1. 引言
两种或两种以上相互作用的物种的模型被广泛应用于许多科学领域,如物理、数学、化学、生物、力学等方向众多分支当中。如物理化学中的纳米粒子自组装、生物菌落的形成、两个物种群体共识问题和行人动力学问题等。所有这些模型的基本特征都是存在相互竞争的力量,目的是推动两个阶段走向不同的形状。结合数学的知识,我们就将其转化为考虑两个受交叉和自吸引相互作用的物种的变分模型。
2015年,Choksi,Fetecau和Topaloglu等人 [1] 建立了由幂律势组成的一类能量函数的全局最小值的存在,即他们考虑如下的能量函数的基态:
在限制条件
下的极小值,这里
,对于
且
,证明该泛函在
下存在一个极小值。
2019年,Zhang guoqing,Geng xiaoqian [2] 研究了如下形式的泛函:
在
限制下
极小值的存在性。其中
,幂律势
,
。
2. 预备知识和基本引理
本文研究了如下泛函的基态
(2.1)
在约束
(2.2)
上极小值的存在性。其中,
,
,
。外部势能
满足一些适当的条件,
中的第一项和第二项是计算函数
的总变分,
(2.3)
因此,由(2.3),问题(2.1)可以被看作是如下有限周长集合上的最小化问题:
其中
表示
的Lebesgue测度,
,且
表示他的周长。
现在,定义如下的
:
此外,我们还通过定义了无穷远处的最小值问题
:
其中
引理2.1
假设
和
是
中具有一致有界测度的可测集序列,且对所有的n成立
。我们定义
(全局),若
,
(局部),如果对任一紧集
,
。假设对于一些可测集F
(全局的)和
(局部的)
对于一些可测集F,那么我们有
(2.4)
和
(2.5)
这里
,
,
,A是
的一个可测集。
证明:首先我们注意到
(2.6)
当
,其中
。现在,我们断言当
,
实际上,对任给
,我们选择
,使得
对任何
。我们有
这里的
表示以
为圆心半径为R的开球。因为当
,
(局部的),我们有当
,由(2.6),我们得到,当
也就是说,
类似于(2.4)的证明,我们可以得到(2.5)。
引理2.2
若
,
那么,我们有
(2.7)
其中
。
证明:首先,我们证明下面的不等式
(2.8)
实际上,不等式(8)可以通过以下的过程得到:对任给
,存在一对有界集
和
成立
和
(2.9)
因此,我们可以选择
使得
。我们定义
,其中d是一个位移矢量,且
,因此,
。注意到对于
和
,我们有
(2.10)
具体来说,我们有
(2.11)
和
(2.12)
和
(2.13)
和
(2.14)
和
(2.15)
和
(2.16)
结合(2.11)~(2.16),我们得到
由(2.9)和(2.10),
当
和
,我们得到(2.8).
接下来,我们证明下面的不等式
(2.17)
同(2.8)的证明一样,假设
和
是有界的集合,且
和
(2.18)
通过考虑
,其中d是一个位移矢量,我们有
(2.19)
结合(2.19)和(2.12)~(2.15),我们有
由(2.10)和(2.18),我们得到,当
和
,(2.17)仍然成立。
结合(2.8)和(2.17),我们有
这样就完成了引理2.2的证明。
3. 主要结果及证明
本文的主要结果如下:
定理3.1 [3]
假设
,
,
满足(L1)和(L2),
(L1)
和
,
(L2)
。
那么对任意
,问题(2.1)在
上存在一个基态解。
证明:当
,因为
和
,我们得出
和
由(L1)和(L2),我们选择
使得
,对
,我们有
这表明
是下有界的。
由以上可得问题(2.1)存在一个极小化序列
,因为
,
,由 [4] 我们得极小化序列有一致有界的周长。为了简化证明,我们定义有限周长集
满足
,且对所有的
有
。利用 [5] 中的推论(12.27),存在一个子序列
和有限周长集
满足在
中有
。
将证明过程分为如下5步
结论1. 在以下四种情况下:
情况1:
,
。
情况2:
,
。
情况3:
,
。
情况4:
,
。
都成立下面的不等式
(3.1)
其中
和
。
现在,我们将不等式(3.1)分为以下四种情况证明。
情况1:
,
。
第一步:为了证明不等式(3.1)成立,实际上,我们假设
。由 [6] 的引理2.2知,存在一个序列
,使得有如下的集合
和
然后我们令
,使得
和
满足
和
(全局的)和
(局部的)
特别地,
和
我们表示
,
,
和
,由 [7],使得在
中
,在
中
。由 [8] 的引理4,我们有
由引理2.1,我们得到
第二步:正如第一步的证明,我们用
替代
,
替代
。由 [9],很容易知道在
中
和
,由 [10] 的命题2.1,我们得到存在集合
,
和序列
使得
(局部的)。
注意到由 [11],得在
中
,我们有当
时,
。而且,通过类似的论证, 我们还得到了集合
满足
在
中
和在
中
再一次,我们有
其中
,
和
,我们令
,
。因此,我们有
且
。由 [12] 的引理4.8得到
情况2:
,
。由情况1的第一步,有下面的结论
当
,则
。由
,
,使得
和
,我们可以得到
因此,这表明
且我们有
所以,我们得到
情况3与情况4可同理得到。
因此,我们得到
综上,我们证明了对以上四种情况(3.1)是成立的。
结论2. 我们要证明
,即消逝性是不成立的。
事实上,若
。我们定义一个序列为
,且
在
中
和在
中
因此,由 [13] 的引理4和
中前四项的平移不变性,我们推出
又因为
,这是一个矛盾,所以我们得出
。
结论3. 证明
和
成立。实际上,由引理2.2,我们有
且由(3.1),得出
因此,这表明
所以,
和
成立。
结论4. 我们断言
由 [14] 中极小值的正则性,存在
使得
。令
是任一单位向量,这里
表示
中的单位球。对充分大的t,有
。现在,定义
和
因为对充分大的
,
,所以对充分大的t,
和
因此,对任给
,选择
使得
且存在一个紧集
,
使得
和
由测试函数
,且对
是可容许的,由引理2.1,得
所以,它与(3.1)矛盾。即
。
结论5. 问题(2.1)在
上存在基态解。
事实上,
在
中是局部收敛的,即存在一个子序列在
中几乎处处收敛。此外,因为
我们得到,在
中
因为
,由Brezis-Lieb引理, [12] 中的命题4.29的弱下半连续性和引理2.1,我们得出问题(2.1)在
上存在一个基态解。
由结论1、结论2、结论3、结论4和结论5,定理3.1得证。
本文得到了非局部等周问题的存在性,我们也可以考虑这个问题在
的情况下,该结论是否还是成立的,这是一个很值得我们去思考的问题。