1. 引言
本文考虑如下Rn中随机Hartree方程在Marcus型Lévy噪声扰动下的全局适定性：
(1)
其中：，非线性项，，代表x在Rn上的卷积，gj是满足条件1的复变函数，是Marcus型Lévy噪声，u0是解u的初值，且满足，，其中时，方程(1)为散焦型；时，方程(1)为聚焦型。
通常把Hartree方程中带有噪声扰动的方程称为随机Hartree方程，把Hartree方程中不带有噪声扰动的方程称为确定Hartree方程或者Hartree方程。随机Hartree方程(1)的物理意义可以参考文献 [1] 中针对随机Schrödinger方程在跳跃噪声影响下的物理模型来推导，参考的合理性来源于Hartree方程和Schrödinger方程在结构上的相似性以及文献 [2] 中的随机波函数法。方程(1)中的跳跃噪声可以用来描述光纤材质的不均匀性，进而研究光纤中随机孤立位置产生的信号变化。
若去掉方程(1)右侧的噪声扰动，则得到确定Hartree方程如下：
(2)
文献 [3] 指出该方程是描述量子力学中通过双体势能作用的多玻色子系统场方程的经典极限方程，也可用于描述量子半导体中的电子传输和电子与电子之间的相互作用。在多量子系统中，方程(2)可以演化成平均场极限方程。
方程(2)已经被充分研究，可以参考文献 [4] [5] [6] [7] 。类似于Schrödinger方程，方程(2)在空间上具有时空平移、相位、伸缩和伽利略不变性。通过研究其伸缩不变性可以得到相应的临界指数。另外，方程(2)具有质量守恒和能量守恒性质，其中质量和能量定义如下：
当初值属于空间时，Miao等 [5] 建立了方程(2)在空间()中的局部适定性；且在不同的临界情形下分别建立了和时在空间(s = 1)中的全局适定性；值得注意的是，当时，能量临界或次临界情形下建立全局适定性需要小初值条件。利用初值随机化，Chen等 [8] 证明了超临界情形下方程(2)在空间(s < sc)中全局强解的存在唯一性。且在文献 [8] 中建立了初值在空间中的随机Hartree方程在守恒Gaussian噪声扰动下的(局部)全局适定性：
(3)
其中代表Stratonovich符号。利用Strichartz引理和压缩映射定理证明了方程(3)在空间中全局强解的存在唯一性，其中存在空间指数是一对n维容许对满足：
(4)
研究Marcus型Lévy噪声的动机源于其对偏微分方程的影响，这一动机的根源可以追溯到守恒Gaussian噪声对方程的扰动效应。有关守恒Gaussian噪声的详细特性和影响可在文献 [8] [9] [10] 中找到。Stratonovich型Gaussian噪声是一种具有守恒性质的噪声，通过Stratonovich型积分引入，同时遵循传统微积分规则。其另一个重要特性是符合Wong-Zakai逼近，这使得它在建模方面具有重要意义。然而，对于跳跃噪声，高阶积分的引入导致这些性质不再成立。Brzeźniak等在 [11] 中首次将Marcus积分形式应用于跳跃噪声的偏微分方程理论。这一积分形式最初由Marcus [12] 提出，因其在坐标变换下的不变性而成为Stratonovich型积分在跳跃噪声上的有效替代。在随后的研究中，Brzeźniak等 [13] 运用Faedo-Galerkin逼近的方法，获得了在Marcus型Lévy噪声扰动下的Landau-Lifshitz-Gilbert方程的鞅解，并在文献 [14] 中将相关的理论应用到了随机Schrödinger方程上，建立了次临界情形下随机非线性Schrödinger方程在Marucs型Lévy噪声扰动下的局部适定性，得到了解u的质量守恒：
(5)
其中：，并借助该结论将局部适定性推广到全局适定性。
相比于随机Schrödinger方程，随机Hartree方程在描述多粒子量子体系时是更为常见的数学模型，同时根据Marcus的理论 [12] ，Marcus型Levy噪声能描述一类广泛的随机对象，包括连续分量、独立增量、有限二阶矩、零均值和无连续分量等常见齐次向量过程，因而由Marcus型Levy噪声驱动的随机Hartree方程可以能更好地描述在随机因素影响下的多量子运动的规律。据笔者所知，对于Hartree方程在噪声扰动下的全局适定性研究只有文献 [13] ，目前还没有关于Marucs型Lévy噪声在Hartree方程上的研究。
本文将要建立初值属于空间时随机Hartree方程在Marcus型Lévy噪声扰动下的局部和全局适定性，得到当时，方程(1)在空间(s = 0)，即空间中全局温和解的存在唯一性，其中n维容许对，γ满足的条件保证了方程(1)处于次临界情形。与之前对Hartree方程的研究不同，本文在建立局部适定性方面采用了Brzeźniak等 [14] 所证明的Strichartz估计的随机形式。相比于Chen等 [8] 的研究，本文研究的方程对于初始条件的选择和解的存在空间指数(p, r)的选择都不同。此外，我们考虑的Lévy噪声是Gaussian噪声的一种推广，因此具有更广泛的应用范围。我们建立局部适定性的主要方法基于Strichartz估计的压缩映射定理。为了建立全局适定性，我们需要利用Marcus型Lévy噪声的特殊性质，以确保解的质量守恒，从而建立解的一致估计。通过应用解的一致估计，我们将局部适定性推广到全局适定性。
2. 预备知识
2.1. Marcus规范形式
为了方便建立方程(1)的局部适定性，需要将方程(1)表述为Marcus规范形式的随机Hartree方程。令是一个满足一般条件的滤性概率空间，其中是一个滤性代数。我们假定Levy噪声的密度测度满足，且，其中B是Rm中的封闭单位球。用N表示与相关的时间齐次泊松随机测度。用表示相应的补偿时间齐次泊松随机测度。对于上述Levy噪声在随机微分方程中的应用，Marcus [12] 提供了噪声规范化的基本框架。为此定义，，其中满足下述常微分方程：
(6)
由Marcus [12] 提出的理论，Marcus型Lévy噪声可以表示为如下形式：
(7)
令，。将其结合(7)代入方程(1)得到方程(1)的Marcus规范形式如下：
(8)
本文假定gj满足下述条件：
条件1
a)可以表示为，其中rj是一个可微实值函数。
b)。
c)。
由上述条件容易得到随时间守恒。事实上，由，式(6)和条件1 a)得到：
再由得到，即：
(9)
通过式(9)，Brzeźniak等 [14] 进一步研究了噪声的性质：
引理1 设满足条件1，，使得对于和，，和满足下列不等式：
1)
2)
3)
4)
2.2. 解的存在空间与构造
为了构造方程(8)的局部和全局温和解，需要给出方程(8)解的存在空间YT，。令，Y为两个空间的交集，其中：，。因此是一个Banach空间。若，根据定义得到u的范数为：
(10)
其中表示u在空间中的范数。本文用表示u在Banach空间Y中的范数，特别的，用和分别表示空间上的范数和内积。定义，在这个基础上定义Banach空间如下：
(11)
其中E表示均值。由定义容易得到：对于任意，，。
根据方程(8)和Banach空间的定义，给出方程(8)局部和全局温和解的定义：
定义1可测过程u(t)是方程(8)的局部温和解当且仅当存在，满足下述条件：
a)是上的左极右连函数。
c) 对于任意，如下积分方程成立：
(12)
其中：St是方程(1)的解算子半群。特别地，是方程(8)的全局温和解如果存在，，使得上述条件满足，且对于任意T > 0，满足：
(13)
可以将定义1 c)中的积分方程右端看成作用在上的算子，由压缩映射定理可知构造方程(8)局部温和解的问题等价于证明在是压缩映射算子，为此我们需要Strichartz估计。
Strichartz估计是一种用于研究非线性发展方程解的数学工具，它的主要目标是估计非线性发展方程解在时间和空间上的行为，下面我们介绍经典的Strichartz估计：
引理2和是n维容许对，和是和的共轭数，则下述命题成立：
a) 对于任意，函数，且存在常数C满足：。
b) 对于任意，函数，且存在常数C满足：
,
Strichartz估计能对解在不同频域上的分布进行分析，从而为我们寻找合适的解存在空间。例如我们研究(12)中解的部分。由定义(4)容易验证和均是n维容许对，设，令，由式(10)和引理2 a)得到。再由定义式(11)得到：
(14)
因而我们得到一个自映射的结论：
(15)
n维容许对的选取则主要依赖于Hartree方程的非线性项，细节可见定理1的证明。
观察(12)式我们发现引理2不能估计泊松积分项，为此我们还需要Brzeźniak等 [14] 建立的随机Strichartz估计：
引理3和是n维容许对，和是和的共轭数，则下述命题成立：
a) 对于任意可料过程G满足，如果时，，则存在常数Cq：
3. 随机Hartree方程的全局适定性
3.1. 方程的局部适定性
这一部分建立随机Hartree方程(8)的局部适定性，即证明方程(8)局部温和解的存在唯一性。先将积分方程(12)改写为截断方程(16)：
(16)
其中截断函数，其中，。需要证明在
是压缩映射算子。为了方便，将分为，，和四个部分，其中：
(17)
(18)
(19)
只需证明在是压缩映射算子：
引理3，使，在空间中是压缩映射。
证明
1) 证明在中是压缩映射。令，，则
，。设，类似式(12)的证明：由Strichartz引理得到，再由Holder不等式得到，最后由Hardy-Littlewood-Sobolev不等式得到：
(20)
因此是上的自映射算子。设另有，则。令停时，，不失一般性，设。由截断函数、停时的定义和引理2得到：
类似于式(20)的证明过程，可得：
(21)
对于，利用Hardy-Littlewood-Sobolev不等式和Holder不等式得到：
(22)
由停时定义得到，，，结合式(21)，(22)，得到：
取T1 > 0，使得，即：
(23)
式(20)和式(23)表明是上的压缩映射。
2) 证明在中是压缩映射。类似于的证明，利用引理3和引理1，得到：
再由Holder不等式得到：
(24)
考虑到，于是下式成立：
(25)
类似于式(25)的证明过程，可以得到：
取取T2 > 0，使得，即：
(26)
式(25)和式(26)表明是上的压缩映射。
3) 证明在中是压缩映射。由Strichartz引理，若，则由引理3和和闵可夫斯基不等式得到：
再由引理1得到：
即：
(27)
同理，取可得：
(28)
式(27)和式(28)表明在中是压缩映射，证毕。
定理1 方程(8)在空间上存在唯一局部温和解，。
证明 首先证明方程(16)有全局温和解：
取，则当时，由式(15)和引理3可知是上的压缩映射，由压缩映射定理可知存在使得：
(29)
Zhu等 [15] 证明了在左极右连修正下是适应的，且可以找到在空间中的左极右连修正，因此，是方程(16)的局部温和解。对于，在的区间上重复上述讨论，可以得到方程(16)在上的全局温和解。
为了证明是方程(8)的局部温和解，还需证明存在使得在上使得方程(12)成立。取停时，则方程(16)中函数在上为1，即方程(12)在上与方程(16)等价。定义在上等于，则根据定义1，为方程(8)的唯一局部温和解，证毕。
2.2. 解的守恒律和方程的全局适定性
为了得到解的一致估计，需要先证明解的质量守恒。为此我们引入伊藤公式。
伊藤公式是随机微积分的基本结果，用于处理随机微分方程中的随机项。它将随机过程的微分形式与函数的随机导数联系起来。将伊藤公式应用于，我们有
带入到式(16)我们有下述定理：
定理2 设是方程(8)的解，则下列质量守恒满足
(30)
证明。借助伊藤公式，可得：
由和条件1，可得：，。由式(9)可知。综上所述可以得到，即：
(31)
证毕。
接下来建立解，的一致估计：
引理4取，设，，其中是方程(8)的唯一局部温和解。则下列解的一致估计成立：
其中M只跟p，T，γ有关。
证明 定义停时区间(j为正整数)如下：
其中：
结合式(14)、式(20)、式(24)和式(27)得到：
(32)
为了方便，设：
下面证明解uk在区间上有上界。事实上，由停时的定义得到：
(33)
通过观察上述不等式结构，设函数，于是式(33)等价地写为：
由，以及的连续性，得到在区间上：
将上述方法应用在区间上，得到：
于是得到了在区间(j为正整数)上具有相同上界。为了得到区间[0, T]上的上界，还需要证明在区间[0, T]上，只有有限个区间。令，由停时的定义，有
，所以[0, T]上至多有个停时区间。因此能得到区间[0, T]上的上界：
(34)
为了证明式(34)右侧与k无关。利用式(24)，得到：
(35)
即结论成立。
由全局适定性的定义，还需研究停时，因此有下述定理：
定理3 对于，方程(8)在空间上存在唯一全局温和解，。
证明 由切比雪夫不等式和式(35)，对于，可得：
(36)
3. 结论
通过证明的细节可以看出，解的质量守恒的建立依赖于我们对于噪声项中gj的选取，这也是将解在有限时间内的适定性推广全局的关键因素。
本文将Marcus型Levy噪声首次应用于随机Hartree方程适定性理论，且通过将Strichartz估计的随机形式应用于压缩映射定理的证明，建立了方程(1)在次临界情形下的局部和全局适定性。同时本文的结论验证了随机Hartree方程在跳跃噪声扰动下的数学模型的有效性，这说明在后续的工作中可以进一步研究随机Hartree方程(1)的不变测度问题和遍历性问题。
参考文献