1. 引言
20世纪80年代舒尔曼(Shulman)首次提出了教学内容知识(Pedagogical Content Knowledge，以下简称PCK)这一概念，将其定义为学科知识和教学知识的合金 [1]。关于PCK的研究越来越多，对数学教学内容知识(Mathematics Pedagogical Content Knowledge，以下简称MPCK)的研究也逐渐深入其中。而且，不同学者对MPCK有着不同的理解，比如：有从教师教学的角度强调学科内容知识的重要性 [2]，有从学生学习的角度关注学生学习结果的重要性 [3]，有从教学内容本身的角度强调教学方法的重要性 [4]。金美月教授对国内外众多研究者对于MPCK的内涵及结构进行分析，并且结合诸多教学实践及课堂教学观摩，认为MPCK是由数学学科知识、学习者知识、课程知识、教学策略知识以及教育信念整合而成。其中数学学科知识包括实体知识、内容知识和句法知识。学习者知识指对于所教学生的知识结构、思维水平、学习困难、易错点的了解。课程知识指对课程标准的理解以及对数学教材的把握。教学策略知识包含教学评价、教学方法、教学组织相关的知识。教育信念指教师对数学、学生学习数学、数学教学的看法。
MPCK作为数学教师必备的知识，是数学教师专业发展的重要因素。因此，对不同特征初中数学教师MPCK 进行个案研究，不仅有助于确定教师专业发展的因素，而且有助于不同特征初中数学教师了解自身的MPCK，进而提升教学质量，进行有效教学。为此，通过问卷调查法、深度访谈法与个案法，以六名不同特征初中数学教师为研究对象，从五个维度十五个观测点进行整合研究不同特征初中数学教师的MPCK如何。
2. 概念界定
不同特征指的是四个维度的不同，每个维度包含2个水平，具体见表1。因此，该文中的不同特征初中数学教师不仅指在职教师，也包含预备教师。
3. 研究方法
3.1. 研究对象
选取6位初中数学教师为研究对象进行案例研究，分别用T1、T2、T3、T4、T5、T6表示6位不同的教师，教师特征如表2。除了成绩、研读、反思、经验四个特征存在差异外，在影响数学教师MPCK的其他因素方面基本保持一致。
Table 1. Description of different features
表1. 不同特征描述
Table 2. Different characteristics of junior middle school mathematics teachers
表2. 不同特征初中数学教师
3.2. 数据分析
首先对访谈结果、教学视频分析结果、有效测试卷进行分析，根据“MPCK子要素水平描述表 [5] ”(见表3)给每个子要素进行水平划分；其次结合每一个子要素所处的水平，根据“MPCK维度水平描述表”(见表4)得出相应维度所处的水平；最后根据“MPCK水平描述表”(见表5)得出该教师MPCK所处的水平以描述其MPCK的现状。
Table 3. MPCK sub-element level description
表3. MPCK子要素水平描述
Table 4. MPCK dimension level description
表4. MPCK维度水平描述
4. 数据分析及结论
4.1. 成绩不同教师的MPCK
分析“水平一”教师对数学学科知识子要素的答题情况，该教师能较全面列出这一节的核心知识，但仅对“一次函数的定义”做了详细的叙述；对核心知识点特征的叙述不够全面，且没有说明其由来。《一次函数》相关概念数量少，仅包含“坐标系、单项式、多项式、未知数、等量关系”，没有体现出正比例函数及反比例函数等。综上分析该教师对于核心知识点处于识别阶段。相关知识点间逻辑关系的掌握仅停留在概念层面，没有结合整个学段形成完整的逻辑体系。知道教学片断体现的思想及方法，但对具体的体现过程不清楚。这些特点符合表3中数学学科知识子要素对应的“了解”水平。
由表4可知，处于“水平一”的教师在数学学科知识维度处于“了解”水平；用同样的思路分析每一个维度，得到学习者知识、课程知识、教学策略知识均处于“了解”水平，教育信念处于“理解”水平；再由表5得出成绩处于“水平一”教师的MPCK 为“了解”水平。同样的分析思路，得出处于“水平二”教师MPCK为“理解”水平。
4.2. 研读不同教师的MPCK
分析“水平一”教师对课程知识子要素的访谈结果，该教师对于行为动词“理解”的刻画是“学生能够用自己的语言说出正比例函数的定义及注意事项而不是仅仅记住教材中所给出的定义”。教师简略说明“变量与函数”是函数知识的开端，有承上启下的作用，并没有说明上承哪些知识，下接哪些知识。对于教学重难点，指出“分段分析并讲解各种图像代表的意义”。综上所述，得出该教师对《标准》中相关行为动词的刻画不准确。对于任教内容的地位与作用知道较少，且不能有效突破教学重难点。这些特点符合表3中课程知识子要素对应的“了解”水平。
由表4可知，处于“水平一”的教师在课程知识维度处于“了解”水平；用同样的思路分析每一个维度，得出数学学科知识、学习者知识、教学策略知识均处于“了解”水平，教育信念处于“理解”水平；再由表5得出研读处于“水平一”教师MPCK为“了解”水平。同样的分析思路，得出处于“水平二”教师MPCK为“理解”水平。
4.3. 反思不同教师的MPCK
分析“水平一”教师对教学策略知识子要素的答题情况，该教师认为通过做题就能判断教学目标的达成情况，且仅从知识技能方面评价学生。对于教学过程，该教师完全按照教材顺序进行教学，首先根据“思考1”分析三个方程之间有什么联系，然后给出书中的一次函数，让学生讨论总结三个方程与一次函数有什么关系，最后学生讨论归纳完成“思考2”、“问题3”。综上分析该教师着眼于学生回答问题的正确率，忽视其他方面的评价；教学过程完全遵循教材，不能综合学生特点、知识特点合理设计教学内容。这些特点符合表3中教学策略知识子要素对应的“了解”水平。
由表4可知，处于“水平一”的教师在教学策略知识维度处于“了解”水平；用同样的思路分析每一个维度，得出数学学科知识、学习者知识、课程知识均处于“了解”水平，教育信念处于“理解”水平；再由表5得出反思处于“水平一”教师的MPCK 为“了解”水平。同样的分析思路，得出处于“水平二”教师MPCK为“理解”水平。
4.4. 经验不同教师的MPCK
分析“水平一”教师对教育信念子要素的访谈结果，该教师所持的是工具主义观念，注重新旧知识的联系，体现的是一种建构主义学习观。数学的学习要注重知识之间的联系，在学习新知识时要与旧知识建立联系。这些特点符合表3中教育信念子要素对应的“理解”水平。
由表4可知，处于“水平一”的教师在教育信念维度处于“了解”水平；用同样的思路将分析每一个维度，得出数学学科知识、学习者知识、课程知识、教学策略知识均处于“了解”水平；再由表5得出经验处于“水平一”教师MPCK 为“了解”水平。同样的分析思路，得出处于“水平二”教师MPCK为“理解”水平。
综上所述“水平一”的数学教师对核心知识点的掌握仅停留在教材表层所呈现出的内容；缺乏对知识本身的深刻理解，相关知识点的掌握程度较低；对教学过程中的思想、方法表述不够完整清晰；不理解《标准》对相关行为动词的要求；对所教内容的地位与作用了解不全面。所以，处于“水平一”的教师MPCK现状水平不够理想，表明其MPCK有着很大的进步空间。
“水平二”的教师相比“水平一”的教师，更能综合学生实际情况与知识点本身，预测学生的学习困难和易错点；能够理解行为动词基本含义且对任教内容的地位与作用把握较为全面；进行教学设计时能够根据教学内容难易程度以及学生基础水平对教材顺序进行适当调整，教学过程中选择的教学方法比较符合学生的认知规律，针对具体的教学内容选择观察、简单访谈、口头提问、测试卷等恰当的评价形式进行评价。
5. 建议
5.1. 教师注重对数学学科知识与教育学相关知识的整合
将数学与教育学的教和学的过程、情感特征、评价等方面的知识进行整合，对教师发展有积极作用。扎实的专业知识与广博的教育学相关知识可以丰富教师的MPCK。因此，教师在获得数学学科知识的同时，还应学习充足的教育学、心理学知识以及相关教学法知识，注重将其进行整合，使数学学科知识与教育学相关知识融会贯通，从而提升教师MPCK。
5.2. 结合《标准》和数学教材深刻解读教学内容
将《标准》与教材相结合来解读教学内容时，会把《标准》所倡导的理念、思想、方法与教材研究的成果应用于教学设计，关注课堂教学整体性观念的全面渗透。因此，教师在备课阶段应深度分析《标准》及教材，熟悉教学内容的每个知识点及习题等，明确核心知识点，抓住教学重难点 [5]；考虑学生认知发展水平和已有的知识经验，明确学生需要掌握到什么程度，教师需要讲到什么程度，从而加深对知识的理解，理清数学相关概念之间的联系、建立全面的数学知识体系，最终提升教师MPCK。
参考文献