1. 引言
恶性肿瘤(癌症)已经成为严重威胁中国人群健康的主要公共卫生问题之一。近几十年来,描述肿瘤生长的数学模型的文献 [1] [2] 大量涌现出来。为更好地描述肿瘤在微环境中的生长,学者引进了相场模型 [3] [4] 来描述肿瘤的演变过程。在扩散界面框架中,Cahn-Hilliard类型的相场模型是最常用的模型,其适定性 [5] [6],渐近分析 [7] [8],滑模控制 [9] 等均得到了广泛的研究。考虑细胞间液体的流动性,学者结合流体力学提出了Cahn-Hilliard-Darcy方程组 [10]、Cahn-Hilliard-Hele-Shaw方程组 [11] 和Cahn-Hilliard-Navier- Stokes方程组 [12] 等模型。这些新模型为进一步体现细胞-微环境之间的相互作用提供了新的数学框架。
本文受Silva [13] 的启发,建立了无血管期肿瘤生长的相场模型。该模型耦合了营养物质浓度
的Allen-Cahn方程和序参数
的Cahn-Hilliard方程,描述了肿瘤生长所需营养物质的扩散过程和肿瘤细胞的演变过程。在介绍模型前,我先定义一些符号,在本文中假设
是一个有界开域,并且边界
是光滑的。定义
。未知函数
表示营养物质浓度,
表示序参数,序参数
表示在某个区域
某个时间点
细胞为肿瘤细胞,
为正常细胞。具体模型如下
(1.1)
(1.2)
其中
,满足Neumann边界条件,无流边界条件和初值条件
(1.3)
(1.4)
(1.5)
(1.6)
其中
为扩散系数,是一个正常数。数
表示营养物质的消耗速度,
表示细胞移动速度,
表示化学势,
表示界面能系数,
为单位外法向量。
新的相场模型的简单推导如下:考虑总自由能泛函为
其中,双势阱函数
。自由能
关于时间
求导,可得
将方程(1.1),(1.2)代入上式,由假设
可得
因此模型满足热力学第二定律。
2. 主要结论
为了得出主要结论,需要先给出初边值问题(1.1)~(1.6)弱解的定义。在此之前,引入一个定义
定义1.1 假设
,称函数
为问题(1.1)-(1.6)的弱解,并且满足
如果对任意的测试函数
,满足
(2.1)
(2.2)
为研究该初边值问题的弱解,给出以下假设条件。
假设(H):在本文中,我们假设
并且满足
1)
2)
3)
这里所有的参数
均为正常数。
注: 本文所取的
和
有一些限制,但是可以取得到的,这里给出一种选取方法。首先对满足连续条件
的函数
,
进行截断
其中
为某一正常数。然后对截断后的函数
进行磨光,磨光后的函数仍记为
和
。此时的
和
便满足假设条件(H)。
定理1. 给定任意正常数
,假设
,则在定义1的意义下,初边值问题(1.1)~(1.6)存在弱解
,并且解满足
(2.3)
(2.4)
由于函数
不是常值函数,因此本文将考虑一维空间域内初边值问题(1.1)~(1.6)解的唯一性。
定理2. 假设
且
是一个有界开集,则由定理1得到的解
是唯一的。
注1. 稳态解的定义和主要结论在第五章节。
注2. 为方便起见,本文用
表示
空间的范数。
3. 弱解的存在性
由迭代法和Aubin-Lions引理不难得到初边值问题(1.1)~(1.6)局部解的存在性。在这一章节中,通过弱解
的一致先验估计,借助局部解延拓法证明整体解的存在性。
引理1. 假设
,则对任意的
,有
(3.1)
证明:由于模型满足热力学第二定律,也就是能量的衰减性
。对其关于时间
积分,得
即
根据初值条件,应用Sobolve嵌入定理和带
的Young不等式,整理得
最后,考虑到函数
且
恒成立,取
,证得(3.1)。至此证毕。
引理2. 假设
,则对任意的
,有
(3.2)
证明:将(1.1)两边同时乘以
并关于
做积分,利用分部积分公式,可得
借助假设(H),Hölder不等式以及带
的Young不等式,可以得到
(3.3)
对(3.3)在
上关于
积分,结合引理1得
考虑庞加莱不等式,(3.2)得证。至此证毕。
引理3. 假设
,则存在常数
,使得对任意的
,有
(3.4)
证明:方程(1.2)左右同乘
,再关于
做积分,利用分部积分公式以及边界条件(1.4),可得
由假设(H2),将右边项分成四项,我们有
(3.5)
考虑到
,由Sobolev嵌入定理 [14] 知
嵌入到
。利用Gagliardo-Nirenberg不等式 [15]
(3.6)
以及带
的Young不等式,引理1可得
的估计
(3.7)
类似地,不难得到
的估计
(3.8)
这里应用了Gagliardo-Nirenberg不等式
和
的估计比较简单,可以直接得到
(3.9)
(3.10)
结合(3.7)~(3.10),并代入(3.5),根据引理1和庞加莱不等式,有
(3.11)
(3.11)关于时间
积分,并且选择
,可以得到
(3.12)
最后根据引理1和庞加莱不等式,利用椭圆方程的正则性,可得(3.4)。至此,引理证毕。
结合引理2和引理3,应用局部解延拓法,可以证明初边值问题(1.1)~(1.6)弱解的存在性,即定理1得证。
4. 一维模型解的唯一性
上一章节在先验估计的基础上证明了整体解的存在性。由于函数
不是常值函数,因此在这一章节我将证明一维空间域内初边值问题(1.1)~(1.6)解的唯一性,即定理2。
定理2的证明:假设
和
为定理1意义下的两个解,则差
和
满足
(4.1)
(4.2)
(4.3)
(4.4)
(4.5)
(4.6)
为证
,需要得到
和
的估计,下面分成三部分进行:
(1) (4.1) 两边同乘
,关于
做积分,然后根据分部积分公式可以得到
由假设(H)知,
其中
是一个函数。应用Hölder不等式,可得
于是,关于
做积分,可推得
(4.7)
(2) (4.1)两边同乘
,不难得到
(4.8)
(3) 在(4.2)左右两边同乘
,关于
做积分,利用分部积分公式可以得到
(4.9)
由于
,借助分部积分公式和边界条件(4.4),有
(4.10)
将(4.10)代入(4.9)中,整理得
(4.11)
于是,(4.11)式关于
做积分,并将右边项分成以下几部分进行估计
(4.12)
考虑
,则有Gagliardo-Nirenberg不等式
(4.13)
结合假设(H2)以及带
的Young不等式,可以推导出
的估计
(4.14)
由假设(H)和积分中值定理,有
其中
是一个函数。于是借助插值不等式(4.13),带
的Young不等式以及一般形式的Hölder不等式,再利用(4.6),可得
(4.15)
依据Sobolev嵌入定理,我们发现
嵌入到
。因此,借助插值不等式(4.13)和带
的Young不等式,可以得到
(4.16)
考虑假设(H),插值不等式(4.13)以及一些基本不等式,有
(4.17)
类似地,不难得到
的估计
(4.18)
以及
(4.19)
现在,结合(4.14)-(4.19),选择
和
代入(4.12),可得
(4.20)
最后,(4.7),(4.8)与(4.20)三式相加,对任意的
,有
(4.21)
根据初始条件(4.3)与(4.4),利用积分形式的Gronwall不等式 [14],发现
在
中几乎处处成立。到此证毕。
5. 稳态解的存在性
下面考虑问题(1.1)~(1.6)的稳态问题。稳态解
满足
(5.1)
(5.2)
其中
,同时满足边界条件
(5.3)
(5.4)
现在给出稳态问题(5.1)~(5.4)弱解的定义和主要结论。
定义2. 称函数
为问题(5.1)~(5.4)的弱解,并且满足
如果对任意的测试函数
,满足
(5.5)
(5.6)
定理3. 在定义2的意义下,稳态问题(5.1)~(5.4)存在弱解
,并且解满足
(5.7)
首先,对稳态问题(5.1)~(5.4)进行处理。对(1.1)关于
做积分,利用分部积分公式和边界条件(1.3), 可得
对上式关于
在
上做积分,并令
,有
这里
。假设
存在,则
存在。由于
,则
。
于是,方程组(5.1)~(5.2)改写为两个解耦的椭圆型方程,分别为Laplace方程
(5.8)
和四阶非线性方程
(5.9)
接下来化简方程(5.9),对其关于
做积分,再考虑其边界条件以及假设中
,可以将其化简为半线性方程
(5.10)
这里
为一常数。
引理4. 方程
且满足
。
由于方程为Neumann条件下的Laplace方程 [16],证明省略。
引理5. 方程
(5.11)
存在弱解
,并且满足
。
方程为Neumann条件下二阶半线性椭圆型方程 [17],故证明省略。
引理6. 方程
(5.12)
存在弱解
,并且满足
。
证明:由化简过程知,方程(5.11)与方程(5.12)有相同的弱解
,下证
。方程(5.12)第一式左右同乘
,再关于
做积分,利用分部积分公式以及边界条件,不难得到
(5.13)
利用插值不等式(3.6)不等式,带
的Young不等式以及引理5,可得
的估计
(5.14)
类似地,不难得到
(5.15)
结合(5.14)~(5.15),并选择
代入(5.13),有
(5.16)
至此证毕。
最后,结合引理4~引理6,定理3得证。