基于ARIMA模型和指数平滑模型对我国货物进出口总额的预测研究

Prediction of China’s Total Import and Export of Goods Based on ARIMA Model and Exponential Smoothing Model

摘要: 在后疫情时代，为了研究我国货物进出口情况，本文采用了ARIMA模型和Holt-Winters三参数指数平滑模型对我国1996年1月至2022年10月的货物进出口总额的月度数据进行建模比较分析，并对未来三年的进出口总额进行预测。根据预测结果显示，两个模型都能较好的拟合数据，后者模型的拟合程度略优于前者。预测结果显示未来三年我国的货物进出口总额是逐渐增长的。

Abstract: In the post epidemic era, in order to study the import and export situation of China’s goods, this paper uses ARIMA model and Holt Winters three parameter exponential smoothing model to model and compare the monthly data of China’s total import and export of goods from January 1996 to October 2022, and forecasts the total import and export in the next three years. According to the prediction results, both models can better fit the data, and the fitting degree of the latter model is slightly better than the former. The forecast results show that China’s total import and export of goods will gradually increase in the next three years.

1. 绪论

1.1. 研究背景

货物进出口贸易指国家或地区之间对于商品与劳务的交换。随着中国经济的发展，中国在全球化进程中扮演着越来越重要的角色，进一步融入世界经济，对于我国的国民经济，进出口贸易占据着越发重要的地位。众所周知，在改革开放前，我国由于实行封闭式的发展模式，对外贸易事业发展不明显；但在改革开放以后，我国的外贸事业逐渐发展壮大起来了，且发展的越来越好，后面尤其是加入WTO以后，发展的更快更好了。根据相关统计，在2021年我国货物贸易进出口总值高达39.1万亿元，其中进口17.37万亿元，出口21.73万亿元，可以看出出口是高于进口的。在后疫情时代，如何调整我国的进出口政策显得尤为重要。

1.2. 研究意义

近年来，随着世界经济的快速发展，我国也实现了经济全球化发展。如今，我国的对外进出口总值当期值从1996年的290118850千美元增长到了2021年的6047088936千美元。这说明我国对外进口贸易越来越完善，同时进出口总值成为衡量我国经济发展的重要指标。

为了探索进出口总值的变化规律和趋势，因此我采用了指数平滑模型和ARIMA模型对我国的货物进出口总值进行预测，同时想要探讨两个模型拟合效果如何。根据其结果，对我国未来货物进出口发展制定合理的政策措施，这对于实现中国式现代化，实现经济增长有着重要的理论意义。如今，我国的外贸依存度已经达到70%，这对我国经济发展有着重要的意义。因此，对进出口的分析和预测也逐渐成为经济学界研究的重点话题。

2. 文献综述

在1978年改革开放以来，我国的进出口贸易飞速发展，货物进出口总值大体上在不断地增加，而进出口总量与我国经济总量息息相关。为了研究货物进出口贸易的未来走势，我国的学者对此做了大量的研究。由于国与国之间的经济往来更加密切，贸易总量逐年递增，国内学者针对进出口总值与经济发展之间的关系、进出口总值的预测，进行深入的研究。

首先，国内不同的学者采用各种方法，得知我国的经济发展与进出口总值是息息相关的。姚丽芳通过对2001年进出口总额数据的分析，得出了出口可以推动国家经济的增长的结论 [1] 。何婷婷将国内生产总值和进出口总值作为研究对象，分析1978至2014年的相关数据，其认为改革开放后，我国国民生产总值受进出口贸易总额的影响 [2] 。其次，一些学者通过ARIMA模型对我国的进出口进行预测分析。针对我国1982~2008年期间进出口数据，程兰芳用ARIMA模型其分析并预测 [3] 。对于1995~2010年我国海关进出口商品总值的月度数据，敬久旺也建立了ARIMA模型进行分析其变化规律 [4] 。沈汉溪用ARIMA模型预测了2006~2010年中国外贸进出口总额、出口总额和进口总额 [5] 。

还有一些学者在ARIMA模型的基础上进行了改进，运用其他方法进行了预测分析。段鹏建立了SARIMA模型，对我国商品进出口贸易的月度数据进行分析，根据数据的季节性趋势，发现了我国商品贸易的未来走势，并对如何解决商品贸易顺差扩大问题提出了相关对策 [6] 。张蕾等在利用ARIMA模型和支持向量回归模型的基础上，构建了基于权重分配的组合模型，并对三种方法的预测精度进行了对比，提高了预测的精确度 [7] 。

从前面的分析得知大多数学者都是采用ARIMA模型预测分析，近些年不同的学者提出了其他合适的模型来预测分析。ARIMA(p,d,q)模型由于其处理时间序列线性数据时其模型简单且拟合效果较好，因此大部分学者研究进出口贸易预测时就选用了这种方法。因此我也选择了该种方法对我国货物进出口总值进行了预测。同时根据所学知识，我认为Holt-Winters三参数指数平滑模型也能很好的拟合数据，因此也采用了这种方法来与ARIMA模型进行对比分析。最后，本文根据1996~2022年的我国的月度货物进出口总值的数据，建立了这两个模型来对比分析，预测未来三年的我国货物的进出口总值。

3. 理论模型

3.1. 平稳性检验

时间序列数据如果包括上升或下降的趋势、以及月度、季节等导致的周期趋势，都会让数据不平稳。而平稳性是建模前提，所以需要平稳性检验。平稳性检验通常有以下两种：时序图检验和自相关图检验。

3.2. 平稳化处理

如果序列没有通过平稳性检验，需要差分使其平稳。一阶差分能够消除显著的线性趋势的影响，二阶能够消除曲线趋势的影响。对于存在周期性的序列，需要将周期作为步长进行d步差分，消除周期的影响。

3.3. 纯随机性检验(白噪声检验)

其次，还需进行纯随机性检验。因为白噪声序列之间不存在什么相关关系，不好预测，我们希望原序列非白噪声。

原假设：延迟期数小于或等于m期的序列值之间相互独立

备择假设：延迟期数小于或等于m期的序列值之间有相关性

H₀： ${\rho }_1={\rho }_2=\cdots ={\rho }_m=0$

H₁ ${\rho }_k\ne 0,\forall m\ge 1,k\le m$

检验统计量主要有两个统计量：Q统计量和LB统计量：

Q统计量： $Q=n{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{m}{\sum }}{\hat{\rho }}_k^2}~{\chi }^2(\; m\; )$

LB统计量： $LB=n\left(n+2\right){\displaystyle \underset{k=1}{\overset{m}{\sum }}\frac{{\hat{\rho }}_k^2}{n-k}}~{\chi }^2(\; m\; )$

当P值小于 $\alpha$ 时，那么该序列就是非白噪声；反之则为白噪声序列。

3.4. 建立ARIMA模型

3.4.1. ARIMA模型简介

ARIMA模型(求和自回归移动平均模型)是ARMA模型和差分模型的结合。ARIMA(p,d,q)模型主要是为了解决不平稳时间序列的预测问题。ARIMA(p,d,q)模型可以表示为：

$\{\begin{array}{l}\Phi \left(B\right){\nabla }^d{x}_t=\Theta \left(B\right){\epsilon }_t\\ E\left({\epsilon }_t\right)=0,Var\left({\epsilon }_t\right)={\sigma }_t^2,E\left({\epsilon }_t{\epsilon }_s\right)=0,s\ne t\\ E{x}_s{\epsilon }_t=0,\forall s<t\end{array}$

3.4.2. 模型定阶

一、通过自相关图和偏自相关图定阶

通常情况下，运用自相关图和偏自相关图来对模型进行定阶，在ARIMA(p,d,q)的模型中，p,q的确定是借助ARMA(p,q)的定阶方式，区别只是ARIMA(p,d,q)需要先进行d阶差分使原序列变得平稳。其中，ARMA(p,q)的定阶原则如表1所示。

Table 1. ARMA order determination principle

表1. ARMA定阶原则

当差分后的序列带有拖尾情况时，可以考虑用低阶的模型拟合，再从多个模型中，选出AIC值最小的模型，再进行预测分析。

3.5. Holt-Winters三参数指数平滑模型

三参数指数平滑模型主要是用来拟合有长期趋势和季节效应的序列。即是说当序列的季节效应、长期趋势效应和随机波动之间有着复杂地相互关联性时，简单的季节加法模型不能充分地提取其中的相关关系。因此需要用到带季节的乘法模型。其中，短期相关性用低阶ARMA(p,q)模型提取，季节相关性用以周期步长S为单位的ARMA(P,Q)模型提取。其模型结构如下：

${\nabla }^d{\nabla }_S^D{x}_t=\frac{\Theta \left(B\right)}{\Phi \left(B\right)}\frac{{\Theta }_S\left(B\right)}{{\Phi }_S\left(B\right)}{\epsilon }_t$

三参数指数平滑加法模型预测：

${\hat{x}}_t\left(h\right)=a\left(t\right)+b\left(t\right)\cdot h+s\left(t+h\right)$

三参数指数平滑乘法模型预测：

${\hat{x}}_t\left(h\right)=\left[a\left(t\right)+b\left(t\right)\cdot h\right]s\left(t+k\right)$

4. 数据来源与处理

本文数据来源于国家统计局。本文根据1996年1月至2021年10月的我国的货物进出口总值的数据，建立ARIMA模型和指数平滑模型，进行时间序列分析，并对其进行预测。其中进出口数据来源于海关总署。

1996~2021年的我国的货物进出口总值的数据整体上呈现出上升趋势。但是在2009年出现下降，考虑到可能是2008年金融危机的冲击，对我国货物进出口造成了影响。其中，由于今年来受疫情因素的影响，我国货物进出口总值在2020年的1月和2月的数据缺失，因此采用了线性插值法将其补齐，再进行建模分析。

5. 建模分析

5.1. ARIMA模型

5.1.1. 平稳性检验

Figure 1. Time sequence of China’s goods import and export

图1. 我国货物进出口额时序图

根据时序图1，可以看出我国货物进出口贸易数据逐年增加，同时含有季节效应，因此判断其为非平稳时间序列。对我国货物进出口额序列做1阶差分用来消除趋势，然后再做12步差分消除季节效应的影响，最后做出差分后的我国货物进出口时序图如图2所示。

Figure 2. Time sequence diagram of China’s goods import and export volume after difference

图2. 差分后的我国货物进出口额时序图

由图2可以看出差分后序列类似平稳。用ADF进一步验证其平稳性，如图3所示。

Figure 3. ADF inspection

图3. ADF检验

由图3可以看出，差分后其P值都小于0.05，因此可认为差分后平稳。

5.1.2. 纯随机性检验

再对其做随机性检验，检验结果如图4所示。

Figure 4. White noise test

图4. 白噪声检验

由图4可以看出，其P值小于0.05，拒绝原假设是白噪声，因此认为1阶12步差分后的我国货物进出口值的序列是一个非白噪声序列，因此可以继续建立模型。

5.1.3. ARIMA模型拟合

接下来进行拟合模型，差分后的自相关图和偏自相关图如图5所示。

Figure 5. Autocorrelation chart and partial autocorrelation chart after difference of import and export values of China’s goods

图5. 我国货物进出口值差分后的自相关图和偏自相关图

通过图5，可以了解到我国货物进出口值差分后，其自相关图显示序列中仍含有显著的季节效应。即是说延迟1阶的自相关系数也显著大于2倍标准差，这说明在差分后，我国货物进出口值序列还具有短期相关性，观察偏自相关图也可以得到相同的结果，都是跨周期拖尾，说明还有很多信息没有提取出来。然后拟合各种ARMA模型，拟合效果均不理想，其残差通不过白噪声检验。这说明简单的季节加法模型不适合，因此采用季节乘法模型来拟合该序列。

由于12阶以内的自相关系数和偏自相关系数均不截尾，再考虑季节自相关特征，我们考虑要拟合的乘积模型为ARIMA(1,1,1)x (0,1,1)12模型、ARIMA(1,1,1)x (0,1,2)12模型、ARIMA(1,1,1)x (1,1,0)12模型、ARIMA(1,1,2)x (0,1,1)12模型。

Table 2. AIC values of each model

表2. 各模型的AIC值

从表2的结果中发现ARIMA(1,1,1)x (0,1,1)12模型的AIC值最小，其拟合的结构为：

$\nabla {\nabla }_{12xt}=\frac{1-0.333B}{1+0.1626B}\left(1-0.6725B^{12}\right){\epsilon }_t,Var\left({\epsilon }_t\right)=3.057\times {10}^{14}$

5.1.4. 模型检验

对拟合模型进行检验，结果如图6所示。

Figure 6. Significance inspection chart of fitting model of China’s import and export value series

图6. 我国货物进出口值序列拟合模型显著性检验图

从图6中可以明显的看出残差为白噪声，同时系数均显著非零，这说明该模型的拟合效果较好，相关信息的提取足够充分。

5.1.5. 模型预测

最后进行模型的预测，其效果如图7所示。

Figure 7. Effect chart of ARIMA model predicting China’s import and export value series

图7. ARIMA模型预测我国货物进出口值序列效果图

通过图7，可以了解到拟合的效果良好，其中黑色的虚线部分为序列真实值，红色的线为估计值，蓝色的线为之后三年的预测值，深色阴影部分表示的是预测值在80%置信区间，浅色阴影部分为95%置信区间。其预测部分结果如图8所示。

Figure 8. Partial forecast values of China’s import and export value series

图8. 我国货物进出口值序列部分预测值

从图8中的预测结果可以知道我国的货物进出口值在未来也是稳定上升的。

5.2. Holt-Winters三参数指数平滑模型

在之前判断过该序列有趋势效应和季节效应，且趋势效应和季节效应适用乘法模型，为了对比分析，还对我国的货物进出口值建立了Holt-Winters三参数指数平滑模型进行预测分析。在建模过程中没有特别指定平滑系数的值，所以R基于最优拟合原则计算出平滑系数：

$\alpha =0.4332801,\beta =0.007498897,\gamma =0.335181$

得到三个参数的最后迭代值为：

$a\left(t\right)=5.078294\times {10}^8,b\left(t\right)=1.711769\times {10}^6$

参数c(t)的最后12个估计值对应的是12个月的季节指数，如表3所示。

Table 3. Seasonal index corresponding to 12 months

表3. 12个月对应的季节指数

该序列向前的任意K期预测值为：

${\hat{x}}_{t+k}=\left(507829400+1711769k\right)S_j,\forall k\ge 1$ ，其中j为t+K期对应的季节。

接下来运用该模型对未来的进出口值进行预测，预测图如图9所示。

Figure 9. Effect chart of using holt winters three parameter exponential smoothing model to predict the import and export value series of China’s goods

图9. 用Holt-Winters三参数指数平滑模型预测我国货物进出口值序列效果图

从图9中可以看出我国的货物进出口值也是有规律的上涨的，其中绿色的线是拟合值，蓝色的线是未来36个月的预测值，虚线是真实值。拟合效果看起来也是较好的。用拟合的模型做36期月度的预测，部分预测值见图10。

Figure 10. Forecast of China’s cargo import and export value series by Holt Winters three parameter exponential smoothing model

图10. 用Holt-Winters三参数指数平滑模型预测我国货物进出口值序列值

从图10中可以看出该模型的预测值也是稳定上升的。

5.3. 两模型的对比分析

为了研究ARIMA模型和Holt-Winters三参数指数平滑模型谁的预测效果更好，本文选取了我国货物进出口值2021年11月至2022年10月的拟合值与真实值做对比，结果如表4所示。

Table 4. Comparison between the true value and the fitted value of the two models (unit: USD 1000)

表4. 两模型真实值与拟合值对比(单位：千美元)

从表4中可以看出，用ARIMA模型拟合的过去一年的相对误差值为55.06%，Holt-Winters三参数指数平滑模型拟合的过去一年的相对误差值为45.72%，从结果来看Holt-Winters三参数指数平滑模型的拟合效果稍微更好一点。

6. 结论建议

从两个模型的结果来看，两个模型的拟合效果都是不错的。相对而言，我国货物进出口数据在Holt-Winters三参数指数平滑模型的拟合效果稍微好一点。在两个模型的预测中，对我国出口数据的预测的总体趋势都是带有季节效应的向上的，也符合实际情况。在后疫情时代，我国对外贸易面临着很大的挑战，对于出口来说肯定面临着不小的阻碍，但与此同时也面临着巨大的机遇。我国应该保持积极的出口态度，调整适合我国的出口策略，才能对我国的经济增长有一个正向的影响。