1. 引言
众所周知,图论起源于一个非常经典的问题——哥尼斯堡七桥问题。1738年,瑞典数学家欧拉解决了哥尼斯堡七桥问题,图论由此诞生。图的交叉数是图论中一个重要的部分,近百年来,国内外很多学者都对图的交叉数这一问题进行研究。图的交叉数问题的研究,起源于20世纪40年代砖厂遇到的难题。第二次世界大战时期,Turan [1] 发现运砖车沿铁轨向仓库运砖时,车很容易在铁轨交点的位置脱节。他因此想到通过减少铁轨交叉个数来降低损失的方法,交叉数的概念由此而来。研究图的交叉数是一项富有意义但充满挑战性的工作,多年来,国内外众多学者潜心于图的交叉数课题的研究,但到目前为止,仍有众多图类的交叉数尚未解决,并且尚未找到能用来确定任意图的交叉数的有效算法。其实,在1983年,Garey和Johnson [2] 已经证明了确定一个图的交叉数是NP-完全问题。由于证明难度较大,国内外关于图的交叉数领域的研究进展缓慢。下面主要介绍几类图的研究成果。
1.1. 完全图Kn
1960年,R. K. Guy [3] 对n个顶点的完全图
的交叉数提出以下猜想:
.
其中
表示不超过任意实数x的最大整数。1969年,R. K. Guy [4] 对完全图的交叉数进一步研究,验证了当
时,上式成立。1970年,Kieitman [5] 给出了当n足够大时,完全图
交叉数的下界:
.
Richter等人 [6] [7] 证明了和
和
之间的关系:
。
1.2. 完全二部图Km,n
1960年,Zarankiewicz [8] 给出了完全二部图
交叉数的猜想:
.
1970年,Kieitman [5] 证明了当
时,Zarankiewicz的猜想成立。1993年,Woodall [9] 验证了Zarankiewicz的猜想对于
和
成立。2003年,N. H. Nahas [10] 进一步研究当足够大时完全二部图的交叉数:
.
2007年,Klerk等人 [11] 给出了完全二部图
的新下界:
1.3. 广义Petersen图
最早研究广义Petersen图在1981年,Kabel等人 [11] 和Exoo C,Harary,Schrijver [12] 对图的交叉数进行研究,得出:
1986年Fiorini [13] 给出广义Petersen图
的交叉数的证明,但是,Richter和Salazar [14] 随后指出其证明存在错误,他们证明广义Petersen图
的交叉数为:
2004年,林晓惠 [15] 得出了
等部分广义Petersen图的交叉数的上界;2005年,马登举等人证明了
的交叉数 [16] ;2009年,杨元生等人利用算法给出了
时
的交叉数的精确值 [17] ;Fiorini和黄元秋等人分别用不同方法证明了
的交叉数 [18] ;2013年,郑百功证明了
的交叉数 [19] 。2019年,Gauci和Xuereb [20] 证明了当
时有:
2020年,历莹 [21] 通过研究
的子图的性质,证明得出
的交叉数的下界至少是6,进而提出猜想:当
时,
。
2. 玫瑰花窗图R(3k, 3, 2)的交叉数
2.1.玫瑰花窗图R(3k, 3, 2)的定义
在广义Petersen图
的基础上添加一类边,得到玫瑰花窗图
。
设玫瑰花窗图
的顶点集为
,边集为
,其中下标取模3k。取玫瑰花窗图
的子集
,且有
,
,
,
,可得
是
的一个可传递分解,其中
。又有
是
的并集,且
是H到所有非负实数集合的映射:
。画法D下的交叉数用
或
表示。
Jordan曲线定理 任意一条简单(自身不相交)闭曲线J把平面分成两个区域,在不同区域的两点若要相连,则连结的弧必与J相交。
根据Jordan曲线定理,我们有以下引理:
引理1 在图G中,设C和
为两个顶点不相交的圈,
为k阶路径且
。假设D是G的一个好画法,那么
是偶数;当
和
在
的同一区域时,
为偶数,否则为奇数。
引理2 设c是一个正整数,对于
,若存在一个正整数
满足
,则令
为
的最小值使
;若不存在这样的正整数
,则令
。
2.2. 玫瑰花窗图R(3k, 3, 2)的交叉数的上界
引理3 对于玫瑰花窗图
,当
时,
。
证明:图1给出了玫瑰花窗图
的一个有3k个交叉点的好的画法,因此,当
时,
。
Figure 1. A good drawing of with 3k crossings
图1. 有3k个交叉点的好的画法
2.3. 玫瑰花窗图R(3k, 3, 2)的交叉数的下界
令
为圈
,路径
,
,其中
,对于路径P,如果
,则
表示P从a到b的连续顶点。
引理4 如果
,且
,则
。
证明:反证法。假设
,则
,
。若
,则
同构于图2(a)。由
可知,在画法D下
中的其他边不能再被交叉,因此
干净,故
。
若
在区域
中,
干净,由引理1及
知
只能与
相交,
同构于图2(b),再由引理1可知,路径
与圈
相交一次,与
相矛盾。
若
在区域
中,
干净,由引理1知
与
相交至少相交两次,而D是一个好的画法,因此
干净,
同构于图2(c),根据引理1可知,路径
和
与
相交,与
相矛盾。
引理5 如果
,且
,则
。
证明:反证法。假设
,则
,
。若
,则
同构于图3(a)。由
可知,在画法D下
中的其他边不能再被交叉,因此
干净,故
。
若
在区域
中,
干净,由引理1及D是一个好的画法可知,
不能与相邻边
相交,
必定与圈
相交,与
相矛盾。
若
在区域
中,
干净,此时有
,考虑
,由
显然有以下四种情形:
与
相交,
与
相交,
同时与
和
相交以及
干净,下面分别讨论这几种情形。
若
与
相交,则
同构于图3(b),此时有
,根据引理1可知,路径
与圈
相交,与
相矛盾。
若
与
相交,则
同构于图3(c),根据引理1可知,路径
与
和
相交,此时有
,考虑
,由
可知,
与
不能相交,即
干净,因此有,
。
若
,
干净,根据引理1有路径
和
与
相交,与
相矛盾。
若
,
干净,此时由
可知
是干净的,
同构于图3(d)。考虑
,对于
而言,
同构于图3(e)、图3(f)、图3(g)和图3(h)。
(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k)
Figure 3. Subdrawings of D
图3. D的子画法
情况1 在图3(e)情形下,根据
且由引理1知路径
,
,
和
与
相交,与
相矛盾。
情况2 在图3(f)情形下,根据
且由引理1知
有边必然与
相交,因此
,再由引理1知路径
和
与
相交,与
相矛盾。
情况3 在图3(g)情形下,根据
且由引理1知路径
,
,
和
与
相交,与
相矛盾。
情况4 在图3(h)情形下,根据引理1可知路径
和
与
相交,此时
,因此在画法D下
中的其他边干净,继续考虑
这几条边,如果相交的话是只能与
相交,由D是好的画法可知
不能与相邻边
相交;若
与
相交,则
,根据引理1可知路径
和
与
相交,与
相矛盾;若
与
相交,则
,根据引理1可知路径
和
与
相交,与
相矛盾;若
与
相交,则
,根据引理1可知路径
和
与
相交,与
相矛盾,因此
都是干净的。继续考虑
,根据引理1及D是一个好的画法可知,路径
及
干净,
同构于图3(i)。又由引理1可知,路径
与
和
相交至少交两次,又有路径
与
和
相交,与
相矛盾。
若
同时与
和
相交,根据引理1,此时与
相矛盾。
若
干净,则
同构于图3(j),此时根据引理1有路径
与
和圈
相交,此时
,因此在画法D下
的其他边干净,故
也是干净的,
同构于图3(k)。根据引理1可知,路径
,
,
和
与
相交,因此
,考虑路径
中的边
,若边
与
相交,则
,即在画法D下
的其他边干净;若边
不与
相交,则
,由引理1知
不论在区域
或区域
,都有路径
与
和
相交,则
,因此在画法D下
的其他边干净;同理考虑路径
中的边
和
,由
可知边
和
干净,则
,
,显然
不在同一区域,根据引理1,
与
相交,与
相矛盾。证毕。
3. 结论
本文利用反证法和数学归纳法证明玫瑰花窗图R(3k, 3, 2)的交叉数。根据好的画法,得到了交叉数为3k的一个好的画法,从而得到玫瑰花窗图R(3k, 3, 2)的交叉数上界,进而利用玫瑰花窗图R(3k, 3, 2)特有的结构,结合不同的计数公式,对其边集进行分类,利用所得的限制条件,探究每组边上的交叉计数,最终证得图R(3k, 3, 2)的交叉数下界,由此得到玫瑰花窗图R(3k, 3, 2)的交叉数为3k。