傅里叶变换及其应用

The Fourier Transform and Its Application

摘要: 傅立叶变换不仅是一个非常重要的积分变换，而且是一种重要的数学方法。在数学领域的许多分支，傅里叶变换都起着非常重要的应用，如偏微分方程、概率、复变函数与数学分析。本文首先简单介绍了傅里叶变换的概念及其基本性质，然后给出了它在偏微分方程中的一些应用。

Abstract: Fourier transformation is not only a very important integral transformation, but also is an impor-tant mathematics method. In many branches of Mathematics, Fourier transformation plays an important role, such as partial differential equations, probability, complex variable functions and mathematical analysis. Firstly, this paper simply introduces the concept of Fourier transform and its basic nature, whereafter the author introduces its application in partial differential equation.

1. 引言

L. kelvin说：傅里叶理论不仅是现代分析中最美妙的结果之一，而且可以说，它为现代物理中每一个深奥问题的处理提供了一件必不可少的工具。随着近代物理的飞速发展，越来越多的实际问题需要用偏微分方程的理论来解决。如尖端的激光理论，生物数学和非线性科学中的许多问题等。为了求解这些复杂的方程，得到它们解的表达式，傅里叶变换成了主要的工具，它在庞大的偏微分理论系统中闪耀着光芒。傅里叶变换是一类重要的积分变换，而积分变换能够将分析运算转化为代数运算，正是由于积分变换这一特性，在微分方程、偏微分方程的求解中成为重要的方法之一。用傅里叶变换求解偏微分方程就如同用对数变换计算数量的乘积或商一样简便，在这种变换下，偏微分方程可以减少自变量的个数直至变成常微分方程。

2. 傅里叶变换的概念及基本性质[1]-[5]

傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数(正弦或余弦函数)或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。

2.1. 连续傅里叶变换的概念

定义：假使函数在内绝对可积，我们称是的傅里叶变换，并把它记为或，即：。并称为的傅里叶逆变换。

2.2. 离散傅里叶变换的概念

定义：设为周期为的周期序列，则称和式 (为整数)为的离散傅里叶变换。并称为的离散的傅里叶逆变换。

2.3. 连续傅里叶变换的性质

1) 线性性质

设和的傅里叶变换分别为和，则：

其中为常数。

2) 微分性质

如果都是可以进行傅里叶变换的，设的傅里叶变换为，而且当时，，则有。

3) 卷积性质

设和的傅里叶变换分别为和，证明：和的卷积的傅里叶变换等于和的傅里叶变换的乘积，即：。

4)和乘积的傅里叶变换等于和的傅里叶变换的卷积乘以，即：

。

5) 若及都可以进行傅里叶变换，那么：

。

6) 平移性质

设的傅里叶变换为，求证：的傅里叶变换为。

证明：

此性质表明平移后的傅里叶变换等于未作平移的傅里叶变换乘以。

2.4. 离散傅里叶变换的性质

1) 线性性质

设和均为周期为的序列，对任意给定的常数和，则下式成立：

2) 平移性质

对任意的，则：

3)与卷积的离散的傅里叶变换等于与的傅里叶变换的乘积，即：

4)与乘积的傅里叶变换等于与的傅里叶变换的卷积乘以，即：

3. 傅里叶变换在求解偏微分方程中的应用

在求偏微分方程的解时，如果当自变量的取值范围是无穷区间时可以考虑对方程中的采用傅里叶变换，这时被变换的函数还应满足当时趋于0，而且对二阶的方程还要求被变换的函数的一阶导数也趋于0。

用傅里叶变换求解偏微分方程的步骤大致为：1) 对定解问题作傅里叶变换；2) 求解象函数；3) 对象函数作傅里叶逆变换得到原问题的解。

3.1. 求解波动方程

例1. 已知两端无界弦振动的初始位移为，初始速度为0，试求弦在任一时刻的纵向位移，即解以下偏微分定解问题：

解：对作傅里叶变换，令，则

，

由问题的物理意义知，利用傅里叶变换的微分性质得

因此，原定解问题变为

把看成常数，即

再由傅里叶逆变换公式，得到

3.2. 求解热传导方程

例2. 求解二维热传导方程的初值问题

解：因，故对，关于作傅里叶变换，记：

从而得到关于的一阶常微分方程的初值问题

它的解为将上式对取傅里叶逆变换，得

因为

由此得出初值问题的解为

3.3. 求解半平面的Dirichlet问题[6] [7]

例3.

解：令由傅里叶变换的性质，则有

而，由此可得

这是一个带有参数的二阶常微分方程，其通解为，因为当时是有界的，所以当时，也必须有界，故当，，且时，有。

当时，有，且当时，有

因此对于任何都有

又因为

故有

从而的傅里叶逆变换为

这里我们利用

因此，在上半平面y > 0上狄里克莱问题的解是：

4. 结论

在这篇文章中，我们主要介绍了傅里叶变换的概念、基本性质和它在偏微分方程中的应用。傅里叶变换不仅在数学中有广泛的应用，而且在电气工程、电子工程、信息与通信工程、控制工程、生物医学工程、天文学等理工类学科中也有非常重要的的应用。