下承式钢管混凝土拱桥吊杆在风–车联合作用下疲劳响应分析

Fatigue Response Analysis of Down-Bearing Concrete Filled Steel Tubular Arch Bridge Boom under Combined Wind-Vehicle Action

摘要: 吊杆是下承拱桥最为重要受力构件之一，为分析其在随机车流和风荷载联合作用下应力循环次数、应力幅及疲劳寿命。以某下承式拱桥为工程背景，建立精细化元胞自动机模型模拟随机车流并对桥梁边吊杆影响线进行加载，然后基于谐波合成法模拟桥址处风荷载的随机脉动过程和风速时程，并根据准定常气动力理论对桥梁进行非线性抖振时程分析，分别得到随机车流和风荷载作用下吊杆应力时程，最后将两者应力叠加，采用雨流计数法将应力时程曲线进行计数处理后得到风–车联合作用下吊杆应力循环次数及应力幅，通过S-N曲线法、Palmgren-Miner线性累积损伤理论分析吊杆的疲劳寿命和等效应力幅。结果表明：1) 采用谐波合成法模拟随机风场具有较高精确性，可作为研究结构风致振动的一种模拟方法；2) 桥梁非线性抖振时程分析时，拱肋横向位移RMS值远大于竖向位移和扭转位移RMS值，该构件设计时风荷载作用不可忽视；3) 风荷载作用下吊杆应力波动较小，但波动频率极为密集，证实了吊杆属于典型高周疲劳；4) 风–车联合作用下吊杆的疲劳寿命需在随机车流单独作用下的疲劳寿命乘0.8修正系数。

Abstract: The spreader bar is one of the most important stress-bearing members of a down-bearing arch bridge. In order to analyze its stress cycle number, stress amplitude and fatigue life under the combined effect of random traffic flow and wind load. Then, based on the harmonic synthesis method, we simulated the random pulsation process of wind load and wind velocity time course at the bridge site, and analyzed the nonlinear jitter time course of the bridge according to the quasi-deterministic aerodynamic theory to obtain the stress time course of the boom under the action of random traffic and wind load respectively, and finally superimposed the two Finally, the two stresses are superimposed, and the number of boom stress cycles and stress amplitude under the combined wind-vehicle action are obtained by counting the stress time course curves using the rainfall counting method, and the fatigue life and equivalent force amplitude of the boom are analyzed by S-N curve method and Palmgren-Miner linear cumulative damage theory. The results show that: 1) The simulation of random wind field by harmonic synthesis method has high accuracy and can be used as a simulation method to study the wind-induced vibration of the structure; 2) The RMS value of transverse displacement of the arch rib is much larger than the RMS value of vertical displacement and torsional displacement when the bridge is analyzed in nonlinear jitter vibration time, and the wind load effect cannot be neglected when the member is designed; 3) The stress fluctuation of the boom under the wind load is small, but the fluctuation frequency is extremely; 4) The fatigue life of the boom under the combined wind-vehicle action needs to be multiplied by 0.8 correction factor under the separate action of the random traffic.

1. 引言

钢管混凝土下承式拱桥多处于交通要道，重要性极高，而吊杆又是下承式拱桥最为关键的受力构件之一 [1] ，它将桥面系的荷载传递至主拱圈，将两者连接成整体，大大提高拱桥的跨越能力，但一经发生疲劳断裂，将会造成极大的经济损失，因此需要对下承式拱桥吊杆疲劳寿命和应力幅进行着重研究。

桥梁运营阶段中，吊杆不仅承受着车辆荷载的反复作用，并且时刻承受着风荷载的扰动，随着桥梁跨度增加，吊杆对风荷载作用也愈加敏感，风致振动对吊杆的疲劳损害亦更加突出。已有部分学者对随机车流和风荷载单独作用下桥梁疲劳做了系列研究。R. Sieniawska、P. Sniady [2] 将车辆按多个运动的集中力表示，对交通流进行简化并建立联合概率密度函数，得到桥梁的振动位移、速度、加速度，评估了公路梁桥在随机车流荷载下的寿命；Cesar Crespo-Minguillon、Juan. R. casas [3] 通过车桥响应试验，监测了桥梁在随机车流作用下的荷载时程，并建立了桥梁的交通流模型，分析车流荷载作用下桥梁应力响应问题；张曦霖 [4] 在元胞自动机交通流行驶规则中添加了加速度条件，提出不同路段入口处车辆的驶入概率以及出口处车辆的消失概率不尽相同，精确实现特定路段或桥梁的交通流模拟；罗棋少 [5] 基于谐波合成法对桥址脉动风场进行模拟并验证了谱的相关性；宋红红 [6] 基于Davenport风速谱对长山斜拉桥进行抖振分析，同风速下脉动风作用横桥向位移和转角位移远大于静风作用；闵亚芝 [7] 对连续刚构桥进行抖振时域分析获得该桥危险点应力循环、应力幅及疲劳寿命。随着上述等研究深入，元胞自动机模型已可实现随机车流的精确模拟，同时风荷载的风场模拟和结构抖振响应分析也已较完善，但对于随机车流荷载与风荷载联合作用下桥梁应力循环次数、应力幅和疲劳寿命研究较少，下承式拱桥吊杆的疲劳研究更少之又少。

本文通过分析随机风荷载和随机车流荷载联合作用下下承式拱桥的吊杆疲劳问题，期望获得风-车联合作用下对下承式拱桥吊杆力学响应的量化指标，对今后下承式拱桥的吊杆设计工作提供参考。

2. 整体模型建立

木高金沙江大桥主跨采用120 m下承式钢管混凝土系杆拱桥结构。有限元模型只建立拱肋、风撑、系杆、中横梁等主要受力构件，吊杆使用桁架单元，其他构件使用梁单元，钢管混凝土拱肋模拟采用组合材料法，桥面板按恒荷载加载至中横梁；边界条件为整体简支，内部超静定，将约束设置在系杆端部，其中一个采用平动全固结，另外三个支座与该固结支座相同方向的平动约束释放，使得桥梁可以在横、顺桥方向自由移动。全桥模型如图1所示。

Figure 1. Diagram of the overall model of Mugaobridge

图1. 木高桥整体模型

3. 随机车流作用下吊杆应力分析

3.1. 元胞自动机交通流模型

真实交通流是一个在在时空上连续又充满离散性的混杂系统，此特征与元胞自动机吻合度极高，本文采用MATLAB程序建立精细化元胞自动机模型对随机交通流进行仿真模拟，元胞自动机由元胞状态、相邻元胞以及更新规则构成 [8] ，各部分相互关系及建模流程如图2所示。

Figure 2. Diagram of the cellular automata model

图2. 元胞自动机模型

① 元胞长度：元胞长度的取值主要影响车流的车速，当元胞长度足够小时，车辆的运行速度更加平稳，车流稳定性也随之提高 [4] 。此外，车辆的轴距也是通过元胞长度进行控制的，当元胞长度无法正确匹配车辆轴距时，轴重则无法精确加载在实际区域，最终导致影响线加载计算时出现大的误差，为保证计算的精度，要求输入的元胞长度小于最小轴距。

② 更新时间步长：更新时间步长越短，模拟结果越贴近真实交通流 [9] ，也能够降低触发程序中为了避免前后两车相撞所设置的减速过程的次数，使得车流的行驶更流畅。

③ 行驶规则：为更真实的模拟交通流，在此设置一个随机慢化概率P_rang-slow和随机慢化加速度accslow来模拟驾驶员受外界因素干扰后下意识的减速行为，如图3所示，车辆i与前车s之间的距离记为 ${\text{gap}}_{si}^{+}$ [10] ，速度更新记为 $v_i\left(t+dt\right)$ 。

Figure 3. Diagram of the driving rules

图3. 行驶规则

1) 加速过程： $\{\begin{array}{l}{\text{gap}}_{si}^{+}\ge \max \left(v_i\left(t\right),d_{safe\text{-}len}\right)\\ v_i\left(t+dt\right)=\min \left(v_{\max },v_i\left(t+dt\right)+acc\right)\end{array}$ ；

2) 减速过程： $\{\begin{array}{l}{\text{gap}}_{si}^{+}<\max \left(v_i\left(t\right),d_{safe\text{-}len}\right);且v_i\left(t\right)<v_{\max }\\ v_i\left(t+dt\right)=\max \left(0,v_i\left(t+dt\right)-dec\right)\end{array}$ ；

3) 随机慢化： $\{\begin{array}{l}rand<p_{rang\text{-}slow}\\ v_i\left(t+dt\right)=\max \left(0,v_i\left(t+dt\right)-accslow\right)\end{array}$ ；

4) 匀速行驶： $v_i\left(t+dt\right)=v_i\left(t\right)$ 。

每一时间步，随机车流中车辆的车速都会更新，然后以最新的车速行驶一个时间步，实现行驶位置的更新，接着进行下一个时间步的更新，周而复始，实现对随机车流不间断的真实模拟。本文所用桥梁车道单向只有一个车道，故不考虑元胞自动机中的换道规则。

④ 边界条件：周期型边界条件模拟的车流从出口处离开后重新进入入口，车流密度与车辆数量保持不变。开放型边界条件模拟车流驶出模型后会按照一定的消失概率选择消失或是重新回到入口，此时，入口处也会以一定的概率生成车辆 [11] 。本文采用开放性边界条件，以车辆样本的车头时距分布模型作为模型入口处车辆模型的生成概率，令模型出口处车辆消失概率为1，使边界全开放，避免对前车对后车造成限制。

本文元胞自动机模拟时长为11天，设定元胞长度为0.1 m，木高桥全长120 m，每两根吊杆间距为5.4 m，按0.2 s计算一次加载效应，每两次加载间隔车辆行进距离为2 m，计算精度可以满足要求，模型需要运行时间t后，交通流才能达到稳定阶段。元胞自动机参数设定如表1所示。

$t=长度\times 车道数\times 10/元胞长度=120\times 1\times 10/0.1=12000\text{s}$ 。

Table 1. Parameter value of simulation

表1. 模拟参数取值表

Figure 4. Diagram of curve fitting of influence line of side suspender

图4. 边吊杆影响线曲线拟合图

3.2. 影响线计算及加载

3.2.1. 影响线计算

影响线就是单位集中荷载在桥梁位置移动变化下，结构的内力变化曲线，是计算移动荷载作用下桥梁内力最大值和最不利位置的基本工具 [12] 。据吊杆断裂实例和研究表明，拱桥吊杆破断时，一般从边吊杆开始破断，进而使得桥梁应力重新分配引发“多米诺式”的接连断裂。因此本文以边吊杆为例，通过软件计算影响线，求得单位力经过桥梁不同位置处边吊杆的受力情况，然后借助MATLAB进行曲线拟合求得木高桥边吊杆的影响线，最终确定为高斯分布，次数为8，曲线拟合如图4所示。

3.2.2. 影响线加载

交通荷载流的随机性导致车辆在桥梁上的位置不断发生改变，不同时间受到的车辆荷载效应也必然不同。在不考虑非线性的条件下，将微观交通流与桥梁影响线相结合，通过下式叠加原理求得桥梁的荷载效应 [13] 。

$S_t={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{T}{\sum }}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{k}{\sum }}{g}_i^j}}IF\left(x_i^t-q_i^t\times cell-p_i^{j-1},n\right)$

式中：k为车辆i的轴数；T是t时刻的车辆元胞数， $g_i^j$ 表示车辆i的轴重是j； $p_i^{j-1}$ 表示车辆i的轴间距是 $j-\text{1}$ ； $IF\left(x_i^t-q_i^t\times cell-p_i^{j-1},n\right)$ 表示影响线在给定的纵向位置 $x_i^t-q_i^t\times cell-p_i^{j-1}$ 和车道n的纵坐标值；S_t是在t时刻的影响线纵坐标 $IF\left(x_i^t-q_i^t\times cell-p_i^{j-1},n\right)$ 与轴重 $g_i^j$ 相乘叠加的荷载效应。影响线加载如图5所示。

Figure 5. Diagram of influence line loading

图5. 影响线加载示意图

3.3. 应力响应分析

将自动元胞机模拟随机车流按上述步骤加载在木高桥边吊杆影响线上，得到吊杆的荷载效应时程，但不能直接用于疲劳寿命计算，需采用雨流计数法从无序的应力历程中获取应力循环次数和应力幅，如图6所示。

由图6知，桥梁运营阶段，吊杆在随机车流作用下的应力幅多数小于100 MPa之间，少数应力幅超过了150 MPa，这是由于桥梁上货车超载导致的，这类车辆的占比极小，但是破坏程度极高，理当受到重视。

Figure 6. Diagram of stress of side suspender simulating traffic flow. (a) stress time history of side suspender simulating traffic flow; (b) stress amplitude of side suspender simulating traffic flow

图6. 模拟车流下边吊杆应力。(a) 模拟车流下边吊杆应力时程图；(b) 模拟车流下边吊杆应力幅

4. 风荷载作用下吊杆应力分析

4.1. 桥址随机风场模拟

本文采用谐波合成法来模拟风荷载的随机脉动过程，依托MATLAB软件编制脉动风时程模拟程序。木高桥上跨金沙江，地形判断为开阔水面，z₀取0.01 m。截断频率的取值主要取决与截断区间所包含的能量占总能量的大小，对比功率谱函数Kaimal谱 [14] 、Davenport谱 [15] 和Karman谱 [16] ，水平脉动风谱的截断频率最好在10 Hz以上，竖向谱最好在20 Hz以上，故本文的水平风谱截断频率选10 Hz，竖向风谱选20 Hz。模拟风速取桥址处150年重现期32.1 m/s。各参数汇总如表2所示。

Table 2. Selection of pulsating wind parameters

表2. 脉动风参数选取

4.2. 随机风场模型验证

随机风场模拟模型在对桥梁加载之前，需验证程序的正确性，若模拟谱与目标谱吻合情况较好，则证明程序足够可靠。拱肋顶点及主梁中点顺风向和竖向脉动风速时程及目标谱和模拟谱的对比如图7所示。

Figure 7. Timehistory curve and comparison diagram of simulation spectrum and target spectrum. (a) Timehistory curve of horizontal wind speed at vault and comparison diagram of simulation spectrum and target spectrum; (b) Timehistory curve of horizontal wind speed at bridge deck midspan and comparison diagram of simulation spectrum and target spectrum; (c) Timehistory curve of vertical wind speed at vault and comparison diagram of simulation spectrum and target spectrum; (d) Timehistory curve of vertical wind speed at bridge deck midspan and comparison diagram of simulation spectrum and target spectrum

图7. 风速时程曲线及模拟谱与目标谱对比图。(a) 拱顶水平向风速时程曲线及模拟谱与目标谱对比图；(b) 桥面跨中水平向风速时程曲线及模拟谱与目标谱对比图；(c) 拱顶竖向风速时程曲线及模拟谱与目标谱对比图；(d) 桥面跨中竖向风速时程曲线及模拟谱与目标谱对比图

由图知，模拟风场风速随时间不断变化，符合自然风随机性的特点；拱顶和主梁跨中在水平向和竖向的风速目标谱与模拟谱吻合情况较好，该桥随机风场模拟具有较高的精度，可用于桥梁加载。

4.3. 抖振响应分析

本文采用时域法进行风荷载抖振响应分析，样本时间长度选为1000 s，时间步长取0.2 s，与车流荷载对应，因此荷载步为5000步。因只关心吊杆的应力敏感性，本文抖振分析仅对风攻角为0˚时的情况进行计算，且不考虑气动导纳和自激力影响，获得桥梁拱肋顶点、桥面中点的位移时程图和边吊杆应力时程如图8、图9所示。

Figure 8. Diagram of the timehistory curve of node displacement. (a) Time history diagram of horizontal displacement at mid-span node of arch rib; (b) Time history diagram of vertical displacement at mid-span node of arch rib; (c) Time history diagram of torsional displacement at mid-span node of arch rib; (d) Time history diagram of horizontal displacement at mid-span node of bridge deck; (e) Time history diagram of vertical displacement at mid-span node of bridge deck; (f) Time history diagram of torsional displacement at mid-span node of bridge deck

图8. 节点位移时程图。(a) 拱肋跨中节点横向位移时程图；(b) 拱肋跨中节点竖向位移时程图；(c) 拱肋跨中节点扭转位移时程图；(d) 桥面跨中节点横向位移时程图；(e) 桥面跨中节点竖向位移时程图；(f) 桥面跨中节点扭转位移时程图

位移振幅的RMS值是评价桥梁抖振程度的重要指标，用来评价桥梁的抖振响应程度，拱肋和桥面系跨中位置节点振幅的RMS值如表3所示：

Table 3. Selection of pulsating wind parameters

表3. 拱肋和桥面跨中位置节点振幅RMS值

由上表可知，拱肋的横向位移RMS值为23.3 mm，远大于其竖向和扭转位移的RMS值，说明哑铃型截面的拱肋对风荷载引起的横向抖振极为敏感，今后对该类型构件进行设计时，应予以重视。

Figure 9. Diagram of the stress time history of side suspender

图9. 边吊杆应力时程图

由图知，吊杆在风荷载作用下的应力波动较小，但波动频率极为密集，证明吊杆的疲劳属于典型的高周疲劳。

5. 风–车联合作用下吊杆疲劳分析

疲劳荷载皆是呈周期性作用的，本文选取一个典型周期内的应力时程作为构件的疲劳荷载来研究构件响应。所用车流荷载为元胞自动机模型所模拟的周期为11天的随机车流，风荷载为随机风场模型所模拟的1000 s为周期的桥址风荷载。在不考虑桥梁非线性及气动自激力作用的情况下，可认为风荷载和车流荷载作用下吊杆的应力是相互独立的，因二者时间步长取值相同，将二者作用下的应力相叠加便可求得风车联合作用下的吊杆应力。通过雨流计数法得到其应力幅循环次数如图10所示。

Figure 10. Diagram of the number of stress amplitude cycles

图10. 应力幅循环次数

根据S-N曲线法、Palmgren-Miner线性累积损伤理论和疲劳等效原则，吊杆的疲劳寿命可表示为 [17] [18] ：

$S_{eq}={\left[\frac{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{n}_i{\left(S_i\right)}^m}}{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{n}_i}}\right]}^{1/m}$ , $N_{total}={10}^{\left(C-m\log S_{eq}\right)}$

式中： $S_i$ 为吊杆实际承受应力幅； $S_{eq}$ 为吊杆等效应力幅； $N_d$ 为11天总循环次数； $N_{total}$ 为总循环次数，m、C为材料性能参数。

将本文数据进行计算，可得随机风、车荷载作用下吊杆的等效应力幅，计算结果见表4。

Table 4. Equivalent stress amplitude

表4. 等效应力幅

由于本文缺少吊杆钢丝绳材料的实际疲劳试验数据，材料常数采用美国得克萨斯州立大学Paulson [19] 等人在对不同厂家生产的700余根钢绞线的疲劳试验结果的统计分析和补充试验提出的材料性能参数：C = 13.93，m = 3.5。木高桥边吊杆的疲劳寿命计算结果见表5。

Table 5. Fatigue life

表5. 疲劳寿命

从上表可以看出：风车联合作用下与车流荷载单独作用下吊杆的等效应力幅相差不大，但疲劳寿命只有随机车流荷载作用下的80.67%，表明了边吊杆在风荷载作用下的应力幅不大，但是同车流荷载共同作用对吊杆的疲劳寿命影响不容忽视。

6. 结论

1) 精细化元胞自动机交通荷载流加载到吊杆影响线上，可较准确得到该位置的应力历程，此方法相较于WIM实测系统更加省时、简便，可用于不同地区车辆荷载谱的研究制定。

2) 谐波合成法模拟的脉动风速时程曲线，模拟谱与目标谱吻合情况良好，该风速时程曲线可为今后研究同地区相似结构的风致响应问题提供数据支撑。

3) 钢管混凝土拱桥上的时域化抖振时程分析，获得了桥梁各位置节点的横向、竖向、扭转位移时程图并计算出了桥梁抖振响应的RMS值，其拱肋横向RMS值远大于竖向、扭转RMS值，表明此类型构件对风荷载的横向抖振更为敏感，设计时不可忽视风荷载作用。

4) 风荷载同车流联合作用下对吊杆的疲劳应力幅影响较小，但对疲劳寿命影响较大，验证了吊杆属于典型的高周疲劳；风–车联合作用下吊杆的疲劳寿命约为随机车流单独作用下的疲劳寿命乘以0.8的修正系数。