浅析转化思想与分析法在初中数学解题的研究

A Brief Analysis of the Research on Transformational Thinking and Analytical Methods in Solving Mathematics Problems in Junior Middle Schools

摘要: 几何直观与推理能力是义务阶段数学核心素养的一部分，本文利用波利亚《怎样解题》的“变化问题”与“倒着干”章节中所蕴含的思想与方法，结合解题的案例探究提升学生数学核心素养能力的有效途径。

Abstract: Geometric intuition and reasoning ability are part of the core competencies of mathematics at the compulsory stage. This article uses the ideas and methods contained in the “Change Problems” and “Working Backwards” chapters of Polya’s How to Solve Problems. Explore the effective ways to improve students’ mathematical core literacy ability combined with the cases of problem solving.

1. 问题提出

《义务教育数学课程标准》提到，数学源自于对现实世界的抽象，基于抽象结构，通过符号运算、形式推理、模型构建等，理解和表达现实世界中事物的本质、关系和规律。数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着不可替代的作用。会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。数学素养是现代社会每一个人应该具备的基本素养。数学核心素养在义务教育阶段主要表现为：抽象能力、运算能力、几何直观、空间观念、推理能力、数据观念、模型观念、应用意识、创新意识 [1] 。这九大素养相互独立又相辅相成，共同构建成一个有机的整体。数学解题的思维是数学核心素养形成的重要环节。

几何直观与推理能力作为数学核心素养的一部分，学生几何直观能力也因个体发展的差异性，尽管在培养的过程中花费时间多，依旧造成几何直观的能力参差不齐。推理能力作为数学中隐形的能力，很难去量化，导致其培养的方法模糊不清，但是数学素养是一个有机的整体，在学习平面图形时，单纯的直观想象能力的发展，容易割裂整体结构的核心素养。而将推理能力与直观想象能力相结合，形成小结构的闭环训练方式，不失为一种培养整体数学素养的方式。结合波利亚的《怎样解题》相关内容进行剖析。

波利亚在《怎样解题》中谈到了，解题的四个步骤包括：理解题目、拟定方案、执行方案、回顾。每个步骤都涵括了极为重要的数学思想与方法 [2] 。理解题目是解题的基础，在理解题目中的信息，对题目中的条件，未知量等数据有清晰的认识之后，再来进行解题的下一步，即拟定方案。本次剖析主要从变化题目与倒着干的小章节的内容中挖掘重要信息，即拟定方案中帮助解题法的方法，从中帮助学生掌握更为有效的解题思维与方法。

1.1. “变化问题”的智慧

波利亚提到在解题的过程中，如果想成功的解决一个问题时，取决于选择正确的角度，取决于从容易接近的一侧来进行有效的解题。那么从哪些角度入手才能使得问题能够轻松解决，这个过程需要不断地变化问题，从中寻找到能够将问题转化为已有的知识结构，从而找到解决的角度。这种转化化归的思想是数学中最常见的思想之一，转化的过程是解题者自身推理能力的实践，两者密切相关。在培养直观想象能力的同时，借助于习题将转化划归的数学思想融入到解题中。那么这两种素养能力的融合，深层次体现出数学素养之间的相互依存，相互促进的作用。所以变化问题的思维过程与解题时采用的分析法是相吻合的。二者的思维活动主要是：1) 理解分析题目中的未知量、已知量、条件、要证明的结论等；2) 运用已有的认知结构对题目中的条件进行练习，用相关联的知识转化题干中给出的有效已知量；3) 反复变化其中的未知量，将转化后的内容与结论，题干进行联系，最终完成解体的过程。下面借助于例题进行分析研究。

1.2. “倒着干”的智慧

波利亚在《怎样解题》提到了一个问题：如果你只有两个容积分别是4升与9升的容器，怎样从一条河中恰好取出6升的水 [2] ？面对这个问题，我们挖掘题目信息并从中寻找解题角度，发现问题中的容器并没有已有知识结构中能够借助的刻度，体积等能够解题的信息，只能借助于两个容器相互倾倒这样的方式。那么从正面出发寻找解题的角度就是，预设每次的操作再加以分类讨论。第一步分为两类，一是4升装满倒入9升容器中，二是9升容器的水倒入4升容器中，第二步第三步以此类推。通过分类可以解决问题，但由于不可预知其中需要多少个步骤，故从正面的方式较为困难解决此问题。那么针对此问题分类讨论的方法则不太适合。此时如果从结论出发，可以得到9升的容器中恰好有6升水，那么此时可以说明6升的水通过9升容器灌满后倒掉了3升的水得到的，那么3升的水只能从4升的容器中得到，继而发现4升容器中原来恰好有1升水，而4升容器中得到1圣水则需要用到9升的容器，发现只需要9升的容器灌满后倒掉两个4升的水就可以得到1升的水。恰好是我们想知道的4升容器中的1升水的由来。那么整个过程就从结论出发以此类推到第一步。从这种思维模式可以看到一个关键的过程，迂回前进，脱离目标，倒着干。思维遵循的与操作的是相反的次序。这种逆向思维的倒着干与解题中的分析法是相似的思维流程。

在我们的初中解题过程中，转化与化归的思想和分析法是我们在解题训练中必不可少的解题素养，这两者又同时为隐形的数学素养，那么在培养提升学生的两种不同的数学能力时，如何有机的结合一起，从而达到提升学生的目的 [3] 。下面依据两个平面几何的例题进行分析。

2. 案例分析

案例一：如图1，在正方形ABCD中，点E在AD边上，且DE = 3AE，连接BE，CE，EF平分ÐBEC，过点B作 $\text{BF}\perp \text{EF}$ ，若正方形的边长为4，求GF的长。

Figure 1. Case 1

图1. 案例1

理解题目：题干中已有的信息四边形ABCD是正方形且边长为4，E为四等分点，EF平分ÐBEC，ÐEFB是直角。

“变化题目”与“倒着干”：分析题目中的条件，正方形和DE = 3AE的条件，我们将从那些角度变化题目，此如，在四边形中存在四个直角，可作出有直角三角形，所以上述题干信息，可转化为直角三角形求斜边的内容，者也是学生已经学握的知识结构，变化的问题与未知量GF的长度还是没有明显的联系，那从结论出发，用倒着干的思想去解题。那么GF的长度可变成什么问题？而角平分线的条件中可以找到两条斜边EC与EB间存在关系，即利用EF平分ÐBEC所以得到E上存在点H使得EB = EH并且 $\Delta \text{FBE}\cong \Delta \text{FHE}$ ，故而通过变化问题可以找到GF与HC长度的关系，而G，F分别是BH，BC的中点，利用中位线可得GF的长度。

通过变化问题中的条件信息，变化题目建立条件与结论之间的联系，最后通过制定方案完成相应的解题过程。而第四步回顾则是通过检查解题的书面过程对解题的思路有更为清晰的认识。

延伸：如图2，在正方形ABCD中，点E在AD边上，且DE = 3AE，连接BE，CE， 平分ÐBEC，过点B作 $\text{BF}\perp \text{EF}$ ，若正方形的边长为4，则∆BFC的面积是多少？

Figure 2. Variation 1

图2. 延伸1

Figure 3. Variation 2

图3. 变式2

“变化题目”与“倒着干”：依据案例一中的分析，对问题中的信息都可进行变化，其中同案例一分析过程类似，延长BF交EC于点H。此时从结论倒着干的思维出发，三角形BFC的面积从BC与点F到BC的高，转化为求F到B的高，但发现此高与题中变化后的条件并无任何关系，无法从中找到关联的知识结构。故此不妨变化问题的角度，将三角形BFC面积换底表示，从中可发现BF为底时，高为C到BH的距离，此时问题变为怎样求以底为BF的三角形BFC。通过关联活动可以发现三角形BHC的面积是三角形BFC的两倍，故将问题转化为三角形BHC的面积，此时由前面转化的信息，可以发现H到BC的高可以利用正方形的比，即作 $\text{EI}\perp \text{BC}$ 于点I，从而与前面的已知信息中 $\Delta \text{HGC}\sim \Delta \text{EIC}$ 从而得到HG的长度。从中可以发现，将面积问题转化为求高的长度，从而求得三角形BF从的面积。由此可将题干信息中的未知量，已知量与结论建立起联系，即拟定方案。

制定方案(分析法)：如图3，延长BF至EC于点H，因为 $\text{CF}\perp \text{BF}$ 、且EF为ÐBEC的平分线，所以 $\angle \text{BE}=\angle \text{CEB}$ ， $\angle \text{BFE}=\angle \text{HFC}$ ，所以 $\Delta \text{BFE}\cong \Delta \text{HFE}\left(\text{ASA}\right)$ ，所以 $\text{BE}=\text{EH}={\text{AB}}^2+{\text{AE}}^2=\sqrt{7}$ 。那么可以得到 $\text{HC}=\text{EC}-\text{EH}=\sqrt{{\text{ED}}^2+{\text{DC}}^2}-\text{EH}=5-\sqrt{17}$ 。作 $\text{HG}\perp \text{BC}$ 于点G， $\text{EI}\perp \text{BC}$ 于点I，故有 $\text{IC}=\text{ED}=3$ ，

$\text{EI}=4$ ，所以 $\Delta \text{HGC}\sim \Delta \text{EIC}\left(\text{AAA}\right)$ 。从而得到 $\frac{\text{HG}}{\text{EH}}=\frac{\text{HC}}{\text{EC}}$ ，所以有 $\text{HG}=\frac{20-4\sqrt{7}}{5}$ ，因为 $\text{BF}=\text{FH}$ ，所以 ${\text{S}}_{\Delta \text{BFC}}=\frac{1}{2}{\text{S}}_{\Delta \text{BHC}}=\frac{20-4\sqrt{7}}{5}$ 。

案例二：如图4，在四边形ABCD中，ÐADC = 90˚， $\text{tan}\angle \text{DAB}=\frac{4}{3}$ ，M、N分别为对角线AC、BD的中点，若CD = 2，AB = 6，求MN的长度？

Figure 4. Case 2

图4. 案例2

分析一：

理解题目：题干中已有的信息M、N分别AC、BD的中点。两个角的大小，ÐADC是直角，tan Ð DAB的正切值是 $\frac{4}{3}$ ，两条边长分别是CD = 2，AB = 6。

“变化题目”与“倒着干”：MN是AC，BD的中点，题中出现两点个中点，常常将中点于中位线只是联系在一起，但题中并不能将两个中点看作是一个三角形的中位线，故“变化角度”做辅助线将两点构建成一个中位线，其中包含两种方案，一是连接DM并延长作三角形的中位线，二是连接CN并延长作中位线，但方案二中会发现，做出的辅助线与题中其他信息无关联的情况。故选方案一，由此作出BK = 2MN，将求MN的长度变化为求BK的长度，进而联系田间中的已知量发现BK长度通过勾股定理或相似全等求得，经过“变化问题”寻找角度时发现正切值的方法不能与其他信息联系起来，从而转变为求BG与GK的长度，通过转化发现，点M既是DK也是AC的中点，故可将CD的长度与AK联系在一起，进而建立与已知条件中tanÐDAB的正切值的联系，那么就转变为求与ÐDAB相关的角度，此时会得到 $\angle \text{DAB}=\angle \text{AKG}$ ，故由此将所有条件信息都建立起关系。回顾拟定方案的过程实质是结论出发，倒着干，并且穿插着变化问题的思考模式，寻找角度与已知条件结合。最终建立的联系。

Figure 5. Variation 3

图5. 变式3

如图5，延长DM到K，使得MK = DM，连接AK，CK，BK，作 $\text{KG}\perp \text{AB}$ 于点G，设AB交CK于点O。

分析二：

“变化题目”与“倒着干”：从条件出发变化问题寻找关联，MN中点，构建三角形的中点与中位线，而已知两边CD与AB作为底边，故而可作出AD与CB的中点，依次连接可发现其与MN可构建一个平行四边形，进而求MN的长度的问题进行变化，平行四边形中已知两邻边求对角线MN的高，于是作N到PM的高，由此题干中已知信息串联在一起。其中PN与AB平行，可由此将题中ÐDAB的正切线值变转化为ÐPNE的正切值，由此转变为一个直角三角形中己知直边比与斜边长，所以MN的长度可由RT∆PNE中的直角边解得。从而得到MN的长度。由此整个题目中的已知信息通过变化与所要求的建立起相关联系。

Figure 6. Variation 4

图6. 变式4

制定方案(分析法)：如图6，作AD中点，AB中点G，延长PM交NG于点E，因为P、N为中点，所以 $\text{PN}\parallel \text{AG}$ ，且PN = AG，所以AGNP为平行四边形，即可得到ÐDAB = ÐPNE，因为 $\text{PN}\parallel \text{AG}$ ，所以

ÐADC = ÐAPM = ÐNEP = 90˚，所以∆PEN为直角三角形，即 $\frac{\text{PE}}{\text{NE}}=\text{tan}\angle \text{DAB}=\frac{4}{3}$ ，那么设NE = 3x，PE = 4x，PN = 3，在直角三角形PNE中，由勾股定理，可解的 $\text{x}=\frac{2}{3}$ ，所以得到 $\text{ME}=\text{PE}-\text{PM}=\frac{6}{5}$ ，在直角三角形NME中可得 $\text{ME}=\sqrt{{\text{ME}}^2+{\text{NE}}^2}=\frac{\sqrt{130}}{5}$ 。

3. 回顾反思

“变化问题”的解题思维模式是我们在培养学生解题能力的重要内容之一，是数学中转化划归思想的基本思维模式。将问题变化为我们熟悉的问题进行解决。“倒着干”的解题方法在面对各种各样的题目时，其都可以是解题过程中变化问题的一个角度，并且随着对“倒着干”方法不断加以运用后，从刚开始的仅局限于利用结论反过来推理，到后面将其运用在变化问题的各个变化角度。继而转化为解题中常用的数学思维。将几何直观与推理能力两种数学素养结合在一起。以下有两点建议。

3.1. 注重数学思维的养成

解题是培养学生的数学推理能力的核心素养的重要方式。“变化问题”在解题中所蕴含的是划归的数学思想，在教学过程中，注重化归思想在解题中的应用，同时划归思想与分析法相结合，既帮助学生在解题中开阔数学思维，也提升学生不拘于传统教学解题中的套模板的刻板解题，在培养数学推理能力也能形成相应的作用。

3.2. 渗透解题过程的内涵

解题是学习数学不可避免的阶段，但解题也并不是所谓的题海战术，而是通过教学，潜移默化的引导学生学会怎样解题。借助《怎样解题》中蕴含的思想，融入到实际的教学解题中，深刻体会出解题过程的内涵，帮助学生激发解题的兴趣。

总而言之，平面几何的教学并不意味着单纯的培养学生的几何直观的核心素养，还包括将几何直观与推理能力核心素养相结合，尤其在解题中可以被广泛运用，避免核心素养的分割，让整体性的数学核心素养真正的落实到实践中。