Phi \left(v\right)}{2},\left(u,v>0\right).$

定义3 [8] 设 $\left[a,b\right]\subset R$， $-\infty <a<b<+\infty$，考虑函数 $x:\left[a,b\right]\to R^n$， $x\left(t\right)$ 称为 $\left[a,b\right]$ 上的 $\Phi$ 有界变差函数，是指对 $\left[a,b\right]$ 的任何分划

$\tau :a=t_0<t_1<\cdots <t_m=b,$

有

$V_{\Phi }\left(x;\left[a,b\right]\right)=\underset{\tau }{\sup }{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}\Phi }\left(\Vert x\left(t_i\right)-x\left(t_{i-1}\right)\Vert \right)<+\infty$

并称 $V_{\Phi }\left(x;\left[a,b\right]\right)$ 为函数 $x\left(t\right)$ 在 $\left[a,b\right]$ 上的Φ-变差。

以 $B{V}_{\Phi }\left(\left[a,b\right],R^n\right)$ 表示定义在 $\left[a,b\right]$ 上的所有Φ有界变差函数x满足 $x\left(a\right)=0$ 且按范数

$\Vert {x\Vert }_{\Phi }=inf\left\{\epsilon >0;V_{\Phi }\left(\frac{x}{\epsilon };\left[a,b\right]\right)\le 1\right\}$ 构成的集合，其中 $R^n$ 表示n维欧氏空间.如果 $\Phi \left(u\right)$ 满足(C1)和(C2)，则 $\left(B{V}_{\Phi },{\Vert \cdot \Vert }_{\Phi }\right)$ 在通常意义元素的加法和纯量乘法是一个Banach空间.范数 $\Vert {x\Vert }_{\Phi }$ 的定义见文献 [1] 定义3。

$B{V}_{\Phi }^{-}\left(\left[a,b\right],R^n\right)$ 表示 $\left[a,b\right]$ 上所有Φ有界变差左连续函数的全体，它是 $B{V}_{\Phi }$ 的子空间.

设集合 $O\subset B{V}_{\Phi }^{-}\left(\left(-\infty ,t_0+\sigma \right],R^n\right)$ $\left(t_0>0,\sigma >0\right)$，称O具有延拓性质，是指对于每个 $x\in O$， $\bar{t}\in \left[t_0,t_0+\sigma \right]$，都有 $\bar{x}\left(t\right)\in O$，其中 $\bar{x}\left(t\right)$ 定义如下

$\bar{x}\left(t\right)=\{\begin{array}{l}x\left(t\right),-\infty <t\le \bar{t}\\ x\left(\bar{t}\right)\text{,}\bar{t}<t\le t_0+\sigma \end{array}$

$f:P\times \left[t_0,t_0+\sigma \right]\to R^n$，其中 $P=\left\{x_t|t\in \left[t_0,t_0+\sigma \right],x\in O\right\}$。 $\Omega =O\times \left[t_0,t_0+\sigma \right]$。

并且假设函数f满足以下条件

(A) 对于每一个 $x\in O,\sigma >0$，积分 ${\displaystyle {\int }_{t_0}^{t_0+\sigma }f\left(x_s,s\right)\text{d}g\left(s\right)}$ 存在。

(B) 存在一个关于g的局部Kurzweil-Stieltjes可积函数 $M:\left[t_0,t_0+\sigma \right]\to R^{+}$，满足

$\Vert {\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x_s,s\right)\text{d}g\left(s\right)}\Vert \le {\displaystyle {\int }_a^{b}M\left(s\right)\text{d}g}\left(s\right),$

其中 $x\in O,\left[a,b\right]\subset \left[t_0,t_0+\sigma \right]$。

(C) 存在一个关于g的局部Kurzweil-Stieltjes可积函数 $L:\left[t_0,t_0+\sigma \right]\to R^{+}$，满足

$\Vert {\displaystyle {\int }_a^b\left[f\left(x_s,s\right)-f\left(y_s,s\right)\right]\text{d}g\left(s\right)}\Vert \le {\displaystyle {\int }_a^{b}L\left(s\right){\Vert x_s-y_s\Vert }_{\ast }\text{d}g}\left(s\right),$

其中 $x,y\in O,\left[a,b\right]\subset \left[t_0,t_0+\sigma \right]$。

3. 无限滞后测度泛函微分方程Φ有界变差解

下面主要介绍无限滞后测度泛函微分方程的Φ有界变差解及其相关结果：

定义4 设 $t\in \left[t_0,t_0+\sigma \right]$，称 $x\left(t,t_0,\phi \right)$ 是无限滞后测度泛函微分方程初值问题(2)的Φ有界变差解是指

(1) $\stackrel{\dot{}}{x}\left(t\right)=f\left(x_t,t\right)$ 几乎处处成立；

(2) $x_{t_0}=\phi$ ；

(3) x在 $\left[t_0,t_0+\sigma \right]$ 的任何紧子区间上是Φ有界变差函数；

(4) 当 $t\in \left[t_0,t_0+\sigma \right]$ 时， $\left(x_t,t\right)\in \Omega$。

定义5 对所有的 $t\in \left[t_0,t_0+\sigma \right]$， $f\left(x_t,t\right)$ 满足条件(A)，(B)和(C)， $g:\left[t_0,t_0+\sigma \right]\to R^n$ 则函数 $f\left(x_t,t\right):\Omega \to R^n$， $\Omega =O\times \left[t_0,t_0+\sigma \right]$ 属于函数族 $F_{\Phi }\left(\Omega ,h,\omega \right)$，如果满足下列条件

(H1) 存在正值函数 $\delta \left(\tau \right):\left[t_0,t_0+\sigma \right]\to R^{+}$，使得对每个区间 $\left[u,v\right]$ 满足 $\tau \in \left[u,v\right]\subset \left(\tau -\delta \left(\tau \right),\tau +\delta \left(\tau \right)\right)\subset \left[t_0,t_0+\sigma \right]$，及 $x\in O$，有

$\Vert f\left(x_{\tau },\tau \right)\left(g\left(v\right)-g\left(u\right)\right)\Vert \le \Phi \left(\left|h\left(v\right)-h\left(u\right)\right|\right).$ (3)

(H2) 对每个区间 $\left[u,v\right]$ 满足 $\tau \in \left[u,v\right]\subset \left(\tau -\delta \left(\tau \right),\tau +\delta \left(\tau \right)\right)\subset \left[t_0,t_0+\sigma \right]$，及 $x,y\in O$，有

$\Vert f\left(x_{\tau },\tau \right)-f\left(y_{\tau },\tau \right)\Vert \left(g\left(v\right)-g\left(u\right)\right)\le \omega \left(\Vert x_{\tau }-y_{\tau }\Vert \right)\Phi \left(\left|h\left(v\right)-h\left(u\right)\right|\right).$ (4)

其中 $h:\left[t_0,t_0+\sigma \right]\to R$ 是一个不减函数， $\omega :\left[0,+\infty \right)\to R$ 是连续的增函数且

$\tau \in \left[u,v\right]\subset \left(\tau -\delta \left(\tau \right),\tau +\delta \left(\tau \right)\right)\subset \left[t_0,t_0+\sigma \right]$， $\omega \left(r\right)>0,r>0,\omega \left(0\right)=0$。

定理1假设 $f\in F_{\Phi }\left(\Omega ,h,\omega \right)$ 满足条件(A),(B)，(C)，(H1)和(H2)，如果 $x:\left[\alpha ,\beta \right]\to R^n$， $\left[\alpha ,\beta \right]\subset \left(-\infty ,t_0+\sigma \right]$ 是方程(2)的一个解并且 ${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }f\left(x_s,s\right)\text{d}g\left(s\right)}$ 存在，则x在 $\left(-\infty ,t_0+\sigma \right]$ 上是Φ有界变差的，且

$V_{\Phi }\left(x;\left[\alpha ,\beta \right]\right)\le \Phi \left(V_{\Phi }\left(h;\left[\alpha ,\beta \right]\right)\right)<+\infty ,$ (5)

并且在 $\left(-\infty ,t_0+\sigma \right]$ 中，使函数h左连续的点是解 $x:\left(-\infty ,t_0+\sigma \right]\to R^n$ 具有左连续性的点.

证明 对任意的 $\epsilon >0$，因积分 ${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }f\left(x_s,s\right)\text{d}g\left(s\right)}$ 存在，则对每个 $s_1,s_2\in \left[\alpha ,\beta \right]$，Kurzweil积分 ${\displaystyle {\int }_{s_1}^{s_2}f\left(x_s,s\right)\text{d}g\left(s\right)}$ 存在，由定义1及(3)式，存在正值函数 $\delta \left(\tau \right)$ 使得对 $\left[s_1,s_2\right]$ 的任何 $\delta$ -精细分化

$D=\left\{{\tau }_i,\left[t_{i-1},t_i\right],i=1,2,\cdots ,k\right\},$

有

$\begin{array}{l}\Vert {\displaystyle {\int }_{s_1}^{s_2}f\left(x_t,t\right)\text{d}g\left(t\right)}\Vert \\ \le \Vert {\displaystyle {\int }_{s_1}^{s_2}f\left(x_t,t\right)\text{d}g\left(t\right)}-{\displaystyle \underset{\text{i}=\text{1}}{\overset{k}{\sum }}f\left(x_{{\tau }_i},{\tau }_i\right)}\left(g\left(t_i\right)-g\left(t_{i-1}\right)\right)\Vert \\ +\Vert {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}f\left(x_{{\tau }_i},{\tau }_i\right)\left(g\left(t_i\right)-g\left(t_{i-1}\right)\right)}\Vert \\ <\epsilon +V_{\Phi }\left(h;\left[s_1,s_2\right]\right).\end{array}$

因为 $\epsilon >0$ 是任意的，故

$\Vert {\displaystyle {\int }_{s_1}^{s_2}f\left(x_s,s\right)\text{d}g\left(s\right)}\Vert \le V_{\Phi }\left(h;\left[s_1,s_2\right]\right).$ (6)

设 $\alpha =t_0<t_1<\cdots <t_k=\beta$ 是区间 $\left[\alpha ,\beta \right]$ 上的任意分划，由(6)式，有

${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}\Phi \left(\Vert x\left(t_i\right)-x\left(t_{i-1}\right)\Vert \right)}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}\Phi \left(\Vert {\displaystyle {\int }_{t_{i-1}}^{t_i}f\left(x_t,t\right)\text{d}g\left(t\right)}\Vert \right)}\le {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}\Phi \left(V_{\Phi }\left(h;\left[t_{i-1},t_i\right]\right)\right)}.$ (7)

因为 $\Phi \left(u\right)$ 满足(C2)，则 $\frac{\Phi \left(u\right)}{u}$ 不减，由文献 [7] 定理1.03，

$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}\Phi \left(V_{\Phi }\left(h;\left[t_{i-1},t_i\right]\right)\right)}\\ ={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}\frac{\Phi \left(V_{\Phi }\left(h;\left[t_{i-1},t_i\right]\right)\right)}{V_{\Phi }\left(h;\left[t_{i-1},t_i\right]\right)}{V}_{\Phi }\left(h;\left[t_{i-1},t_i\right]\right)}\\ \le \frac{\Phi \left(V_{\Phi }\left(h;\left[\alpha ,\beta \right]\right)\right)}{V_{\Phi }\left(h;\left[\alpha ,\beta \right]\right)}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}{V}_{\Phi }\left(h;\left[t_{i-1},t_i\right]\right)}\end{array}$

由(7)式，有

$\left(x_s,s\right)\in \Omega ,\left({\left(x^k\right)}_s,s\right)\in \Omega$

$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}\Phi \left(\Vert x\left(t_i\right)-x\left(t_{i-1}\right)\Vert \right)}\\ \le \frac{\Phi \left(V_{\Phi }\left(h;\left[\alpha ,\beta \right]\right)\right)}{V_{\Phi }\left(h;\left[\alpha ,\beta \right]\right)}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}\Phi \left(h\left(t_i\right)-h\left(t_{i-1}\right)\right)}\\ \le \frac{\Phi \left(V_{\Phi }\left(h;\left[\alpha ,\beta \right]\right)\right)}{V_{\Phi }\left(h;\left[\alpha ,\beta \right]\right)}{V}_{\Phi }\left(h;\left[\alpha ,\beta \right]\right)\\ =\Phi \left(V_{\Phi }\left(h;\left[\alpha ,\beta \right]\right)\right)<+\infty \end{array}$

在上式右端对 $\left[\alpha ,\beta \right]$ 的所有分划取上确界得到(5)式，定理的第二部分是文献 [7] 定理1.03的直接结果。

定理2 设 $f\in F_{\Phi }\left(\Omega ,h,\omega \right)$， $x:{\left[\alpha ,\beta \right]}^n\to R^n$， $\left[\alpha ,\beta \right]\subset \left[t_0,t_0+\sigma \right]$ 是函数 $x^k:\left[\alpha ,\beta \right]\to R^n$ 组成的序列

${\left\{x^k\right\}}_{k\in N}$ 逐点收敛的极限，使得对每个 $k\in N,s\in \left[\alpha ,\beta \right]$，有及对每个 $k\in N$， ${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }f\left({\left(x^k\right)}_s,s\right)\text{d}g\left(s\right)}$ 存在，

则积分 ${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }f\left(x_s,s\right)\text{d}g\left(s\right)}$ 存在，且

${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }f\left(x_s,s\right)\text{d}g\left(s\right)}=\underset{k\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }f\left({\left(x^k\right)}_s,s\right)\text{d}g}\left(s\right).$ (8)

证明根据Kurzweil积分的性质，不失一般性，假定f为实函数，对任意 $\epsilon >0$，由(4)式对每个 $\tau \in \left[\alpha ,\beta \right]$， $t_1\le \tau \le t_2$， $\left[t_1,t_2\right]\subset \left[\alpha ,\beta \right]$，有

$\Vert f\left({\left(x^k\right)}_{\tau },\tau \right)-f\left(x_{\tau },\tau \right)\Vert \left(g\left(t_2\right)-h\left(t_1\right)\right)\le \omega \left(\Vert {\left(x^k\right)}_{\tau }-x_{\tau }\Vert \right)\Phi \left(h\left(t_2\right)-h\left(t_1\right)\right).$ (9)

令 $\mu \left(J\right)=\frac{\epsilon }{V_{\Phi }\left(h;\left[\alpha ,\beta \right]\right)+1}\Phi \left(h\left(t_2\right)-h\left(t_1\right)\right),J=\left[t_1,t_2\right]\subset \left[\alpha ,\beta \right]$，因为 $h:\left[t_0,t_0+\sigma \right]\to R$ 是增函数，由文献 [7]

定理1.03，有

$V_{\Phi }\left(h;\left[t_1,t_2\right]\right)=\Phi \left(h\left(t_2\right)-h\left(t_1\right)\right).$

对每个 $d\in \left(t_1,t_2\right)$，设 $J_1=\left[t_1,d\right]$， $J_2=\left[d,t_2\right]$，由文献 [7] 定理1.17，有

$\begin{array}{c}\mu \left(J_1\right)+\mu \left(J_2\right)=\frac{\epsilon }{V_{\Phi }\left(h;\left[\alpha ,\beta \right]\right)+1}\left[V_{\Phi }\left(h;\left[t_1,d\right]\right)+V_{\Phi }\left(h;\left[d,t_2\right]\right)\right]\\ \le \frac{\epsilon }{V_{\Phi }\left(h;\left[\alpha ,\beta \right]\right)+1}{V}_{\Phi }\left(h;\left[t_1,t_2\right]\right)=\mu \left(J\right).\end{array}$ (10)

所以， $\mu \left(J\right)$ 为对所有的闭区间 $J\subset \left[\alpha ,\beta \right]$ 定义的正值超可加区间函数且 $\Phi \left(\left[\alpha ,\beta \right]\right)<\epsilon$。由函数 $\omega$ 在0点

连续且 $\omega \left(0\right)=0$ 可知，存在 $\delta >0$，使得只要 $0<t<\delta$，就有 $\omega \left(t\right)\le \frac{\epsilon }{V_{\Phi }\left(h;\left[\alpha ,\beta \right]\right)+1}$。设 $\delta \left(\tau \right)$ 为一个正值函数，因为对每个 $\tau \in \left[\alpha ,\beta \right]$， $\underset{k\to \infty }{\lim }{x}^k\left(\tau \right)=x\left(\tau \right)$，存在 $P\left(\tau \right)\in N$，使得 $k\ge P\left(\tau \right)$，有 $\Vert x^k\left(\tau \right)-x\left(\tau \right)\Vert <\delta \left(\tau \right)$，

所以，只要 $k\ge P\left(\tau \right)$，就有

$\omega \left(\Vert x^k\left(\tau \right)-x\left(\tau \right)\Vert \right)\le \frac{\epsilon }{V_{\Phi }\left(h;\left[\alpha ,\beta \right]\right)+1}.$

不等式(9)有如下形式

$\Vert f\left({\left(x^k\right)}_{\tau },\tau \right)-f\left(x_{\tau },\tau \right)\Vert \left(g\left(t_2\right)-g\left(t_1\right)\right)\le \frac{\epsilon }{V_{\Phi }\left(h;\left[\alpha ,\beta \right]\right)+1}{V}_{\Phi }\left(h;J\right)=\mu \left(J\right).$

其中 $\tau \in J\subset \left(\tau -\delta \left(\tau \right),\tau +\delta \left(\tau \right)\right)$，

$f\left({\left(x^k\right)}_{\tau },J\right)=f\left({\left(x^k\right)}_{\tau },t_2\right)-f\left({\left(x^k\right)}_{\tau },t_1\right),$

$f\left(x_{\tau },J\right)=f\left(x_{\tau },t_2\right)-f\left(x_{\tau },t_1\right),$

对 $\left[\alpha ,\beta \right]$ 的任何分化 $\alpha =t_0<t_1<\cdots <t_k=\beta$，以及对每个区间 $\left[t_{j-1},t_j\right],j=1,2,\cdots ,k$ 的 ${\delta }_j$ -精细分化

$D=\left\{{\xi }_i^j,\left[t_{i-1}^j,t_i^j\right],i=1,2,\cdots ,m_i\right\}$，积分 ${\displaystyle {\int }_{t_{j-1}}^{t_j}f\left(x_s,s\right)\text{d}g\left(s\right)}$ 存在，有

$\begin{array}{l}\Vert {\displaystyle \underset{j=1}{\overset{k}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{t_{i-1}}^{t_i}f\left({\left(x^k\right)}_s,s\right)\text{d}g}\left(s\right)}\Vert \\ \le \Vert {\displaystyle \underset{j=1}{\overset{k}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{t_{i-1}}^{t_i}f\left({\left(x^k\right)}_s,s\right)\text{d}g\left(s\right)}}-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m_j}{\sum }}f\left({\left(x^k\right)}_{{\xi }_i^j},{\xi }_i^j\right)\left(g\left(t_i^j\right)-g\left(t_{i-1}^j\right)\right)}\Vert \\ +{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{k}{\sum }}\Vert {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m_j}{\sum }}f\left({\left(x^k\right)}_{{\xi }_i^j},{\xi }_i^j\right)\left(g\left(t_i^j\right)-g\left(t_{i-1}^j\right)\right)}\Vert }\\ \le \epsilon +\Phi \left(h\left(\beta \right)-h\left(\alpha \right)\right)\le \epsilon +V_{\Phi }\left(h;\left[\alpha ,\beta \right]\right),\end{array}$

其中 $F\left({\left(x^k\right)}_{{\tau }_i},J_i\right)=F\left({\left(x^k\right)}_{{\tau }_i},t_i\right)-F\left({\left(x^k\right)}_{{\tau }_i},t_{i-1}\right)$ 由 $\epsilon$ 的任意性，有

$\Vert {\displaystyle \underset{j=1}{\overset{k}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{t_{i-1}}^{t_i}f\left({\left(x^k\right)}_s,s\right)\text{d}g\left(s\right)}}\Vert \le \epsilon +V_{\Phi }\left(h;\left[\alpha ,\beta \right]\right).$

由控制收敛定理(见文献 [11] 定理1.28)，积分 $x:\left[\alpha ,\beta \right]\to R^n$ ${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }f\left({\left(x^k\right)}_s,s\right)\text{d}g\left(s\right)}$ 存在且(8)式成立。

推论1 如果 $f\in F_{\Phi }\left(\Omega ,h,\omega \right)$ 且， $\left[\alpha ,\beta \right]\subset \left[t_0,t_0+\sigma \right]$，是有限阶梯函数序列 $x^k\left(t\right)$ 逐点收敛的极限，

使得对每个 $t\in \left[\alpha ,\beta \right]$， $\left(x_t,t\right)\in \Omega$，及 $\left({\left(x^k\right)}_t,t\right)\in \Omega ,k=1,2,\cdots$，则积分 ${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }f\left({\left(x^k\right)}_t,t\right)\text{d}g\left(t\right)}$ 存在。

证明由定理2知，只需证明对每个阶梯函数 $\phi :\left[\alpha ,\beta \right]\to R^n$， ${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }f\left({\left(x^k\right)}_t,t\right)\text{d}g\left(t\right)}$ 存在，由Kurzweil

积分的定义及文献 [11] 定理1.14容易证明，对每个有限阶梯函数 $\phi :\left[\alpha ,\beta \right]\to R^n$，积分 ${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }f\left(x_t,t\right)\text{d}g\left(t\right)}$ 存在。

4. 无限滞后测度泛函微分方程Φ有界变差解的存在性

本文主要研究无限滞后测度泛函微分方程满足初值条件 $\bar{x}\left(t_0\right)=\phi$ 的Φ有界变差解的局部存在性定理。在本节中 $\Phi \left(u\right)$ 满足(C1)和(C2)，假定 $h:\left[t_0,t_0+\sigma \right]\to R^1$ 是单调增加的左连续函数，而 $\omega :\left[0,+\infty \right)\to R^1$ 是单调连续函数，且满足 $\omega \left(0\right)=0$。定义一个辅助函数 $\bar{x}\in B{V}_{\Phi }^{-}\left(\left(-\infty ,t_0+\sigma \right],R^n\right)$ ：

$\bar{x}\left(t\right)=\{\begin{array}{l}x\left(t\right),t\in \left[t_0,t_0+\sigma \right]\\ \phi \left(t-t_0\right)\text{,}t\in \left(-\infty ,t_0\right]\end{array}$

以上定义确保在 $\left(-\infty ,0\right]$ 上满足初值条件 $\bar{x}\left(t_0\right)=\phi$。

定理1 设 $f\in F_{\Phi }\left(\Omega ,h,\omega \right)$，且对 ${\theta }_1,{\theta }_2\in \left(-\infty ,0\right]$，有

$\underset{{\theta }_1,{\theta }_2\in (-\infty ,0]}{\sup }\Vert \phi \left({\theta }_1\right)-\phi \left({\theta }_2\right)\Vert \le V_{\Phi }\left(h;\left[t,t_0\right]\right)$ (11)

则对每个 $\left(t_0,\phi \right)\in \Omega$，存在 $\text{Δ}>\text{0}$，使得方程(2)在区间 $\left(-\infty ,t_0+\Delta \right]\subset \left(-\infty ,t_0+\sigma \right]$ 上存在一个Φ有界变差解 $\bar{x}\in B{V}_{\Phi }^{-}\left(\left(-\infty ,t_0+\Delta \right],R^n\right)$ 满足初值条件 $\bar{x}\left(t_0\right)=\phi$。

证明因为O为开集，则存在 $\text{Δ}>\text{0}$，如果 $t\in \left[t_0,t_0+\sigma \right]$ 及 $x\in R^n$，使得 $\Vert x-\phi \Vert \le V_{\Phi }\left(h;\left[t,t_0\right]\right)$，则 $\left(x,t\right)\in \Omega$，定义

$Q=\{\bar{x}\in B{V}_{\Phi }^{-}\left(\left(-\infty ,t_0+\sigma \right],R^n\right):\Vert x-\phi \Vert \le V_{\Phi }\left(h;\left[t,t_0\right]\right)\}.$

令 $Q\subset B{V}_{\Phi }^{-}\left(\left(-\infty ,t_0+\sigma \right],R^n\right)$，其中 $B{V}_{\Phi }^{-}\left(\left(-\infty ,t_0+\sigma \right],R^n\right)$ 表示 $\left(-\infty ,t_0+\sigma \right]$ 上所有Φ有界变差左连续函数。

如果 $x,y\in Q$， $\alpha \in \left[0,1\right]$ 则 $\alpha x+\left(1-\alpha \right)y\in Q$，所以 $Q\subset B{V}_{\Phi }^{-}\left(\left(-\infty ,t_0+\Delta \right],R^n\right)$ 是凸的。

其次，证明Q是 $B{V}_{\Phi }^{-}\left(\left(-\infty ,t_0+\Delta \right],R^n\right)$ 中的闭集。设 $x^k\in Q,k\in N$ 是 $B{V}_{\Phi }^{-}\left(\left(-\infty ,t_0+\Delta \right],R^n\right)$ 中收敛于函数x的序列，即 $\underset{k\to \infty }{\lim }{\Vert x^k-x\Vert }_{\Phi }=0$，则由文献 [7] 定理3.11，有

$V_{\Phi }\left(x^k-x;\left(-\infty ,t_0+\Delta \right]\right)\to 0,\left(k\to \infty \right),$

从而， $x^k\left(t\right)$ 在 $\left(-\infty ,t_0+\Delta \right]$ 中一致收敛于 $x\left(t\right)$ (见文 [7] 定理3.21)。所以对任意的 $t\in \left[t_0,t_0+\sigma \right]$，从而对任意的 $\epsilon >0$，当 $k\in N$ 充分大时，有

$\begin{array}{c}\Vert x\left(t\right)-\phi \Vert \le \Vert x^k\left(t\right)-x\left(t\right)\Vert +\Vert x^k\left(t\right)-\phi \Vert \\ <\epsilon +V_{\Phi }\left(h;\left[t,t_0\right]\right),t\in \left[t_0,t_0+\Delta \right],\end{array}$

从而

$\Vert x\left(t\right)-\phi \Vert \le V_{\Phi }\left(h;\left[t,t_0\right]\right),t\in \left[t_0,t_0+\Delta \right],$

所以 $x\in Q$，即Q闭。对 $x\in Q$，定义映射

$T\bar{x}\left(t\right)=\{\begin{array}{l}\phi \left(0\right)+{\displaystyle {\int }_{t_0}^{t}f\left(x_s,s\right)\text{d}g}\left(s\right),t\in \left[t_0,t_0+\sigma \right]\\ \phi \left(t-t_0\right),t\in \left(-\infty ,t_0\right]\end{array}$

对 $t\in \left[t_0,t_0+\Delta \right]$，积分 ${\displaystyle {\int }_{t_0}^{t}f}\left(x_s,s\right)\text{d}g\left(s\right)$ 存在，所以映射T是有意义的。

当 $t\in \left[t_0,t_0+\Delta \right]$ 时，有

$\Vert T\bar{x}-\phi \left(0\right)\Vert ={\displaystyle {\int }_{t_0}^{t}f\left(x_s,s\right)\text{d}g\left(s\right)}\le V_{\Phi }\left(h;\left[t,t_0\right]\right).$

对每个 $t\in \left[t_0,t_0+\sigma \right]$， $\theta \in \left(-\infty ,0\right]$，令

$s=t+\theta \in \left(-\infty ,t_0+\sigma \right],y\left(t\right)=T\bar{x}\left(t\right),$

则由(11)式有

$\begin{array}{c}\Vert y\left(t\right)-\phi \Vert =\Vert T\bar{x}\left(t\right)-\phi \Vert =\Vert \phi \left(s-t_0\right)-\phi \left(\theta \right)\Vert =\Vert \phi \left({\theta }_1\right)-\phi \left({\theta }_2\right)\Vert \\ \le \underset{{\theta }_1,{\theta }_2\in (-\infty ,0]}{\sup }\Vert \phi \left({\theta }_1\right)-\phi \left({\theta }_2\right)\Vert \le V_{\Phi }\left(h;\left[t,t_0\right]\right).\end{array}$

其中 ${\theta }_1=s-t_0,\theta ={\theta }_2$。因此对于 $x\in Q$，有 $Tx\subset Q$，即有映射 $T:Q\to Q$。

以下说明映射 $T:Q\to Q$ 连续。设 $x,x^k\in Q,k\in N$，且 $\underset{k\to \infty }{\lim }{\Vert x^k-x\Vert }_{\Phi }=0$，则 $x^k\left(t\right)$ 在 $t\in \left[t_0,t_0+\Delta \right]$ 上

一致收敛于函数 $x\left(t\right)$。对 $t_1,t_2\in \left[t_0,t_0+\Delta \right]$，有

$\Vert T{x}^k\left(t_2\right)-Tx\left(t_2\right)-T{x}^k\left(t_1\right)+Tx\left(t_1\right)\Vert =\Vert {\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}\left[f\left({\left(x^k\right)}_t,t\right)-f\left(x_t,t\right)\right]\text{d}g\left(t\right)}\Vert .$

则对任意的 $\epsilon >0$，存在正值函数 $\delta \left(\tau \right)$，使得对 $\left[t_1,t_2\right]$ 的任何 $\delta$ -精细分划 $D=\left\{\left({\tau }_i,\left[{\alpha }_{i-1},{\alpha }_i\right]\right),i=1,2,\cdots ,m\right\}$，满足 ${\tau }_i-\delta \left({\tau }_i\right)<{\alpha }_{i-1}\le {\tau }_i\le {\alpha }_i<{\tau }_i+\delta \left({\tau }_i\right)$，有

$\begin{array}{l}\Vert T{x}^k\left(t_2\right)-Tx\left(t_2\right)-T{x}^k\left(t_1\right)+Tx\left(t_1\right)\Vert \\ =\Vert {\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}\left[f\left({\left(x^k\right)}_t,t\right)-f\left(x^k,t\right)\right]\text{d}g\left(t\right)}\Vert \\ <\epsilon +\Vert {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}\left[f\left({\left(x^k\right)}_{{\tau }_i},{\alpha }_i\right)-f\left(x_{{\tau }_i},{\alpha }_i\right)-f\left({\left(x^k\right)}_{{\tau }_i},{\alpha }_{i-1}\right)+f\left(x_{{\tau }_i},{\alpha }_{i-1}\right)\right]}\Vert \end{array}$ (12)

由(4)和(12)式，有

$\begin{array}{l}\Vert T{x}^k\left(t_2\right)-Tx\left(t_2\right)-T{x}^k\left(t_1\right)+Tx\left(t_1\right)\Vert \\ <\epsilon +{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}\omega \left(\Vert x^k\left({\tau }_i\right)-x\left({\tau }_i\right)\Vert \right)\Phi \left(h\left({\alpha }_i\right)-h\left({\alpha }_{i-1}\right)\right)}\\ <\epsilon +\underset{1\le i\le m}{\max }\omega \left(\Vert x^k\left({\tau }_i\right)-x\left({\tau }_i\right)\Vert \right){\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}\Phi \left(h\left({\alpha }_i\right)-h\left({\alpha }_{i-1}\right)\right).}\end{array}$

由 $\epsilon >0$ 的任意性，则

$\begin{array}{l}\Vert T{x}^k\left(t_2\right)-Tx\left(t_2\right)-T{x}^k\left(t_1\right)+Tx\left(t_1\right)\Vert \\ <\underset{1\le i\le m}{\max }\omega \left(\Vert x^k\left({\tau }_i\right)-x\left({\tau }_i\right)\Vert \right){\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{V}_{\Phi }\left(h;\left[t_1,t_2\right]\right).}\end{array}$

其中 $t_1,t_2\in \left[t_0,t_0+\Delta \right]$，所以对 $\left[t_0,t_0+\Delta \right]$ 的任何分划 $t_0={\beta }_0<{\beta }_1<\cdots <{\beta }_n=t_0+\Delta$，有

$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}\Phi \left(\Vert T{x}^k\left({\beta }_j\right)-Tx\left({\beta }_j\right)-T{x}^k\left({\beta }_{j-1}\right)+Tx\left({\beta }_{j-1}\right)\Vert \right)}\\ <{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}\Phi \left(\underset{1\le i\le m}{\max }\omega \left(\Vert x^k\left({\tau }_i^j\right)-x\left({\tau }_i^j\right)\Vert \right)V_{\Phi }\left(h;\left[{\beta }_{j-1},{\beta }_j\right]\right)\right)},\end{array}$ (13)

其中

${\tau }_i^j\in \left[{\alpha }_{i-1}^j,{\alpha }_i^j\right]\subset \left({\tau }_i^j-\delta \left({\tau }_i^j\right),{\tau }_i^j+\delta \left({\tau }_i^j\right)\right),i=1,2,\cdots ,m,j=1,2,\cdots ,n,\delta \left({\tau }_i^j\right)>0,$

${\beta }_{j-1}={\beta }_0^j<{\beta }_1^j<\cdots <{\beta }_{m_j}^j={\beta }_j,$

因此对 $t\in \left[t_0,t_0+\Delta \right]$， $\underset{k\to \infty }{\lim }{x}^k\left(t\right)=x\left(t\right)$ 一致成立，且函数 $\omega$ 在0点连续且 $\omega \left(0\right)=0$，则对任意的 $0<\epsilon <1$，

存在 $K\in N$，使得对 $k\ge K$，有

$\underset{1\le i\le m}{\max }\omega \left(\Vert x^k\left({\tau }_i^j\right)-x\left({\tau }_i^j\right)\Vert \right)<\epsilon$

所以，由(13)式，有

$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}\Phi \left(\Vert T{x}^k\left({\beta }_j\right)-Tx\left({\beta }_j\right)-T{x}^k\left({\beta }_{j-1}\right)+Tx\left({\beta }_{j-1}\right)\Vert \right)}\\ <\Phi \left(\epsilon \right){\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}\Phi }\left(V_{\Phi }\left(h;\left[{\beta }_{j-1},{\beta }_j\right]\right)\right).\end{array}$ (14)

因为 $\Phi \left(u\right)$ 满足(C2)则 $\frac{\Phi \left(u\right)}{u}$ 不减，见文献 [7] 定理1.03，于是有

$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}\Phi \left(V_{\Phi }\left(h;\left[{\beta }_{j-1},{\beta }_j\right]\right)\right)}\\ ={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{\Phi \left(V_{\Phi }\left(h;\left[{\beta }_{j-1},{\beta }_j\right]\right)\right)}{V_{\Phi }\left(h;\left[{\beta }_{j-1},{\beta }_j\right]\right)}{V}_{\Phi }\left(h;\left[{\beta }_{j-1},{\beta }_j\right]\right)}\\ \le \frac{\Phi \left(V_{\Phi }\left(h;\left[t_0,t_0+\Delta \right]\right)\right)}{V_{\Phi }\left(h;\left[t_0,t_0+\Delta \right]\right)}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{V}_{\Phi }\left(h\left({\beta }_j\right)-h\left({\beta }_{j-1}\right)\right)}\\ \le \Phi \left(V_{\Phi }\left(h;\left[t_0,t_0+\Delta \right]\right)\right)\end{array}$

由(14)式，有

$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}\Phi \left(\Vert T{x}^k\left({\beta }_j\right)-Tx\left({\beta }_j\right)-T{x}^k\left({\beta }_{j-1}\right)+Tx\left({\beta }_{j-1}\right)\Vert \right)}\\ \le \Phi \left(\epsilon \right){\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}\Phi \left(V_{\Phi }\left(h;\left[{\beta }_{j-1},{\beta }_j\right]\right)\right)}\\ \le \Phi \left(\epsilon \right)\Phi \left(V_{\Phi }\left(h;\left[t_0,t_0+\Delta \right]\right)\right).\end{array}$

所以

$\underset{k\to \infty }{\lim }{V}_{\Phi }\left(T{x}^k-Tx,\left[t_0,t_0+\Delta \right]\right)=0,$

由文献 [7] 定理3.11， $\underset{k\to \infty }{\lim }{\Vert T{x}^k-Tx\Vert }_{\Phi }=0$，即T是连续映射。

下面证明 $T:Q\to Q$ 是紧的。设 $x^k\in Q,k\in N$ 在变差意义下 ${\left\{x^k\right\}}_{k=1}^{\infty }$ 有界，由文献 [7] Helly’extracting

定理存在子序列，逐点收敛于 $\bar{x}\left(t\right)\in B{V}_{\Phi }^{-}\left(\left(-\infty ,t_0+\Delta \right],R^n\right)$。令

$y\left(t\right)=T\bar{x}\left(t\right)=\{\begin{array}{l}\phi \left(0\right)+{\displaystyle {\int }_{t_0}^{t}f\left(x_s,s\right)\text{d}g}\left(s\right),t\in \left[t_0,t_0+\Delta \right]\\ \phi \left(t-t_0\right),t\in \left(-\infty ,t_0\right]\end{array}$

则 $y\in B{V}_{\Phi }^{-}\left(\left(-\infty ,t_0+\Delta \right],R^n\right),y\left(t\right)=T\bar{x}\left(t\right)$，且

$\underset{k\to \infty }{\lim }{\Vert T{x}^k-y\Vert }_{\Phi }=\underset{k\to \infty }{\lim }{\Vert T{x}^k-T\bar{x}\Vert }_{\Phi }=0,$

从而T是紧的。由Schauder不动点定理，至少存在一个 $\bar{x}\in Q$，使得 $\bar{x}=T\bar{x}$，也就是说 $\bar{x}$ 是无限滞后测度泛函微分方程在 $\left(-\infty ,t_0+\Delta \right]$ 上满足初始条件 $\bar{x}\left(t_0\right)=\phi$ 的一个Φ有界变差解。

注1 对于函数 $\Phi \left(u\right)$，如果 $0<\frac{\Phi \left(u\right)}{u}<+\infty$，则由文献 [7] 定理1.15有 $B{V}_{\Phi }\left(-\infty ,t_0+\Delta \right]=BV\left(-\infty ,t_0+\Delta \right]$，

其中 $BV\left(-\infty ,t_0+\Delta \right]$ 表示通常意义下 $\left(-\infty ,t_0+\Delta \right]$ 上Φ有界变差函数的全体。

注2 对于函数 $\Phi \left(u\right)$ 如果 $\underset{u\to 0^{+}}{\lim }\frac{\Phi \left(u\right)}{u}=0$，则由文献 [7] 定理1.15有 $B{V}_{\Phi }\left(-\infty ,t_0+\Delta \right]\subset BV\left(-\infty ,t_0+\Delta \right]$，例如 $\Phi \left(u\right)=u^p$， $1<p<+\infty$，则 $\underset{u\to 0^{+}}{\lim }\frac{\Phi \left(u\right)}{u}=0$。

基金项目

国家自然科学基金资助项目(11061031)。

参考文献

NOTES

^*通讯作者。